При изогональном сопряжении ортоцентр переходит в центр описанной окружности

Ортоцентр — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника.

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.

Свойства:

1. Точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной около него окружности.
   
2. Точка, симметричная ортоцентру относительно середины стороны треугольника, лежит на описанной окружности и диаметрально противоположна вершине треугольника, противолежащей стороне.
3. Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.
   
4. Сумма квадратов расстояния от вершины треугольника до ортоцентра и длины стороны, противолежащей этой вершине, равна квадрату диаметра описанной окружности.
5. Радиус описанной окружности, проведенный к вершине треугольника, перпендикулярен соответствующей стороне ортотреугольника.
   
6. При изогональном сопряжении ортоцентр переходит в центр описанной окружности.
   
7. Ортоцентр в остроугольном треугольнике является инцентром ортотреугольника.
   
8. Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих равные радиусы описанных окружностей. При этом одинаковый радиус этих трех окружностей равен радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.
   

Видео:№16 из ЕГЭ2022 и олимпиады. Красивое доказательство свойства ортоцентра остроугольного треугольникаСкачать

Изогональное сопряжение

Алла Лозинская 4 лет назад Просмотров:

1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Изогональное сопряжение Рассмотрим остроугольный треугольник ABC (для неостроугольного треугольника рассуждения немного меняются, но в целом остаются аналогичными). Возьмём внутри него точку P. Пусть прямая l a симметрична прямой AP относительно биссектрисы угла BAC. Аналогично определим прямые l b и l c. Теорема. Прямые l a, l b и l c пересекаются в одной точке. Точка Q пересечения прямых l a, l b, l c называется изогонально сопряжённой точке P. Ясно, что и наоборот, точка P изогонально сопряжена точке Q. Задача 1. Докажите, что центр описанной окружности треугольника и его ортоцентр являются изогонально сопряжёнными точками. Задача 2. Изогональное сопряжение для любого треугольника имеет ровно четыре неподвижные точки (которые при изогональном сопряжении переходят сами в себя). Что это за точки? Доказательство 1. Теорема Карно Обозначим P a, P b, P c проекции точки P на стороны BC, CA, AB соответственно. (Треугольник P a P b P c называется педальным треугольником точки P относительно треугольника ABC.) Задача 3. Покажите, что AP 2 b + BP 2 c + CP 2 a = P a B 2 + P b C 2 + P c A 2. Задача 4. Покажите, что l a P b P c. Задача 5. Докажите Теорему с помощью теоремы Карно. Доказательство 2. Теорема Чевы Докажем Теорему с помощью теоремы Чевы в форме синусов. Задача 6. (Теорема Чевы) В треугольнике ABC точки X, Y и Z лежат на сторонах BC, CA и AB соответственно. Докажите, что прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда AZ ZB BX XC CY Y A = 1. Задача 7. (Теорема Чевы в форме синусов) В треугольнике ABC точки X, Y и Z лежат на сторонах BC, CA и AB соответственно. Прямые AX, BY, CZ разбивают углы A, B, C на углы α 1, α 2, β 1, β 2, γ 1, γ 2 соответственно (в порядке обхода по часовой стрелке). Докажите, что прямые AX, BY, CZ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда sin α 1 sin α 2 sin β 1 sin β 2 sin γ 1 sin γ 2 = 1. Задача 8. Докажите Теорему. 1

2 Доказательство 3. Отражения Обозначим P 1, P 2, P 3 точки, симметричные точке P относительно сторон треугольника; Задача 9. Пусть Q центр описанной окружности треугольника P 1 P 2 P 3. Докажите, что P AB = QAC. Задача 10. Докажите Теорему. Задача 11. Докажите, что если точки P и Q изогонально сопряжены, то их проекции P a, P b, P c, Q a, Q b, Q c расположены на одной окружности. Где находится центр этой окружности? Доказательство 4. Ортоцентры Пусть H a, H b, H c ортоцентры треугольников AP b P c, BP c P a, CP a P b соответственно. Задача 12. Докажите Теорему, показав, что l a, l b, l c высоты треугольника H a H b H c. Доказательство 5. Вспомогательная окружность Пусть Q точка пересечения l a и l b. Расмотрим описанную окружность ω треугольника BQC, а также вторую точку T пересечения l a и ω. Задача 13. Докажите Теорему, показав, что P CA = BCQ. Доказательство 6. Вписанный шестиугольник Начнём со вспомогательного критерия. Задача 14. Пусть шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Докажите, что диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда AB BC CD DE EF F A = 1. Пусть снова Q точка пересечения l a и l b. Рассмотрим точки A p, B p, C p и A q, B q, C q пересечения прямых AP, BP, CP и A q, B q, C q с описанной окружностью треугольника ABC. Задача 15. Докажите Теорему, воспользовавшись критерием предыдущей задачи. Доказательство 7. Преобразование подобия Рассмотрим окружность, описанную вокруг треугольника BP C. Пусть C и B вторые точки пересечения этой окружности с прямыми AB и AC соответственно. Задача 16. Докажите, что AB C ABC. Задача 17. Докажите Теорему, показав, что преобразование подобия, переводящее AB C в ABC, переводит прямые AP, B P, C P в прямые l a, l b, l c соответственно. 2

3 Доказательство 8. Педальный треугольник Пусть A 1, B 1, C 1 проекции точки P на стороны B p C p, C p A p, A p B p треугольника A p B p C p соответственно (иными словами, треугольник A 1 B 1 C 1 является педальным треугольником точки P относительно треугольника A p B p C p ). Задача 18. Докажите, что A 1 B 1 C 1 ABC. Задача 19. Докажите Теорему, показав, что преобразование подобия, переводящее A 1 B 1 C 1 в ABC, переводит прямые A 1 P, B 1 P, C 1 P в прямые l a, l b, l c соответственно. Доказательство 9. Второй педальный треугольник Рассмотрим проекции P a, P b, P c точки P на прямые P b P c, P c P a, P a P b соответственно. Треугольник P ap b P c называется вторым педальным треугольником. Пусть A, B, C вторые точки пересечения прямых P P a, P P b, P P c с описанной окружностью треугольника P ap b P c. Задача 20. Докажите, что A B C ABC. Задача 21. Докажите Теорему, показав, что преобразование подобия, переводящее A B C в ABC, переводит прямые A P, B P, C P в прямые l a, l b, l c соответственно. Доказательство 10. Теорема Паскаля Теорема Паскаля. Точки пересечения трёх пар сторон вписанного шестиугольника лежат на одной прямой. Задача 22. Докажите теорему Паскаля для вписанного шестиугольника ABCDEF. Именно, сделайте следующее: обозначьте K = AB DE, L = BC EF, M = CD F A (хотим доказать, таким образом, что точки K, L, M лежат на одной прямой); введите точки X = AB CD, Y = CD EF, Z = EF AB; к треугольнику XY Z примените три раза теорему Менелая для секущих BCL, EDK и F AM (каждый раз начинайте двигаться от точки X к точке Z); перемножьте три полученных равенства и произведите сокращения, учитывая степени точек X, Y, Z относительно окружности. На самом деле теорема Паскаля остаётся справедливой при произвольном (не обязательно последовательном) расположении точек A, B, C, D, E, F на окружности в любом случае точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и F A будут лежать на одной прямой. Вернёмся к треугольнику ABC и точке P. Рассмотрим окружность ω, проходящую через точки B, C и пересекающую продолжения сторон BA и CA (за точку A) в точках C 1 и B 1 соответственно. Пусть BP пересекает ω в точке M, а CP пересекает ω в точке N; пусть P 1 точка пересечения B 1 M и C 1 N. Задача 23. Докажите Теорему, показав, что преобразование подобия, переводящее AB 1 C 1 в ABC, переводит прямые AP 1, B 1 P 1, C 1 P 1 в прямые l a, l b, l c соответственно. 3

4 Доказательство 11. Трилинейные координаты Пусть x a, x b, x c расстояния от точки P до соответствующих сторон треугольника ABC. Эти числа называются трилинейными координатами точки P. Будем писать P = (x a, x b, x c ). Задача 24. Пусть T = (y a, y b, y c ). Докажите, что T лежит на прямой P A в том и только в том случае, если y b /y c = x b /x c. Задача 25. Докажите, что не существует точки с трилинейными координатами (λx a, λx b, λx c ) при λ 1. Иными словами, можно считать, что тройка (λx a, λx b, λx c ) определяет ту же самую точку P (то есть трилинейные координаты определены с точностью до пропорциональности). Задача 26. Пусть Q = (y a, y b, y c ). Докажите, что Q l a x b y b = x c y c. Задача 27. Докажите Теорему. Задача 28. Сделайте вывод, что точка Q, изогонально сопряжённая точке P, имеет трилинейные координаты (1/x a, 1/x b, 1/x c ). Задача 29. На сторонах AD и DC выпуклого четырёхугольника ABCD взяты точки P и Q так, что ABP = CBQ. Отрезки AQ и CP пересекаются в точке E. Докажите, что ABE = CBD. Задача 30. Пусть a, b, c длины сторон треугольника. Найдите трилинейные координаты точки пересечения медиан. Задача 31. а) Пусть M точка пересечения медиан треугольника ABC. Для произвольной точки X докажите, что AX 2 + BX 2 + CX 2 = AM 2 + BM 2 + CM 2 + 3MX 2. Сделайте вывод, что сумма квадратов расстояний от некоторой точки до вершин треугольника минимальна для точки пересечения медиан. б) Докажите, что сумма квадратов расстояний от некоторой точки до сторон треугольника минимальна для точки Лемуана (изогонально сопряжённой точке пересечения медиан). Точки Торричелли и Аполлония Чтобы не отвлекаться на частности, мы в этом разделе будем не только считать треугольник ABC остроугольным, но и дополнительно предполагать, что он неравнобедренный и в нём нет угла 60. Задача 32. а) На сторонах треугольника ABC построим вовне его равносторонние треугольники ABC 1, BCA 1 и CAB 1. Докажите, что прямые AA 1, BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке (первая точка Торричелли). Покажите, что стороны AB, BC и CA видны из этой точки под одинаковыми углами 120. б) Аналогично, на сторонах треугольника ABC построим вовнутрь его равносторонние треугольники ABC 2, BCA 2 и CAB 2. Докажите, что прямые AA 2, BB 2 и CC 2 пересекаются в одной точке (вторая точка Торричелли). 4

5 Задача 33. Докажите, что точки Торричелли имеют трилинейные координаты ( ) 1 sin ( 1 π ± α), sin ( 1 π ± β), sin ( π ± γ), где знак плюс берётся для первой точки Торричелли, а знак минус для второй. Задача 34. (Точки Аполлония) С треугольником ABC свяжем три окружности Аполлония, которые служат геометрическими местами точек X таких, что выполняются соответственно соотношения AX BX = AC BC, BX CX = BA CA, CX AX = CB AB. Докажите, что эти три окружности имеют в точности две общие точки (которые называются точками Аполлония). Задача 35. Докажите, что педальный треугольник точки Аполлония относительно треугольника ABC является равносторонним. Задача 36. Вычислите трилинейные координаты точек Аполлония и докажите, что точки Аполлония изогонально сопряжены точкам Торричелли. Точки Брокара Первой точкой Брокара треугольника ABC называется такая точка P внутри него, что P AC = P CB = P BA. Аналогично, для второй точки Брокара выполнено QAB = QCA = QBC. Если в задаче требуется доказать что-либо насчёт «точки Брокара», то это нужно сделать как для первой точки Брокара, так и для второй. Задача 37. Через точку Брокара провели прямые, соединяющие её с вершинами треугольника ABC и пересекающие описанную около него окружность в точках A 1, B 1, C 1. Докажите, что A 1 B 1 C 1 = ABC. Задача 38. Докажите существование точки Брокара. Для этого постройте на сторонах треугольника ABC вовне его подобные ему треугольники ABC, BCA и CAB. Покажите, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку, которая как раз и будет точкой Брокара. Задача 39. Докажите единственность точки Брокара. Задача 40. Докажите, что прямые AA, BB и CC пересекаются в точке Брокара. Задача 41. Докажите, что первая и вторая точки Брокара P и Q изогонально сопряжены. Именно, обозначим ϕ = P AC = P CB = P BA и ψ = QAB = QCA = QBC. Покажите, что ctg ϕ = ctg α + ctg β + ctg γ, и аналогично для угла ψ. 5

6 Задача 42. Пусть P и Q первая и вторая точки Брокара треугольника ABC. Пусть прямые CP и BQ, AP и CQ, BP и AQ пересекаются в точках A 1, B 1, C 1 соответственно. Докажите, что точки P, Q, A 1, B 1, C 1 лежат на одной окружности. Задача 43. Угол ϕ = P AC = P CB = P BA = QAB = QCA = QBC называется углом Брокара треугольника ABC. а) Докажите, что угол Брокара не превосходит 30. б) Докажите, что угол Брокара удовлетворяет соотношению sin 3 ϕ = sin(α ϕ) sin(β ϕ) sin(γ ϕ). Задача 44. Докажите, что для любой точки X, взятой внутри треугольника ABC, один из углов ABX, BCX, CAX не превосходит 30. Задача 45. Пусть P точка Брокара треугольника ABC, R радиус его описанной окружности; R a, R b и R c радиусы описанных окружностей треугольников P BC, P CA и P AB. Докажите, что R 3 = R a R b R c. Задача 46. Найдите трилинейные координаты точек Брокара. Задача 47. На сторонах CA, AB и BC остроугольного треугольника ABC взяты точки A, B и C так, что AB A = BC B = CA C. Докажите, что A B C ABC, причём центр поворотной гомотетии, переводящей один треугольник в другой, совпадает с первой точкой Брокара обоих треугольников. Задача 48. а) Докажите, что для угла Брокара выполнено соотношение ctg ϕ = a2 + b 2 + c 2 4S б) (окружность Нейберга) Пусть вершины B и C треугольника фиксированы, а вершина A движется так, что угол Брокара ϕ треугольника ABC остаётся постоянным. Докажите, что точка A описывает окружность. Найдите радиус этой окружности.. a 2 ctg 2 ϕ 3 Задача 49. а) Докажите, что функция f(x) = ln ( x sin x) монотонно возрастает и выпукла вниз. б) Для угла Брокара ϕ докажите неравенство ϕ 3 (α ϕ)(β ϕ)(γ ϕ). в) Докажите неравенство Йиффа: 8ϕ 3 αβγ. 6

Видео:Как решать задачи в одну строчку?Скачать

Изогональное сопряжение в четырехугольнике

Изогональное сопряжение в четырехугольнике

Автор: Уткин Андрей

ГБОУ «Школа Глория», МФТИ ФФКЭ, 1 курс.

В работе исследуются свойства описанного четырехугольника. Основным инструментом является теорема об изогональном сопряжении в четырехугольнике.

Базовые факты и теоремы. 3

Некоторые свойства описанного четырехугольника 5

Приложение 1. Доказательство базовых фактов и теорем. 14

Приложение 2. 16

Видео:Изогональное сопряжение | Олимпиадная математикаСкачать

Введение

В четырехугольнике ABCD I – центр вписанной окружности, S – точка пересечения диагоналей; Центры вписанных окружностей ДASB, ДBSC, ДCSD, ДDSA – IAB, IBC, ICD, IDA соответственно; Центры вписанных окружностей ДDAB, ДABC, ДBCD, ДCDA – SA, SB, SC, SD соответственно; IABSD ∩ IDASB = FA, IABSC ∩ IBCSA = FB, IBCSD ∩ ICDSB = FC, ICDSA ∩ IDASC = FD.

Обозначим через lBC общую внешнюю касательную вписанных окружностей ДABC и ДBCD, отличную от BC. Аналогично определим lAB, lCD, lDA. Тогда прямые lBC, lCD и AC пересекаются в одной точке; Точка пересечения прямых SAFC, SCFA, SBFD, SDFB существует и лежит на прямой IS.

В разделе «Базовые факты и теоремы» приводятся те утверждения, которые будут использованы в основной части работы в качестве лемм. Их доказательство приведено в приложении 1.

Раздел «Некоторые свойства описанного четырехугольника» содержит ряд утверждений, последовательно приводящих к доказательству тех свойств, которым посвящена работа.

Зеленым цветом выделено указание на источники.

Желтым цветом отмечены факты и теоремы.

Красным цветом выделены наиболее значимые утверждения и результаты.

Видео:Геометрическое решение задачи из видео Бориса Трушина. Изогональное сопряжение.Педальный треугольникСкачать

Базовые факты и теоремы.

Теорема об изогонально сопряженных точках в треугольнике

В треугольнике ABC точки P и Q таковы, что ∠BAP = ∠CAQ, ∠ABP = ∠CBQ. Тогда ∠ACP = ∠BCQ.

Несколько различных доказательств см. в [3]

Теорема об изогоналях

Через точку O проходят 4 прямые l1, l2, l3, l4, причем l2 и l3 симметричны относительно биссектрисы (любой) ∠(l1, l4). Пусть на них выбрано по одной точке – A, B, C, D соответственно. Пусть P = AB ∩ CD, Q = AC ∩ BD. Тогда прямые OP и OQ симметричны относительно биссектрисы ∠(l1, l4).

Доказательство и подборку задач см. в [4]

Изогональное свойство эллипса

Пусть касательные к эллипсу с фокусами FA и FB, восстановленные в точках M и N пересекаются в точке P, то ∠MPFA = ∠MPFB.

Док-во см. в [1] (стр. 15).

Если в четырехугольнике ABCD точки P и Q изогонально сопряжены, то для ориентированных углов ∠APB + ∠CPD = 180° и ∠AQB + ∠CQD = 180°.

Следствие из теоремы 1

Пусть в четырехугольнике ABCD P такова, что ∠APB + ∠CPD = 180°. Тогда для нее существует изогонально сопряженная точка.

Факт 1. Центр описанной окружности четырехугольника ABCD с перпендикулярными диагоналями изогонально сопряжен в нем точке пересечения диагоналей.

Факт 2. Четырехугольник делится на 9 выпуклых четырехугольников 2 прямыми, соединяющими AB и CD, и двумя прямыми, соединяющими BC и AD. Угловые и центральный четырехугольники описанные. Тогда исходный четырехугольник описанный.

Факт 3. I – центр вписанной в ABCD окружности. На отрезках AI и CI выбраны точки M и N. Причем ∠MBN = Ѕ ∠ABC. Тогда ∠MDN = Ѕ ∠ADC.

Факт 4. () В треугольнике ДABC на стороне BC выбрана точка D. Окружности с центрами J1 и J2 вписаны в треугольники ДABD и ДACD. Пусть M – точка касания вписанной окружности ДABC со стороной BC. Тогда ∠J1MJ2 = 90°.

Этот факт является частным случаем факта 3.

Видео:Олимпиады 2022. Антипараллельность. Симедиана. Повороты. Изогональное сопряжение. ГомотетияСкачать

Некоторые свойства описанного четырехугольника

11. В описанном четырехугольнике ABCD проведены пересекающиеся в точке P отрезки AM и DN, где M и N лежат на стороне BC. В треугольники MNP, APD, ABM и DCN вписаны окружности с центрами SA, SB, SC и SD соответственно. Доказать, что эти центры лежат на одной окружности.

∠BIC + ∠AID = 180°, где I – центр вписанной в четырехугольник ABCD окружности. Заметим, что ∠SCAI = ∠SBAD и ∠SDDI = ∠SBDA, так как ASC, ASB, AI – биссектрисы углов ∠BAM, ∠DAM, ∠BAD, и аналогично DSD, DSB, DI – биссектрисы углов ∠CDN, ∠ADN, ∠CDA.

Рассмотрим четырехугольник ASCSDD. В нем SB и I изогонально сопряжены. Значит, по теореме 1 ∠ASBD = 180° – SCSBSD. Так как ∠MSAN = 90° + Ѕ ∠MPN = ∠ASBD, SASCSBSD – вписанный.

Можно заметить, что, рассматривая прямые AD, AM, ND, касательную к окружностям с центрами в SC и SD, получим частный случай факта 2, где 2 окружности вырождаются в точки. Поэтому касательная к окружностям с центрами в SC и SD, AP, DP и AD, образует описанный четырехугольник. Таким образом, существует прямая, касающаяся одновременно окружностей, вписанных в треугольники APD, ABM и DCN. Эти доказательства эквивалентны.

2. Диагонали описанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке S. Центры вписанных окружностей ДASB, ДBSC, ДCSD, ДDSA – IAB, IBC, ICD, IDA соответственно. Тогда четырехугольник IABIBCICDIDA вписанный. ([2], 5.4.17, [5])

Пусть SA, SB, SC, SD – центры вписанных окружностей треугольников ДDAB, ДABC, ДBCD, ДCDA. Рассмотрим треугольники ДASAIDA, ДCSCICD. По теореме, обратной к теореме Дезарга, прямые AC, SASC, ICDIDA пересекаются в одной точке. Аналогично AC, SASC, IABIBC пересекаются в одной точке. Значит, ICDIDA, IABIBC и AC пересекаются в одной точке (обозначим ее U).

Вписанные окружности ДABC и ДADC касаются диагонали в одной точке (известный факт). Используем факт 4: точки ICD, IDA, S, P лежат на одной окружности, как и точки IAB, IBC, S, P. IABIBCICDIDA – вписанный.

3. P и Q изогонально сопряжены в четырехугольнике IABIBCICDIDA.

∠QIABIDA = ∠IDASD = Ѕ ∠ASD, ∠PIABIBC = ∠IBCSC = Ѕ ∠BSC. Аналогично для других углов четырехугольника.

42. Доказать, что точка пересечения SASC и SBSD (O) является центром описанной окружности IABIBCICDIDA.

Пусть точки пересечения SASC и AC, SBSD и BD – U и V соответственно. Как было показано выше, U = IABIBC ∩ ICDIDA, V = IABIDA ∩ IBCICD. Рассмотрим четырехугольник IABIBCICDIDA. Рассматриваем в нем 2 пары изогонально сопряженных точек: (P, Q), (U, V) (!). По теореме об изогоналях для каждого угла четырехугольника, O и S изогонально в нем сопряжены. Но S – точка пересечения перпендикулярных диагоналей вписанного четырехугольника. Значит, O – центр описанной окружности IABIBCICDIDA (факт 1).

Хочу отметить такой факт: UV⏊OS, так как UV – поляра точки S для окружности, описанной около IABIBCICDIDA. В дальнейшем он использоваться не будет.

53. Касательные к описанной окружности IABIBCICDIDA, восстановленные в 2 циклически последовательных точках, пересекаются на одной из диагоналей четырехугольника ABCD.

Заметим, что P – середина хорды, высекаемой на окружности диагональю AC. Кроме того, ∠IABPA = ∠IABIBCIDA = ∠IABICDIDA = ∠IDAPA. Проведем срединный перпендикуляр к IABIDA. Пусть он пересечет AC в точке X. Тогда точки IAB, IDA, P, O, X лежат на одной окружности, так как ∠IABPX = ∠IABIBCIDA = ∠IABOX, ∠IDAPX = ∠IABICDIDA = ∠IDAOX. Так как OX – диаметр, XIAB и XIDA – касательные. Это и требовалось доказать.

Верен факт, что точка пересечения касательных к окружности из точек IAB и IDA (K1,4 := X) и SA изогонально сопряжены в треугольнике ДAIABIDA. Это следует из равенства ∠SAIABA = 90° – Ѕ ∠ASB = ∠IDASA = ∠IDAICDIAB = ∠IDAIABK1,4 = ∠IABIDAK1,4 = ∠SAIDAA.

6. Доказать, что отражения точки P относительно прямых IABIBC и ICDIDA лежат на диагонали BD.

Пусть P’ (в Таблице 1 обозначено симметрично) – отражение P относительно IABIBC. Тогда ∠BIABSB = 90° – Ѕ ∠ASB = ∠BSIBC = ∠PIABIBC = ∠P’IABIBC и, аналогично, ∠BIBCSB = ∠P’IBCIAB. Значит, точки SB и P’ изогонально сопряжены в ДBIABIBC. Но прямая BD изогонально сопряжена BSB в ∠IABBIBC, ∠IABBSB = Ѕ (∠ABC – ∠ABD), а ∠IBCBD = Ѕ ∠CBD, но ∠ABC – ∠ABD = ∠CBD. Таким образом, этот факт доказан.

7. 1. Прямые IABSD и IDASB пересекаются на диагонали AC.

Заметим, что в треугольнике SDASB AP – высота, а ∠APIAB = ∠APIDA. По теореме Бланшета прямые IABSD и IDASB пересекаются на высоте AP.

Обозначим IABSD ∩ IDASB = FA, IABSC ∩ IBCSA = FB, IBCSD ∩ ICDSB = FC, ICDSA ∩ IDASC = FD.

7. 2. Верны следующие 3 факта (и аналогичные им):

1) В ДIABSDIBC FB и P изогонально сопряжены, так как ∠SDIABSC = 180° – ∠SDICDSC = 90° – Ѕ ∠DSC = Ѕ ∠BSC = ∠PIABIBC (IABSDICDSC – вписанный, используя задачу 1), аналогично ∠SDIBCSA = ∠IABIBCP;

2) Точки FB и SB изогонально сопряжены в четырехугольнике SDIABBIBC, так как ∠IABSDSB = ∠IBCSDFB (из 1), ∠SDIABIBC = ∠PIABIBC = Ѕ ∠BSC = ∠BIABSB, ∠SDIBCFB = ∠BIBCIAB, ∠IABBSB = ∠IBCBFB.

3) Прямые FBSD и BD – изогонали в ∠SAFBSC. Следует из пункта 2) и теоремы об изогональных точках в четырехугольнике.

7. 3. Прямые FASC, FBSD, FCSA, FDSB пересекаются в одной точке.

Мы установили, что FBSD и BD – изогонали в ∠SAFBSC и FDSB и BD – изогонали в ∠SAFDSC. Кроме того, ∠SAQFB = ∠SCQFD = 90°, поэтому в четырехугольнике SAFBSCFD для точки Q существует изогонально сопряженная точка, которая и есть точка пересечения FASC, FBSD, FCSA, FDSB. Обозначим эту точку F.

Как следствие, ∠SAFFB +∠SCFFD = 180°.

8. 1. I и F изогонально сопряжены в SASBSCSD.

Согласно пункту 7. 2. 2), ∠SASBI = 180° – ∠SASBB = ∠FDSBSC. Аналогично ∠SBSCI = ∠FASCSD, ∠SCSDI = ∠FBSDSA и ∠SDSAI = ∠FCSASB. Поэтому I и F изогонально сопряжены в SASBSCSD.

Стоит заметить, что точки I и FB изогонально сопряжены в четырехугольнике SABSCSD, так как ∠SAIB + ∠SCISD = 180°, BI и BFB – изогонали в ∠SABSC, а SDI и SDFB – изогонали в ∠SASDSC.

Кроме того, в треугольнике ДBSBFD точки SA и SC изогонально сопряжены.

8. 2. Четырехугольник FAFBFCFD описанный с центром F.

Рассмотрим четырехугольник SDFAFFC. В нем точки FB и SB изогонально сопряжены, так как ∠FASBSD = ∠FCSBFD (но SB лежит снаружи), ∠FASDSB = ∠FCSDFB, ∠FAFSB = ∠FBFFC (согласно 7. 3). Если так, то ∠FAFBF = ∠FCFBF, потому что точки FB, F и SD коллинеарны. Отсюда F – центр вписанной окружности FAFBFCFD.

9. 1. FAFB касается вписанных окружностей ДACD и ДBCD.

В четырехугольнике FASBFCF точки FD и SD изогонально сопряжены. Это верно, так как было доказано, что ∠FASBSD = ∠FCSBFD, ∠FAFSD = ∠FCFFD, ∠FASDSB = ∠FCSDF. Тогда ∠FDFAF = ∠SDFAIDA = ∠(IDASB, IABSD). Этот угол равен углу между биссектрисами углов ∠FBFAFC и ∠FDFAFC. Так как они изогонали в угле ∠FCFAF, то они изогонали в ∠SBFASD, значит, биссектрисы углов ∠FBFAFC и ∠FDFAFC перпендикулярны IABSD, IDASB соответственно. Поэтому биссектриса внешнего угла ∠FBFAFC проходит через SD. Так как FBF – биссектриса ∠FAFBFC, то утверждение пункта доказано.

Таким образом, SCSD – биссектриса угла ∠(FAFB, CD).

9. 2. Четырехугольники ABFBFA, BCFCFB, CDFDFC, DAFAFD описанные.

Этот факт является частным случаем пункта 1. У вписанных окружностей ACD, BCD и ABS есть общая касательная. Это прямая FAFB.

9. 3. Точка F лежит на IS.

Мы знаем из пункта 8. 1, что центр вписанной окружности малого четырехугольника – это F. В 9. 1 было показано, что красные касательные пересекаются в точках FA, FB, FC, FD.

Рассмотрим вписанную окружность ABCD, вписанную окружность ABD и вписанную окружность FAFBFCFD. По теореме о 3 центрах гомотетии центр положительной гомотетии вписанных окружностей ABCD и FAFBFCFD лежит на диагонали BD. Аналогично этот центр лежит на AC. То есть это точка пересечения диагоналей – S. Поэтому S, F и I лежит на одной прямой (прямая центров этих окружностей).

Видео:Свойства ортоцентраСкачать

Приложение 1. Доказательство базовых фактов и теорем.

1 способ. Пусть P’ – точка, изогонально сопряженная P в ABC, Q’ – точка, изогонально сопряженная Q в ADC. Тогда ∠P’AC = ∠BAP = ∠QAD = ∠ CAQ’. Аналогично ∠P’CA = ∠ACQ’. Значит, точки P’ и Q’ симметричны относительно AC. P’ лежит на BQ, Q’ лежит на DP. В треугольнике ДAPC B и Q’ изогонально сопряжены, значит BP и DP – изогонали в ∠APC, значит, ∠APB + ∠CPD = 180°.

2 способ. Впишем в четырехугольник эллипс с фокусами в P и Q. Соединим P с точками касания эллипса и сторон четырехугольника. Воспользуемся фактом, что касательные из одной точки видны из фокуса под одинаковым углом (доказательство см. в [1] на стр. 17). Таким образом, ∠APB + ∠CPD = ∠APD + ∠BPC = 180°.

Следствие из теоремы 1.

Построим Q таким образом: пусть DP и DQ – изогонали в ∠D, BP и BQ – изогонали в ∠B. Рассмотрим четырехугольник BPDQ. В нем точки A и C изогонально сопряжены. Тогда по теореме 1 ∠(BA, PA) + ∠(DA, QA) = 180°. Аналогично ∠(BC, PC) + ∠(DC, QC) = 180°, что означает, что P и Q изогонально сопряжены в четырехугольнике ABCD.

Обозначим HA, HB, HC, HD – соответственно ортоцентры треугольников ДBCD, ДACD, ДABD, ДABC. Так как ортоцентр в треугольнике изогонально сопряжен центру описанной окружности, то соответственно в углах ∠A, ∠B, ∠C, ∠D пары прямых (AO, AHC), (BO, BHD), (CO, CHA), (DO, DHB) – изогонали. Из этого следует утверждение факта.

Рассмотрим четырехугольник PQRS. Точка I в нем такова, что ∠PIQ + ∠RIS = 180°. Его вершины лежат на биссектрисах углов ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

Заметим, что ∠QPF = ∠EPS = 90° + ∠A/2 , значит, ∠EPQ = ∠SPF. Так как для угла ∠EPF AP изогональна PK, то это верно и для ∠QPS.

Аналогично биссектрисы ∠B, ∠C, ∠D изогональны QL, RM, SN для соответствующих углов четырехугольника PQRS.

Таким образом, если биссектрисы углов ∠A, ∠B, ∠C, ∠D пересекаются в одной точке, то эта точка будет изогонально сопряженной в PQRS точке I. Но они пересекаются в одной точке по следствию из теоремы 1, поскольку ∠PIQ + ∠RIS = 180°.

Рассмотрим четырехугольник ABQD. В нем ∠AIB + ∠QID = 180°, AI, AP – одна биссектриса, DP, DI – изогонали. Значит, в ABQD I и P изогонально сопряжены. Тогда ∠ABP = ∠QBI ⇒ ∠PBQ = Ѕ ∠B.

Рассмотрим четырехугольник J1ACM. ∠J1IM + ∠AIC = (90° – Ѕ ∠B) + (90° + Ѕ ∠B), значит для существует изогонально сопряженная точка. Так как CI – биссектриса ∠C, то CI и CJ2 – изогонали в ∠C. Так как ∠CAJ2 = Ѕ ∠CAD, ∠J1AI = Ѕ ∠A – Ѕ ∠BAD. Значит ∠CAJ2 = ∠J1AI. Исходя из единственности точки пересечения AJ2 и CJ2, заключаем, что I и J2 изогонально сопряжены в J1ACM. Поэтому ∠J1MI = J2MC, ∠IMJ2 +∠J1MI = (90° – ∠J2MC) + ∠J1MI = 90°, ч. т.д.

Интересное доказательство можно найти в источнике [6].

Видео:✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис ТрушинСкачать

Приложение 2.

Одинаковым цветом выделены четырехугольники и треугольники, эквивалентные при циклическом переименовании точек.

Таблица 1. Изогонально сопряженные точки в четырехугольниках

📸 Видео

Свойство ортоцентра УНИЧТОЖАЕТ №16 из ДОСРОЧНОГО ЕГЭ 2020Скачать

ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ. Свойства ортоцентра. Решени задач из ЕГЭ прошлых лет. Курс: 1-12.16Скачать

✓ Степень точки в ЕГЭ | Резерв досрока ЕГЭ-2022. Задание 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

СВОЙСТВА ВЫСОТ И ОРТОЦЕНТРАСкачать

ЕГЭ2020. Математика. №16. Ортоцентр. Вневписанная. Теорема Бланшета. Антипараллельность. СимедианаСкачать

Как рубить планик в капусту? Ортоцентр, трезубец, антипараллельность, симедиана, теорема ПаскаляСкачать

Радикальные оси для ЕГЭ профиль. Геометрические конструкции, убивающие №16Скачать

ЕГЭ и олимпиады по математике. Свойство ортоцентраСкачать

#4str. Разговор про равнобокие (равносторонние, прямоугольные) гиперболы. Часть IСкачать

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

СЕКРЕТНАЯ "Лемма 255" в №16 из ЕГЭ 2020 по профильной МАТЕМАТИКЕСкачать

2031 окружность центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABCСкачать

Стереометрия из ДВИ2021 по математикеСкачать