Проекция окружности на плоскость формула (3 видео)

Прямоугольная проекция окружности

При выполнении машиностроительных чертежей часто возникает необходимость построения прямоугольных проекций окружности.

Если окружность лежит в плоскости уровня, то, естественно, она проецируется на одну из плоскостей проекций в натуральную величину, а на другую плоскость проекций — в отрезок, совпадающий с вырожденной проекцией плоскости.

Рис.8.5

Если окружность лежит в проецирующей плоскости, то одна ее проекция вырождается в отрезок, равный диаметру заданной окружности, и совпадает с вырожденной плоскостью, вторая проекция — эллипс (рис. 8.5).. Построение проекции окружности l, заданного диаметра d, лежащей во фронтально проецирующей плоскости, расположенной под углом 45° к П₁ ясно из чертежа.

На П₂ отрезок С₂D₂ равен d. На П₁ эллипс l₁ строим известным способом с помощью окружностей радиусами малой и большой полуоси эллипса, делением окружностей диаметральными линиями и получением точек М i .

Окружность, лежащая в плоскости общего положения, проецируется на обе плоскости проекций в эллипсы.

Рис.8.6

Пример. Построить проекции l₁, l₂ окружности l(О,R), лежащей в плоскости q(hÇf), где О=hÇf (рис. 8.6).

Отметим, что большие оси эллипсов l₁,l₂ принадлежат линиям уровня, соответственно горизонтали h и фронтали f и по величине равны диаметру окружности l. Поэтому большую ось А₁В₁ эллипса l₁ на П₁ откладываем на горизонтальной проекции горизонтали h₁, а большую ось М₂N₂ эллипса l₂ — на фронтальной проекции фронтали f₂. Вторые проекции А₂В₂, М₁,N₁ находим из условий принадлежности соответственно точек А,В,М,N горизонтали и фронтали.

Для построения малых осей С₁Д₁ и Р₂Q₂ проводим прямые n₁^А₁В₁, m₂^М₂N₂. Эллипс l₁ теперь определен большой осью А₁В₁, направлением n₁ малой оси и двумя точками М₁,N₁. Этих условий достаточно для графического определения величины его малой оси:

¨ через точку М₁ искомого эллипса l₁ проводим прямые, параллельные А₁В₁ и n₁;

¨ отмечаем точку 2 пересечения прямой, параллельной n₁, с окружностью u, описанной на А₁В₁, как на диаметре;

¨ отмечаем точку 1=0₁2ÇМ₁1 и получаем отрезок 0₁1, определяющий величину малой полуоси эллипса l₁.

Аналогично определяется величина малой полуоси эллипса l₂ — фронтальной проекции окружности l.

Обводы

Решение ряда задач требует построения линий, проходящих через упорядоченный массив точек или через данные точки и имеющие в них наперед заданные положения касательных, кругов кривизны и т.д. Иногда требуется какую-либо графически или аналитически заданную кривую заменить другой кривой.

Если исходная кривая задана большим числом точек, то выбор новой кривой, качественно заменяющей исходную, требует выполнения сложных вычислений. Для упрощения решения задачи в качестве заменяющей линии конструируют составную кривую — обвод.

Обводом называется линия, составленная из дуг кривых выбранного вида, которые в стыковых точках имеют определенный порядок соприкосновения.

В инженерной практике в качестве составляющих обводов обычно используют отрезки прямых, дуги кривых второго и третьего порядка. Порядок составляющих в стыковых точках определяет порядок гладкости обвода. Если смежные составляющие имеют в стыковых точках общие касательные, то составная линия называется обводом первого порядка гладкости. Составная линия представляет собой обвод второго порядка гладкости, если график изменения кривизны по ее длине будет непрерывным.

Рассмотрим один из способов построения обводов — радиусографический.

Пример. Через упорядоченный массив точек А i (i=1,2. n) необходимо провести обвод первого порядка гладкости, составленный из дуг окружностей (рис. 8.7).

Рис.8.7

Построение составляющих обвода основано на простых свойствах окружностей при построении их сопряжений. Первая составляющая m 1 однозначно определяется первыми тремя точками А 1 ,А 2 ,А 3 . Центр О 1 дуги m 1 строится как точка пересечения перпендикуляров р 1 ,р 2 , восстановленных из середин С 1 ,С 2 ее хорд — А 1 А 2 , А 2 А 3 .

Вторая и последующие составляющие m 2 , m 3 определяются двумя точками и касательной, построенной к предыдущей составляющей в стыковой точке. Центр О 2 второй составляющей m 2 определяется как точка пересечения прямой О 1 А 3 , соединяющей центр О 1 предыдущей окружности со стыковой точкой А 3 , с перпендикуляром р 3 , восстановленным из середины С 3 хорды А 3 А 4 . Аналогично строится все последующие составляющие m j (j=1,2. n-2).

Вопросы для самопроверки к лекции 8:

1. Как принято рассматривать кривую линию в начертательной геометрии?

2. Назовите основные понятия, характеризующие кривую линию.

3. Назовите проекционные свойства кривых линий.

4. Как может проецироваться окружность на плоскости проекций?

5. Что называется обводом?

ПОВЕРХНОСТИ

Поверхности составляют обширное многообразие нелинейных фигур трехмерного пространства. Любое тело ограничивается своей поверхностью. Нет ни одной области деятельности человека, где бы он не сталкивался с поверхностями в виде материальных, физических моделей.

Инженерная деятельность связана непосредственно с конструированием, расчетом, изготовлением различных технических поверхностей. Большинство задач прикладной геометрии сводится к автоматизации конструирования, расчету и воспроизведению сложных технических поверхностей.

Основные понятия и определения

В математике под поверхностью подразумевается непрерывное множество точек, между координатами которых может быть установлена зависимость, определяемая в декартовой системе координат уравнением вида F(x,y,z)=0, где F(x,y,z) -многочлен n-й степени, или в форме какой либо трансцендентной функции. В первом случае поверхности называют алгебраическими, во втором — трансцендентными.

Если алгебраическая поверхность описывается уравнением n -й степени, то поверхность считается n-го порядка. Любая произвольно расположенная плоскость пересекает поверхность по кривой того же порядка (иногда распадающейся или мнимой), какой имеет сама поверхность. Порядок поверхности может быть определен также числом точек ее пересечения с произвольной прямой, не принадлежащей целиком поверхности, считая все точки (действительные и мнимые).

Рис.9.1

В начертательной геометрии геометрические фигуры задаются графически, поэтому поверхность целесообразно рассматривать кинематически: как совокупность всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии. Образование поверхности с помощью линии позволяет дать иное определение поверхности, базирующееся на основных элементарных геометрических понятиях, таких как точка и множество. Действительно, если принять, что положение движущейся в пространстве линии будет непрерывно меняться с течением времени t, и принять t за параметр, то поверхность можно рассматривать как непрерывное однопараметрическое множество линий. В свою очередь, линия определяется как непрерывное однопараметрическое множество точек, поэтому можно дать следующее определение поверхности: поверхностью называется непрерывное двухпараметрическое множество точек.

Изображение по-верхности на плоскости проекций получают обычно заданием перемещающейся l и направляющей линий m с указанием характера перемещения подвижной линии (рис. 9.1.) Перемещающаяся линия называется образующей. Характер перемещения образующей может быть определен, например, с помощью проецирующей плоскости S.

Процесс образования и изображения показанной поверхности можно записать так:

Эти условия сохраняются и на проекции поля П₁.

Другим способом образования и задания поверхности на чертеже является изображение поверхности множеством принадлежащих ей точек или линий, которые выбирают так, чтобы они давали возможность с достаточной степенью точности определять форму поверхности и решать на ней различные задачи (рис. 9.2).

Рис.9.2

Упорядоченное множество точек или линий, принадлежащих поверхности, называется ее каркасом. В зависимости от того, чем задается каркас поверхности, точками или линиями каркасы подразделяются на точечные и линейчатые.

Линейчатый каркас считается непрерывным, если его параметр выражается непрерывной функцией, в противном случае он называется дискретным.

Поверхность будет задана (определена), если в любой момент движения образующей будут известны ее положение и форма, а это в свою очередь позволяет однозначно отвечать на вопрос положения точки на данной поверхности.

Кинематический способ образования поверхности подводит нас к понятию определителя, под которым мы будем подразумевать необходимую и достаточную совокупность геометрических элементов и связей между ними, которые однозначно определяют поверхность.

В определитель должны быть включены:

1. Геометрическая часть, определяющая перечень геометрических элементов, участвующих в образовании поверхности.

2. Алгоритмическая часть, указывающая на взаимосвязь между геометрическими элементами.

Итак, определитель поверхности состоит из двух частей: из совокупности геометрических элементов (1-я часть) и дополнительных сведений (2-ая часть).

В общем случае определитель будет иметь следующую структурную форму:

Ф (Г) [А], где (Г) — геометрическая часть,

[А] — алгоритмическая часть.

Для определения конкретного вида поверхности в каждую часть определителя вкладывается конкретное содержание.

Содержание

Проецирование окружности
Эллипс — определение и вычисление с примерами решения
Эллипс в высшей математике
Уравнение эллипсоида
🎬 Видео

Видео:Аксонометрические Проекции Окружности #черчение #окружность #проекции #изометрияСкачать

Проецирование окружности

Окружность с центром О, рассматриваемая как плоская фигура, проецируется без искажения на ту плоскость, которой она параллельна (рис. 6.5). При этом две другие ее проекции есть отрезки, параллельные осям проекций и равные по длине диаметру окружности.

Если окружность наклонена к плоскости проекций, то ее проекция представляет собой эллипс, большая ось которого равна диаметру окружности. Величина малой оси зависит от угла наклона плоскости окружности к плоскости проекций.

Окружность, изображенная на рис. 6.6, перпендикулярна плоскости проекций П и наклонена к плоскости проекций к₂, поэтому ее фронтальная проекция — эллипс. Большая ось этого эллипса С «И « представляет собой проекцию диаметра окружности, который без искажения проецируется на плоскость проекций л₂. Таким образом, она перпендикулярна плоскости проекций Л1 и параллельна плоскостям проекций 7^2 и Лз. Малая ось эллипса является проекцией диаметра АВ, перпендикулярного СИ. Ее величину на плоскости проекций п₂ определяют с помощью линий проекционной связи, проведенных через точки А’ и В’.

Промежуточные точки эллипса находят с помощью дополнительной плоскости проекций тс₄, которую располагают параллельно плоскости окружности, поэтому окружность проецируется на нее без искажения. Вначале строят новую проекцию центра окружности — точку О™ и на плоскости тс₄ описывают заданную окружность. Затем на окружности намечают 8 или 12 произвольных точек и находят их проекции в системах плоскостей щ/щ и щ/л₂. На рис. 6.6 приведено построение только для двух промежуточных точек 1 и 2; остальные строят аналогично.

Окружность, расположенная в плоскости общего положения, проецируется на все основные плоскости проекций в виде эллипсов, большие оси которых равны ее диаметру. Величины малых осей обычно различны и зависят от углов

наклона заданной плоскости, в которой расположена окружность, к плоскостям проекций.

Если эллипс представляет собой проекцию окружности, то на горизонтальной проекции его большая ось расположена на горизонтальной прямой плоскости, на фронтальной — на фронтальной прямой и на профильной — на профильной прямой.

Построение в плоскости общего положения а(И_а п /_а) (рис. 6.7) проекций окружности с центром в точке О, расположенной на горизонтальной прямой /г_а, и с радиусом, равным /?, начинают с определения проекций осей эллипса.

На горизонтальной проекции окружности по прямой /г_а‘ вправо и влево от точки О‘ откладывают радиус окружности Л, получая при этом точки А’ я В’. Сделав замену плоскостей проекций щ/л2 —> п/щ, где п₄_1_ И_а, и построив новую проекцию окружности в виде отрезка С ,У /) |У , равного диаметру окружности, строят с помощью точек С’ и /)’ малую ось эллипса на горизонтальной проекции (направления построений указаны стрелками).

Для фронтальной проекции окружности через точку О « проводят проекцию прямой, параллельной^’, и на ней вправо и влево от точки О » откладывают радиус окружности Я, получая точки Е «, Е». Сделав замену плоскостей проекций П/П2 —> П2/Л5, где п₅ Е/_а, и построив новую проекцию окружности в виде отрезка, равного диаметру окружности, строят на фронтальной проекции с помощью точек 1У, малую ось эллипса.

Таким образом, на каждой проекции есть по четыре точки, принадлежащие проекции окружности: точки Л ‘, ВС‘, В‘ и Е «, Е», К «, Ь». Проводя из них линии проекционной связи, получают восемь точек для построения горизонтальной и фронтальной проекций эллипса.

Видео:Как начертить овал во фронтальной плоскостиСкачать

Эллипс — определение и вычисление с примерами решения

Эллипс:

Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух выделенных точек

Получим каноническое уравнение эллипса. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы

Рис. 29. Вывод уравнения эллипса.

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно Согласно определению эллипса имеем Из треугольников и по теореме Пифагора найдем

соответственно. Следовательно, согласно определению имеем

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим Раскроем разность квадратов Подставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение Вновь возведем обе части равенства в квадрат Раскрывая все скобки в правой части уравнения, получим Соберем не- известные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим Введем обозначение для разности, стоящей в скобках Уравнение принимает вид Разделив все члены уравнения на получаем каноническое уравнение эллипса: Если то эллипс вытянут вдоль оси Ох, для противоположного неравенства — вдоль оси Оу (при этом фокусы тоже расположены на этой оси). Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х; у) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки следовательно, эллипс симметричен относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии эллипса. Найдем координаты точек пересечения эллипса с декартовыми осями:

т.е. точками пересечения эллипса с осью абсцисс будут точки
т.е. точками пересечения эллипса с осью ординат будут точки (Рис. 30).

Определение: Найденные точки называются вершинами эллипса.

Рис. 30. Вершины, фокусы и параметры эллипса

Определение: Если то параметр а называется большой, а параметр b — малой полуосями эллипса.

Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного рас- стояния к большой полуоси эллипса

Из определения эксцентриситета эллипса следует, что он удовлетворяет двойному неравенству Кроме того, эта характеристика описывает форму эллипса. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения малой полуоси эллипса к большой полуоси

Если и эллипс вырождается в окружность. Если и эллипс вырождается в отрезок

Пример:

Составить уравнение эллипса, если его большая полуось а = 5, а его эксцентриситет

Решение:

Исходя из понятия эксцентриситета, найдем абсциссу фокуса, т.е. параметр Зная параметр с, можно вычислить малую полуось эллипса Следовательно, каноническое уравнение заданного эллипса имеет вид:

Пример:

Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса а третья вершина — в центре окружности

Решение:

Для определения координат фокусов эллипса и центра окружности преобразуем их уравнения к каноническому виду. Эллипс:

Следовательно, большая полуось эллипса а малая полуось Так как то эллипс вытянут вдоль оси ординат Оу. Определим расположение фокусов данного эллипса Итак, Окружность: Выделим полные квадраты по переменным Следовательно, центр окружности находится в точке О(-5; 1).

Построим в декартовой системе координат треугольник Согласно школьной формуле площадь треугольника равна Высота а основание Следовательно, площадь треугольника равна:

Видео:Задание 21 Проецирование окружностиСкачать

Эллипс в высшей математике

где и —заданные положительные числа. Решая его относительно , получим:

Отсюда видно, что уравнение (2) определяет две функции. Пока независимое переменное по абсолютной величине меньше , подкоренное выражение положительно, корень имеет два значения. Каждому значению , удовлетворяющему неравенству соответствуют два значения , равных по абсолютной величине. Значит, геометрическое место точек, определяемое уравнением (2), симметрично относительно оси . Так же можно убедиться в том, что оно симметрично и относительно оси . Поэтому ограничимся рассмотрением только первой четверти.

При , при . Кроме того, заметим, что если увеличивается, то разность уменьшается; стало быть, точка будет перемещаться от точки вправо вниз и попадет в точку . Из соображений симметрии изучаемое геометрическое место точек будет иметь вид, изображенный на рис. 34.

Полученная линия называется эллипсом. Число является длиной отрезка , число —длиной отрезка . Числа и называются полуосями эллипса. Число эксцентриситетом.

Пример:

Найти проекцию окружности на плоскость, не совпадающую с плоскостью окружности.

Решение:

Возьмем две плоскости, пересекающиеся под углом (рис. 35). В каждой из этих плоскостей возьмем систему координат, причем за ось примем прямую пересечения плоскостей, стало быть, ось будет общей для обеих систем. Оси ординат различны, начало координат общее для обеих систем. В плоскости возьмем окружность радиуса с центром в начале координат, ее уравнение .

Пусть точка лежит на этой окружности, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению .

Обозначим проекцию точки на плоскость буквой , а координаты ее—через и . Опустим перпендикуляры из и на ось , это будут отрезки и . Треугольник прямоугольный, в нем , ,, следовательно, . Абсциссы точек и равны, т. е. . Подставим в уравнение значение , тогда cos

а это есть уравнение эллипса с полуосями и .

Таким образом, эллипс является проекцией окружности на плоскость, расположенную под углом к плоскости окружности.

Замечание. Окружность можно рассматривать как эллипс с равными полуосями.

Видео:Как начертить овал. Эллипс вписанный в ромбСкачать

Уравнение эллипсоида

Определение: Трехосным эллипсоидом называется поверхность, полученная в результате равномерной деформации (растяжения или сжатия) сферы по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Рассмотрим сферу радиуса R с центром в начале координат:

где Х, У, Z — текущие координаты точки сферы.

Пусть данная сфера подвергнута равномерной деформации в направлении координатных осей с коэффициентами деформации, равными

В результате сфера превратится в эллипсоид, а точка сферы М (X, У, Z) с текущими координатами Х, У, Z перейдет в точку эллипсоидам (х, у, z) с текущими координатами х, у, г, причем

Иными словами, линейные размеры сферы в направлении оси Ох уменьшаются в раз, если , и увеличиваются в раз, если и т. д.

Подставляя эти формулы в уравнение (1), будем иметь

где Уравнение (2) связывает текущие координаты точки М’ эллипсоида и, следовательно, является уравнением трехосного эллипсоида.

Величины называются полуосями эллипсоида; удвоенные величины называются осями эллипсоида и, очевидно, представляют линейные размеры его в направлениях деформации (в данном случае в направлениях осей координат).

Если две полуоси эллипсоида равны между собой, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения, так как может быть получен в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Например, в геодезии считают поверхность земного шара эллипсоидом вращения с полуосями

а = b = 6377 км и с = 6356 км.

Если а = b = с, то эллипсоид превращается в сферу.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Гипербола
Парабола
Многогранник
Решение задач на вычисление площадей
Шар в геометрии
Правильные многогранники в геометрии
Многогранники
Окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.