Пропорциональность хорд и секущих окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Свойства хорд и дуг окружности

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема о бабочке

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Фигура	Рисунок	Определение и свойства
Окружность
Круг
Радиус
Хорда
Диаметр
Касательная
Секущая

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Радиус

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Хорда

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Диаметр

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Касательная

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Секущая

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Свойства хорд и дуг окружности

Фигура	Рисунок	Свойство
Диаметр, перпендикулярный к хорде		Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды		Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хорды		Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружности		Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длины		Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дуги		У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хорды		Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Диаметр, перпендикулярный к хорде

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хорды

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хорды

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длины

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дуги

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хорды

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Фигура	Рисунок	Теорема
Пересекающиеся хорды
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Пересекающиеся хорды

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Пересекающиеся хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

пропорциональность отрезков хорд и секущих
презентация к уроку по геометрии (8 класс)

пропорциональность отрезков хорд и секущих

Скачать:

Вложение	Размер
proports_hord_i_sekushchih.ppt	1.23 МБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Если хорды АВ и С D окружности пересекаются в точке S , то справедливо равенство AS · BS = CS · DS D B C A S

Если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то АР · ВР = СР · D Р D B C A Р

Если из точки Р, лежащей вне окружности, проведены к ней секущая, пересекающая окружность в точках А и В, и касательная PC, то РА · РВ = РС 2 . B C A Р

Если в окружности к диаметру AB из точки C, находящейся на окружности, провести перпендикуляр CD, то справедливо равенство CD 2 = AD · BD. B C A D

Точка О –центр окружности, АВ – касательная. Вычислить х 1) 2) 3) 4) Дано: МВ = 10,2 см; АВ = МВ – 0,4; МС – М D = 5. Найти: СМ .

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Пропорциональные отрезки в треугольнике. (открытый урок, 8 класс)

Подобие треугольников. Свойство биссектрисы треугольника.Среднее пропорциональное. Теорема Фалеса. Обобщённая теорема Фалеса. Теоремы Чевы и Менелая.

Пропорциональные отрезки

Уроки по теме: «Пропорциональные отрезки», различные по типу. применяется и комбинированный урок и работа группами. Задачи также подобраны различного уровня: естьлёгкие. а есть и совсем сло.

Презентация к уроку «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике»»

Презентация к уроку геометрии в 8 классе » Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике».

Презентация к уроку геометрии в 8 классе по теме: «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике»

На изучение темы отводится мало часов, а на ЕГЭ в 11 классе с помощью этих формул задачи решаются быстро и легко.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Презентация к уроку геометрии в 8 классе.

презентация к уроку геометрии 8 класса по теме: «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике».

Данная презентация сопровождает урок по данной теме в виде квеста. Квест — поиск, решение задач для продвижения по сюжету.Так перед учащимися ставится задача обнаружения в прямоугольном треугольнике п.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Урок изучения нового материала. Презентация к уроку.Цели урока: рассмотреть задачу о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, закрепить изученный материал в ходе решения задач.

Конспект урока по геометрии на тему «Хорда»

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Поурочный план по геометрии

Тема: Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Цель урока: закрепить свойства отрезков пересекающихся хорд и свойства секущих отрезков и показать, как они используются при решении задач.

Актуализация знаний. Сегодня мы продолжим говорить об окружности. Позвольте напомнить определение окружности: что называется окружностью?

Окружность — это линия, состоящая из всех точек плоскости, которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости, называемой центром окружности.

На слайде изображена окружность, отмечен ее центр — точка О, проведены два отрезка: ОА и СВ. Отрезок ОА соединяет центр окружности с точкой на окружности. Он называется РАДИУСОМ (по-латыни radius — “спица в колесе”). Отрезок СВ соединяет две точки окружности и проходит через ее центр. Это диаметр окружности (в переводе с греческого – “поперечник”).

Также нам понадобится определение хорды окружности — это отрезок, соединяющий две точки окружности (на рисунке – хорда DE).

Давайте выясним вопрос о взаимном расположении прямой и окружности.

Следующий вопрос и он будет основным: выяснить свойства, которыми обладают пересекающиеся хорды, секущие

Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS . BS=CS . DS.

Докажем сначала, что треугольники ASD и CSB подобны (рис. 2,29). Вписанные углы DCB и DAB равны по следствию из теоремы 17. Углы ASD и BSC равны как вертикальные. Из равенства указанных углов следует, что треугольники ASD и CSB подобны.

Из подобия треугольников следует пропорция

Отсюда AS . BS=CS . DS что и требовалось доказать.

Если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AP . BP=CP . DP.

Пусть точки А и C — ближайшие к точке Р точки пересечения секущих с окружностью (рис. 252). Треугольники PAD и РСВ подобны. У них угол при вершине Р обпщй, а углы при вершинах Ви D равны по свойству углов, вписанных в окружность. Из подобия треугольников следует пропорция

Отсюда PA . PB=PC . PD, что и требовалось доказать.

Доказать, что если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS*BS = CS*DS.

Доказательство. Докажем сначала, что треугольники ASD и CSB подобны (рис.1).

Вписанные углы DCB и DAB равны по следствию 1. Углы ASD и BSC равны как вертикальные. Из равенства указанных углов следует, что треугольники ASD и С SB подобны.

Из подобия треугольников следует пропорция

Отсюда AS•BS = CS•DS ,что и требовалось доказать.

1) если из точки Р (рис.2), лежащей вне окружности, проведены к ней две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AP•BP = CP•DP

2) если из точки Р (рис.3), лежащей вне окружности, проведены к ней секущая, пересекающая окружность в точках А и Б, и касательная PC, то РА•РВ = РС 2 .

Пример 1. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найти ED, если АЕ = 5 см, BE = 2 см, СЕ = 2,5 см.

Решение. Имеем: АЕ • BE = ED • СЕ (задача), или откуда5•2=2,5•ED , откуда ED=102,5=10025=4 (см).

Пример 2 . Из точки А, лежащей вне окружности, проведены две секущие. Внутренний отрезок первой равен 47 м, а внешний 9 м; внутренний отрезок второй секущей на 72 м больше внешнего ее отрезка. Найти внешний отрезок второй секущей.

Решение. Обозначим через х длину внешнего отрезка второй секущей. Тогда согласно условию задачи длина внутреннего отрезка второй секущей будет х + 72. Теперь согласно утверждению 1) имеем:

Решая это уравнение, находим х = 6.

Пример 3. Из точки Р проведены к окружности касательная PC = 12 м и секущая РВ = 16 м. Найти внешнюю часть секущей АР.

Решение. Обозначим через х длину внешнего отрезка секущей. Тогда согласно утверждению 2) имеем:

Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Задача 1. Доказать, что если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS*BS = CS*DS.

Доказательство. Докажем сначала, что треугольники ASD и CSB подобны (рис.1).

Вписанные углы DCB и DAB равны по следствию 1. Углы ASD и BSC равны как вертикальные. Из равенства указанных углов следует, что треугольники ASD и С SB подобны.

Из подобия треугольников следует пропорция

Отсюда AS•BS = CS•DS ,что и требовалось доказать.

1) если из точки Р (рис.2), лежащей вне окружности, проведены к ней две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AP•BP = CP•DP

2) если из точки Р (рис.3), лежащей вне окружности, проведены к ней секущая, пересекающая окружность в точках А и Б, и касательная PC, то РА•РВ = РС 2 .

Пример 1 . Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найти ED, если АЕ = 5 см, BE = 2 см, СЕ = 2,5 см.

Решение. Имеем: АЕ • BE = ED • СЕ (задача), или откуда5•2=2,5•ED , откуда ED=102,5=10025=4 (см).

Стр.76-77 выучитьтеорему17, задача№200-203 стр.77

💥 Видео