Повторение треугольники 9 класс (7 видео)

Повторение темы «Треугольники». 9 класс
план-конспект занятия по геометрии (9 класс) по теме

Повторение основных понятий и теорем по данной теме.

Содержание

Скачать:
Предварительный просмотр:
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Урок обобщающего повторения на тему: «Треугольник» в 9-м классе
Урок повторения по геометрии по теме «Треугольники» (для 9 класса)
Выберите документ из архива для просмотра:
Пояснительная записка
📽️ Видео

Видео:Вся геометрия за 45 минут | Геометрия 7-9 классыСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
treugolniki.docx	683.55 КБ

Видео:Повторяем геометрию 7 - 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Предварительный просмотр:

Повторение темы «Треугольники»

(9 класс, геометрия)

Цель урока : Повторить основные понятия и теоремы по теме «Треугольники».

Задача урока : уметь применять на практике теоремы и свойства различных видов треугольников.

Вопросы и задания:

С какими видами треугольников вы встречаетесь при решении задач чаще всего? (равносторонний, равнобедренный, прямоугольный).
Какой треугольник называется равносторонним? (треугольник, все стороны которого равны).
Какой треугольник называется равнобедренным? Как называются его стороны? ( если две его стороны равны; равные стороны называются боковыми, а третья – основанием).
Сформулировать теоремы о свойствах равнобедренного треугольника ( а) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны).

Задание: Найти величину неизвестного угла:

б) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой).

5) Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник? (Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны; три медианы).

Задание: Построить на доске медианы в данном треугольнике.

6) Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник? (отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны).

Задание: Построить на доске биссектрисы в данном треугольнике.

7) Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник? Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону).

8) Поясните понятие «замечательные точки треугольника». Сколько их? (точки пересечения биссектрисс, медиан, высот, серединных перпендикуляров).

9) Какая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку? (прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему)

Задание: Построить на доске серединные перпендикуляры в треугольнике.

10) Как связаны некоторые из этих точек с центром вписанной и описанной окружности? (точка пересечения биссектрисс – центр вписанной окружности, точка пересечения серединных перпендикуляров – центр описанной окружности).

11) Что такое периметр треугольника? (сумма длин трёх сторон).

12). Составьте формулы для вычисления периметров треугольников?

13) Какие теоремы для нахождения площади треугольников вы знаете?

( 1) Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту; 2) Площадь треугольника равна половине произведения его катетов;

3) Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними).

14) Вычислите площади треугольников:

Ответ: (14; 7,5; 3, 75)

15) Что называется синусом, косинусом, тангенсом острого угла прямоугольного треугольника? (Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.)

16) По данным рисунка найдите sin A, cos A, tg A.

17) Как назвается прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5? (Египетский. Сообщение ученикапо «Египетскому треугольнику»; он использовался в Древнем Египте для построения прямого угла. 3,4,5 – «Пифагорова тройка»; удовлетворяют соотношению a 2 +b 2 =c 2 : 5, 12, 13; 6, 8, 10).

18) Что значит «Решить треугольник»? (найти все его неизвестные элементы, т.е. стороны и углы).

19) Какие теоремы мы используем при «решении треугольника»? (Теорема синусов: «Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов»; Теорема косинусов: «Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними»).

20) а) Дан треугольник МNР. Прочитайте, как используя теорему косинусов найти квадрат каждой стороны.

б) Применить теорему синусов к данному треугольнику.

21) Вычислить, используя формулы приведения и «Таблицу Брадиса» значения sin 160° ; cos 140°.

( sin 160°= sin 180°-20°)= sin20°;

cos 140°= cos 180°-40°)= — cos 40°).

22) Самостоятельная работа (дифференцированно): Задание из учебника «Геометрия 7-9, Л.С. Атанасян» № 1025 по теме «Решение треугольников» — хорошо успевающим учащимся;

задание на карточке – слабоуспевающим: (под каждым треугольником подписать необходимые геометрические термины)

23) Взаимопроверка (ответы к заданиям даны на доске).

Подведение итога урока, выставление оценок учащимся.

Видео:ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минутСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок по теме:»Имя числительное»(повторение) 6 класс

Урок систематизации и обощения знаний уч-ся 6 класса по теме: «Имя числительное» с использованием местного материала, ИКТ.

Урок по теме:»Имя числительное»(повторение) 6 класс

План урока на тему «Электрические явления. Повторение» 8 класс

План урока в 8 классе.

Контрольная работа по теме «Повторение» (11 класс, учебник Буховцева Б.Б., Мякишева Г.Я.)

Данная работа представляет собой материал, который может быть использован при проведении «нулевого» среза в 11 классе. Работа — кратковременная, рассчитана на 25- 30 мин, состоит из 15 заданий с выбор.

тестовые задания по теме «Повторение» 6 класс

Данные тестовые задания предназначены для учащихся 5-6 классов и могут быть использованы для проверки знаний после уроков комплексного повторения.

Урок повторение 11 класс Тема: Урок повторение редакторы операционной системы по теме «Что такое мир?»

Цель: углубить и расширить знания учащихся по теме редакторы ОС через защиту проектов.Задачиактуализация навыков по составлению графиков, рисунков, презентаций, фильмов;формировать навыки создания про.

задания для 9 класса на повторение 8 класса

Задачи предусматривают рассмотрение тем, пройденных в 8 классе по геометрии.

Видео:🌟 ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ 🌟 за 9 класс быстрое ПОВТОРЕНИЕ 📖 ТЕОРЕМЫ и ОПРЕДЕЛЕНИЯ 🧐 ВЕКТОРЫ 🔴🟧🔹 ПЛОЩАДИСкачать

Урок обобщающего повторения на тему: «Треугольник» в 9-м классе

Разделы: Математика

Не зря говорят: “Повторение – мать учения”. В процессе обучения математике повторению отводится важное место. Правильно организованное повторение – один из факторов, способствующих интеллектуальному развитию каждого школьника, достижению им глубоких и прочных знаний. Без прочного сохранения приобретенных знаний, без умения воспроизвести пройденный материал в необходимый момент изучения нового материала, всегда сопряжено с большими трудностями и не дает надлежащего эффекта. Ранее пройденный материал должен служить фундаментом, на который опирается изучение нового материала; последний, в свою очередь, должен обогащать и расширять уже изученные понятия.

Треугольник – одна из основных фигур в планиметрии, свойства которого применяются в стереометрии 10-11 классов и в ЕГЭ. Поэтому проводить итоговое повторение или обобщающее повторение темы “Треугольник” в 9 классе необходимо.

Целью доклада является желание поделиться опытом и методом проведения обобщающего повторения темы “Треугольник” в 9 классе.

Чтобы постоянно напрягать учащегося, работать на верхнем пределе его возможностей, нужно проводить повторение постоянно и надо проводить обобщающее повторение по темам.

Обобщающее повторение по темам курса планиметрии преследует цели обобщить и систематизировать полученные знания и приобретенные умения и навыки. Его удобно построить на повторение свойств основных геометрических фигур – треугольников, четырехугольников, многоугольников, окружности и круга. Таким образом, весь учебный материал курса организуется по принципу наиболее полного описания свойств и признаков каждой из геометрических фигур.

Мнения педагогов и методистов о причинах хронически тяжелой обучаемости школьников геометрии практически не расходятся. В качестве главных причин указывают невысокий уровень пространственного мышления учащихся, а также слабое развитие логического аппарата.

Тема урока: Решение треугольников.

Цели урока:

повторить и обобщить тему “Треугольник”;
проверить усвоение теоремы косинусов и теоремы синусов принятием зачета и отрабатывать умение применять теорему Пифагора, теорему косинусов, теорему синусов решая задачи, тесты;
развивать, выработать активность, внимание, логическое мышление, монологическую речь, интерес к предмету, коллективное обучение;

I. Вступительная часть – 3 мин.

Треугольник… Знакомый вам с детства, и начиная с 7 класса, с уроков геометрии, геометрическая фигура, таит в себе немало интересного и загадочного, как Бермудский треугольник, в котором бесследно исчезают корабли и самолеты. Знакомые нам фигуры квадрат, параллелограмм, прямоугольник, ромб, трапеция состоят из двух треугольников, если провести одну диагональ и из четырех треугольников, если провести две диагонали. В 10-11 классах тоже применяются решения треугольников, поэтому вы должны научиться решать любой треугольник. Прежде чем решать задачи, повторим тему “Треугольник”, отправимся в путешествие в страну “Треугольник”, повторим определение, элементы, виды, свойства треугольников и каждый раз будем удивляться полученным открытиям, удивительной формой, красотой, свойствами треугольников. В путешествие отправимся рядами, будем соревноваться, кто больше знает об этой стране “Треугольник”.

Руководители рядов: 1 ряд – Оля, 2 – Петя, 3 – Света.

Условия состязания:

быть внимательными и сообразительными;
не оставлять ни одного вопроса без ответа;
на каждое задание минимум времени, но максимум усердия;
не подглядывать, не подслушивать, не мешать соседям.

II. Первая остановка в путешествии “Решение кроссворда” “Треугольник”. Остановка – 5 минут.

По горизонтали: 1. Луч, делящий угол пополам. 4. Элемент треугольника. 5.6.7. Виды треугольника (по углам). 11. Математик древности. 12. Часть прямой. 15. Сторона прямоугольного треугольника. 16. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

По вертикали: 2. Вершина треугольника. 3. Фигура в геометрии. 8. Элемент треугольника. 9. Вид треугольника (по сторонам). 10. Отрезок в треугольнике. 13. Треугольник, у которого две стороны равны. 14. Сторона прямоугольного треугольника. 17. Элемент треугольника.

По горизонтали: 1. Биссектриса. 4. Сторона. 5. Прямоугольник. 6. Остроугольник. 7. Тупоугольник. 11. Пифагор. 12. Отрезок. 15. Гипотенуза. 16. Медиана.

По вертикали: 2. Точка. 3. Треугольник. 8. Вершина. 9. Равносторонний. 10. Высота. 13. Равнобедренный. 14. Катет. 17. Угол.

III. Мы повторили немного о треугольнике, еще лучше узнаем о нем на следующей остановке. Остановка называется “Ответы на вопросы”.

Знаменитый древнегреческий ученый Аристотель вопрос трактовал, как мыслительную форму, обеспечивающую переход от незнания к знанию.

Вопросы: /7 минут/

1. Какую фигуру называют треугольником?
2. Перечислите элементы треугольника.
3. Назовите виды треугольников по углам.
4. Назовите виды треугольников по сторонам.
5. Какой треугольник называется равносторонним?
6. Как называется третья сторона в равнобедренном треугольнике?
7. Перечислите свойства равнобедренного треугольника.
8. Перечислите свойства равностороннего треугольника.
9. Перечислите свойства прямоугольного треугольника.
10. Синусом, косинусом, тангенсом что называем?
11. Что такое неравенство треугольника?
12. Признаки равенства треугольников.
13. Подобие треугольников.
14. Признаки подобия треугольников.
15. Подобие прямоугольных треугольников.
16. Свойства биссектрисы угла треугольника.
17. Какие из следующих треугольников существуют? И почему?

5 см, 5 см, 5 см.
3 м, 6 м, 3 м.
12 дм, 3 дм, 8 дм.
3 см, 4 см, 5 см.

18. Как называется треугольник со сторонами 3, 4, 5?

IV. Беседа ученика.

Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла пользовались следующим приемом. Веревку делили узлами на 12 равных частей и концы связывали. Затем веревку растягивали на земле так, чтобы получился треугольник со сторонами 3, 4, 5 делений. Угол треугольника, противолежащий стороне с пятью делениями, был прямой. В связи с указанным способом построения прямого угла, треугольник со сторонами 3, 4,5 иногда называют египетским.

Слова знаменитого древнегреческого ученого Аристотеля подтвердили. Продолжим путешествие.

V. Остановка “Тесты на теорему Пифагора”.

“Решение треугольников” связано с решением прямоугольных треугольников, изучающихся в 8 классе, которые обычно решаются теоремой Пифагора. 9 тестов, из них 6 тестов открытые, т.е. нужно, решая, выбрать ответы из четырех ответов и 3 теста закрытые, т.е. не имеют ответа. Ответ нужно самим найти. Можно решать сообща, или руководителем разделить задачи каждому отдельно, чтоб быстрее решить. Желаю удачи! (дается 5 минут)

Тесты на теорему Пифагора.

1. Укажите, какой из рисунков содержит треугольники, к которым применима теорема Пифагора.

2. Сторона квадрата равна 3 см, тогда его диагональ равна:

а) 9 см; б) 6 см; в) 3 см; г) 32 см.

3. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10 см, а основание – 16 см, тогда высота опущенная на основание, равна:

а) 241 см; б) 6см; в) 26 см; г) 6 см.

4. Из одной точки на прямую опущены перпендикуляр и наклонная. Если перпендикуляр равен 9 см, а наклонная – 15 см, то длина проекции наклонной равна:

а) 12 см; б) 334 см; в) 26 см; г) 6 см.

5. Из точки D к окружности с центром в точке о проведена касательная DF. Если OD=17 см, а FD=15 см, то радиус окружности равен:

а) 2 см; б) 8 см; в) 32 см; г) 42 см.

6. Дан прямоугольный треугольник ABC. Гипотенуза AC=10 см, sinC=0,3. найдите катет AB.

7. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 11 см, а вторая – 4 см. найдите третью сторону.

8. В прямоугольном треугольнике ABC:AC=17 см, BC=8 см, AB=15 см. найдите cosC.

9. В окружности с центром в точке О проведена хорда АВ, равная 18 см, если расстояние от центра окружности до хорды равно 12 см, то радиус окружности равен:

а) 15 см; б) 6 см; в) 613 см; г) 37 см.

Продолжим путешествие. Для решения треугольников еще применяются какие теоремы? Теорема косинусов и теорема синусов, которые мы прошли в предыдущем уроке блока. Вы должны были выучить определение, формулы.

VI. Остановка “Зачет” — 7 минут.

С каждого ряда по одному представителю пойдут к доске, остальные смотрим и слушаем своих друзей. Если где неправильно, поправим, дополним.

VII. Остановка “Отдых” — 5 минут.

диаметр

Сколько всего треугольников на рисунке?

В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25, а другая 10. Какая из них является основанием треугольника?
Пишем на доске слово треугольник, соревнуемся по рядам. Это пишут первые, вторые пишут слово без трех букв сзади, третьи тоже пишут без трех букв предыдущего, последние тоже пишут без трех букв предыдущего.

VIII. Остановка “Решение задач в тетрадях” — 8 минут.

Решение с помощью теорем косинусов, синусов стр.101 №312, 321, стр. 103 №337, 340.

Мы заканчиваем путешествие в страну “Треугольник”, где повторили все о треугольнике, где решили кроссворд, отвечали на вопросы, решали тест, сдавали зачет о теореме косинусов, теореме синусов, решали задачи из учебника, узнали о том, как древние землемеры в Египте строили прямоугольный треугольник с помощью простой веревки.

Закончим урок словами великого итальянского ученого Галилео Галилея: “Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает возможность правильно мыслить и рассуждать”.

Таким образом, цель обобщающего повторения – установить логические связи между вновь изучаемым и ранее изучаемым материалом; обогатить память; расширить кругозор; привести знания в систему; самоорганизовать ученика.

Поэтому необходимо проводить обобщающее повторение по темам, чтобы получить хорошие результаты в дальнейшем в старших классах.

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

Урок повторения по геометрии по теме «Треугольники» (для 9 класса)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Пояснительная записка.doc

Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

Пояснительная записка

(размещается в архиве с материалом)

Автор материала (ФИО) *

Михнева Лидия Ивановна

Должность (с указанием преподаваемого предмета) *

Зам. директора по УВР, учитель математики

МОУ СОШ №5г. Новоалександровск Ставропольского края

Урок обобщенного повторения по геометрии по теме

Название учебного пособия, образовательной программы (УМК) с указанием авторов, к которому относится ресурс

Атанасян Л.С. «Геометрия 7-9 класс»

Вид ресурса (презентация, видео, текстовый документ и другие) *

Презентация; документ MS Word 200 3 .

Техническое оснащение (компьютер, интерактивная доска и другие.) *

Интерактивная доска, компьютер, проектор.

Цели: Систематизировать и закрепить знания учащихся по теме «Треугольники».

Задачи: Совершенствование навыков решения задач на применение теоремы синусов и теоремы косинусов;

Формировать основные учебные компетенции;

Развивать умение анализировать, обобщать материал;

Развивать интерес к предмету, умение работать в группах.

Краткое описание работы с ресурсом

(на каком этапе предполагается применение, форма использования: индивид, групповая и другое, на усмотрение автора). *

Презентация урока по теме «Треугольники»

Список использованной литературы.

Ссылки на Интернет — источники *

«Дидактический материал по геометрии» Б.Г.Зив. – М: «Просвещение», 2006 г.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 класс. – М.: Просвещение, 2010;

Ершова А. П., Голобородько В. В., Ершова А. С. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 9 класса. – Москва – Харьков: Илекса. Гимназия.

Фон «тетрадная клетка»:

* — Поля обязательные к заполнению.

Размещается в архиве с материалом

Выбранный для просмотра документ Треугольники.doc

Урок обобщающего повторения

по геометрии в 9-м классе на тему: «Треугольники»

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

повторить и обобщить тему “Треугольники”;

отрабатывать умение применять теорему Пифагора, теорему косинусов, теорему синусов решая задачи, тесты;

развивать, выработать активность, внимание, логическое мышление, монологическую речь, интерес к предмету, коллективное обучение;

1. Организация начала урока.

2. Проверка теоретических знаний.

Ответить на вопросы:

1. Какую фигуру называют треугольником?
2. Перечислите элементы треугольника.
3. Назовите виды треугольников по углам.
4. Назовите виды треугольников по сторонам.
5. Какой треугольник называется равносторонним?
6. Как называется третья сторона в равнобедренном треугольнике?
7. Перечислите свойства равнобедренного треугольника.
8. Перечислите свойства равностороннего треугольника.
9. Перечислите свойства прямоугольного треугольника.
10. Синусом, косинусом, тангенсом что называем?
11. Что такое неравенство треугольника?
12. Признаки равенства треугольников.
13. Подобие треугольников.
14. . В треугольнике KLN , KL =8,4 c м, LN =13,2 см, KN =7,5 см. Какой угол треугольника наибольший, какой наименьший?

15. Стороны треугольника 10см, 12см, 7см. Может ли угол, противолежащий стороне 7см, быть тупым? Почему?

16. Стороны треугольника 9см и 12см. Может ли угол, противолежащий стороне равной 9см, быть прямым? Почему?
17. Какие из следующих треугольников существуют? И почему?

5 см, 5 см, 5 см.
3 м, 6 м, 3 м.
12 дм, 3 дм, 8 дм.
3 см, 4 см, 5 см.

18. Как называется треугольник со сторонами 3, 4, 5?

3. Проверка домашнего задания.

Историческая справка. (сообщения учащихся)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.

Особенностью такого треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что все три стороны его целочисленны, а по теореме Пифагора он прямоуголен. Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников — треугольников с целочисленными сторонами и площадями.

Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины : в VII — V веках до н. э. греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет . Так, например, Пифагор в 535 до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет — и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к доказательству знаменитой теоремы .

Общепринято мнение, что египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов египетскими землемерами и архитекторами, например, при построении пирамид. Однако некоторые историки науки, например, голландский математик Ван дер Варден , считают, что это только укоренившееся заблуждение, гипотеза немецкого математика Кантора , ставшая общепринятой из-за непроверяемости источников в ранних исследованиях по истории. В архитектуре средних веков египетский треугольник применялся для построения схем пропорциональности .

Для построения прямого угла использовался шнур или верёвка, разделённая отметками (узлами) на 12 (3+4+5) частей: треугольник, построенный натяжением такого шнура, с весьма высокой точностью оказывался прямоугольным и сами шнуры-катеты являлись направляющими для кладки прямого угла сооружения.

В древнекитайской книге Чу-пей ( англ. ) ( кит. 周髀算經 ) говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5. В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Мориц Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н. э. , во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели верёвок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмём верёвку длиною в 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 м от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключённым между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становится излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, — например, рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян . В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи , то есть к 2000 году до н. э. , приводится приближённое вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой — на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал вывод о большой вероятности того, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около XVIII века до н. э.

Согласно комментарию Прокла к Евклиду , Пифагор (годами жизни которого принято считать 570—490 гг. до н. э.) использовал алгебраические методы, чтобы находить пифагоровы тройки . Однако Прокл писал между 410 и 485 гг. н. э. Томас Литтл Хит ( en:Thomas Little Heath ) считал, что не существует явного упоминания, относящегося к периоду продолжительностью 5 веков после смерти Пифагора, что Пифагор был автором теоремы. Однако, когда авторы, такие как Плутарх и Цицерон , пишут о теореме Пифагора, они пишут так, как будто авторство Пифагора было широко известным и несомненным. «Принадлежит ли эта формула лично перу Пифагора…, но мы можем уверенно считать, что она принадлежит древнейшему периоду пифагорейской математики». По преданию, Пифагор отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков.

Приблизительно в 400 г. до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Приблизительно в 300 г. до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора.

Теорема синусов. Самое древнее доказательство для теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке. Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере.

Теорема косинусов. Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида .

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника , применялись в сочинениях математиков стран Средней Азии. Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан , назвав её «теоремой Альбатегния» (по имени ал-Баттани ).

В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

4. Работа в группах

А. Соотнесите высказывание с его названием или формулой.

1. Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

2. Если в треугольнике известны две стороны и угол между ними, то площадь треугольника можно вычислить по формуле …

3. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

4. Если в треугольник вписана окружность, то площадь треугольника вычисляется по формуле …

5. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.

6. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

7. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

8. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

9. Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна ее половине.

10. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.

11. Внешний угол треугольника – это угол, смежный с углом треугольника.

а) определение равных треугольников;

б) признак равенства треугольников;

в) определение средней линии треугольника;

г) свойство средней линии треугольника;

д) определение равнобедренного треугольника;

е) свойство равнобедренного треугольника;

ж) теорема синусов;

з) теорема косинусов;

и) теорема Пифагора;

к) теорема Фалеса;

л) ;

м) ;

н) ;

о) ;

п) определение внешнего угла треугольника;

р) свойство внешнего угла треугольника;

с) определение подобных треугольников;

т) признак подобия треугольников.

Найдите ошибки в тексте.

«Некий ученик написал сочинение по теме «Треугольники». Вот некоторые фрагменты его сочинения.

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, соединенных попарно отрезками.

Среди треугольников особенно выделяется равнобедренный треугольник. Если в нем провести любую биссектрису, она будет являться медианой и высотой.

Площадь любого треугольника можно вычислить по формулам:

(*) и (**)

Если в треугольник вписана окружность, то его площадь можно найти по формуле , где радиус этой окружности вычисляется по теореме косинусов: .

А если около треугольника описать окружность, то для нахождения площади треугольника справедлива формула .

Прямая, параллельная стороне треугольника, является его средней линией.

Существуют равные и подобные треугольники. Для доказательства равенства и подобия используют признаки. Например, треугольники равны, если углы одного соответственно равны углам другого. Кроме того, любые прямоугольные треугольники подобны.

Все ли верно в сочинении ученика?»

5. Решение теста на применение теоремы Пифагора

1. Укажите, какой из рисунков содержит треугольники, к которым применима теорема Пифагора.

2. Сторона квадрата равна 3 см, тогда его диагональ равна:

а) 9 см; б) 6 см; в) 3 см; г) 3 2 см.

а) 241 см; б) 6см; в) 26 см; г) 6 см.

а) 12 см; б) 3 34 см; в) 2 6 см; г) 6 см.

а) 2 см; б) 8 см; в) 32 см; г) 4 2 см.

6. Дан прямоугольный треугольник ABC. Гипотенуза AC=10 см, sinC=0,3. найдите катет AB.

7. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 11 см, а вторая – 4 см. найдите третью сторону.

8. В прямоугольном треугольнике ABC:AC=17 см, BC=8 см, AB=15 см. найдите cosC.

а) 15 см; б) 6 см; в) 6 13 см; г) 3 7 см.

Найдите лишнее слово:

сторона, медиана, катет, хорда, высота, гипотенуза;

вершина, биссектриса, диаметр, основание, периметр.

Сколько всего треугольников на рисунке?

В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 23, а другая 10. Какая из них является основанием треугольника?

7.Решение задач на применение теоремы синусов и теоремы косинусов

Задача: Измерили дальномером расстояние СВ=62м, СА=80м. Угол между ними 60 0 . Найдите расстояние между двумя деревьями А и В.

Задача: Найти ширину озера АВ, если АС=120м, ,.

8. Подведение итогов урока

Ученики вместе с учителем обсуждают успехи и недостатки работы на уроке. Дают оценку деятельности учащихся и качества предложенных заданий

9. Домашнее задание

В треугольнике АВС АВ = 10, АС = 12. Периметр треугольника АВС равен 32.

1. Определите вид треугольника по длинам его сторон.

2. Найдите высоту, опущенную из вершины В.

3. Найдите площадь треугольника.

5. Найдите радиус описанной около треугольника окружности.

6. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.

1.Две планки длиной 35см и 42см скреплены одним концом. Какой угол между ними надо взять, чтобы расстояние между другими концами планок равнялось 24см?

2. Верно ли, что в треугольник со сторонами, равными 5, 6, 7 можно вписать окружность с радиусом ?