- Окружность, описанная около треугольника. Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
- Серединный перпендикуляр к отрезку
- Окружность, описанная около треугольника
- Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
- Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
- Please wait.
- We are checking your browser. mathvox.ru
- Why do I have to complete a CAPTCHA?
- What can I do to prevent this in the future?
- Начертите окружность описанную около прямоугольного треугольника?
- НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА С КАТЕТАМИ 6 И 8?
- Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника , принадлежит его стороне , то этот треугольник прямоугольный?
- Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 16 и 12?
- Найдите радиус описанной около прямоугольного равнобедренного треугольника окружности, если его катет равен а?
- Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 9 и 8?
- Найдите длину окружности описанной около прямоугольного треугольника с катетами a и b?
- Описанная окружность?
- Построить прямоугольный треугольник и описать около него окружность?
- Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 16?
- Радиусы окружности, вписанной в прямоугольный треугольник и окружности, описанной около него, равны 2 и 5?
- Please wait.
- We are checking your browser. mathvox.ru
- Why do I have to complete a CAPTCHA?
- What can I do to prevent this in the future?
- Окружность, описанная около треугольника. Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
- Серединный перпендикуляр к отрезку
- Окружность, описанная около треугольника
- Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
- Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
Видео:№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. ДляСкачать
Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Серединный перпендикуляр к отрезку |
Окружность описанная около треугольника |
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов |
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности |
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Серединный перпендикуляр к отрезку
Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).
Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.
Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.
Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .
Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,
Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.
Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,
Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2
Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать
Окружность, описанная около треугольника
Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .
Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Фигура | Рисунок | Свойство |
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника | Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Посмотреть доказательство | |
Окружность, описанная около треугольника | Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Посмотреть доказательство | |
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности | Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника. | |
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности | Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы. Посмотреть доказательство | |
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности | Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника. | |
Теорема синусов |
Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):
,
где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.
Для любого треугольника справедливо равенство:
где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.
Для любого треугольника справедливо равенство:
где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника |
Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):
,
где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.
Для любого треугольника справедливо равенство:
где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.
Для любого треугольника справедливо равенство:
где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.
Видео:№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждыйСкачать
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Следовательно, справедливо равенство:
откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.
Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).
При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:
из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.
Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)
.
Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:
l = 2Rsin φ . | (1) |
Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).
Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.
Формула (1) доказана.
Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):
Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать
Please wait.
Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать
We are checking your browser. mathvox.ru
Видео:ТЕОРИЯ: ОКРУЖНОСТЬ ОПИСАННАЯ ОКОЛО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА (Кратко)Скачать
Why do I have to complete a CAPTCHA?
Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.
Видео:Прямоугольный треугольник и описанная окружностьСкачать
What can I do to prevent this in the future?
If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.
If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.
Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.
Cloudflare Ray ID: 6d007e2799463a56 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare
Видео:Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать
Начертите окружность описанную около прямоугольного треугольника?
Геометрия | 5 — 9 классы
Начертите окружность описанную около прямоугольного треугольника.
Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, находится на середине его гипотенузы (свойство).
Поэтому надо при помощи циркуля и линейки разделить гипотенузу данного нам треугольника пополам и радиусом, равным половине гипотенузы, провести окружность.
Итак, Радиусом, большим половины гипотенузы, проводим окружности (дуги окружностей) с центрами в вершинах В и С.
Соединяем точки их пересечения M и N.
На пересечении гипотенузы ВС и прямой MN получаем центр О искомой окружности.
Радиусом, равным ОВ (ОС), проводим искомую окружность.
Видео:Построить окружность, описанную около треугольникаСкачать
НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА С КАТЕТАМИ 6 И 8?
НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА С КАТЕТАМИ 6 И 8.
Видео:Окружность, описанная около прямоугольного треугольника | Геометрия 8-9 классыСкачать
Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника , принадлежит его стороне , то этот треугольник прямоугольный?
Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника , принадлежит его стороне , то этот треугольник прямоугольный.
Видео:Построение прямоугольного треугольника по 2 катетамСкачать
Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 16 и 12?
Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 16 и 12.
Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
Найдите радиус описанной около прямоугольного равнобедренного треугольника окружности, если его катет равен а?
Найдите радиус описанной около прямоугольного равнобедренного треугольника окружности, если его катет равен а.
Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать
Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 9 и 8?
Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 9 и 8.
Видео:Как построить окружность, описанную около треугольника, в программе ГЕОГЕБРАСкачать
Найдите длину окружности описанной около прямоугольного треугольника с катетами a и b?
Найдите длину окружности описанной около прямоугольного треугольника с катетами a и b.
Видео:Построение прямоугольного треугольника по катету и прилежащему острому углуСкачать
Описанная окружность?
Центр окружности, описанной около треугольника.
Видео:Построить окружность, вписанную в треугольникСкачать
Построить прямоугольный треугольник и описать около него окружность?
Построить прямоугольный треугольник и описать около него окружность.
Видео:6 ПОСТРОЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО 3-КАСкачать
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 16?
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 16.
Найдите длину окружности , описанной около этого треугольника.
Видео:Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.Скачать
Радиусы окружности, вписанной в прямоугольный треугольник и окружности, описанной около него, равны 2 и 5?
Радиусы окружности, вписанной в прямоугольный треугольник и окружности, описанной около него, равны 2 и 5.
Найдите периметр треугольника.
Вы открыли страницу вопроса Начертите окружность описанную около прямоугольного треугольника?. Он относится к категории Геометрия. Уровень сложности вопроса – для учащихся 5 — 9 классов. Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ, можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Геометрия, воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.
По теореме косинусов AC ^ 2 = AB ^ 2 + BC ^ 2 — 2 * AB * BC * cosB cosB = (AB ^ 2 + BC ^ 2 — AC ^ 2) / 2 * AB * BC = (25 + 49 — 81) / 2 * 5 * 7 = — 1 / 10.
Треугольник DBC — равнобедренный, так как у ромба все стороны равны. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, т. Е. DBC = CBD = (180° — 72°) / 2 = 54°.
СМОТРИ РЕШЕНИЕ НА РИСУНКЕ.
Ответы 2 и 3 правильные. Это треугольники которые равные по сторонам и углу между ними.
4, 3 + 5 = 9, 3 это лего просто плюс.
1. 4, 3 * 5 = 21, 5 2. 4, 3 + 21, 5 = 25, 8.
Во второй задаче можно рассмотреть треугольник как половину квадрата, разрезанного по диагонали. Тогда все становится очевидно, если конечно угол С там таки прямой. ))).
Ну ты скажи пример мы решим.
Радиус основания конуса равен 5 см, а периметр его осевого сечения равен 36 см. Найти объем конуса. Решение в приложении.
Please wait.
We are checking your browser. mathvox.ru
Why do I have to complete a CAPTCHA?
Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.
What can I do to prevent this in the future?
If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.
If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.
Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.
Cloudflare Ray ID: 6d14d55c1e4076a9 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare
Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Серединный перпендикуляр к отрезку |
Окружность описанная около треугольника |
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов |
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности |
Серединный перпендикуляр к отрезку
Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).
Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.
Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.
Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .
Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,
Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.
Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,
Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2
Окружность, описанная около треугольника
Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Фигура | Рисунок | Свойство | |
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника | Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Посмотреть доказательство | ||
Окружность, описанная около треугольника | Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Посмотреть доказательство | ||
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности | Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника. | ||
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности | Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы. Посмотреть доказательство | ||
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности | Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника. | ||
Теорема синусов | |||
Площадь треугольника | |||
Радиус описанной окружности |
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника |
Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):
,
где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.
Для любого треугольника справедливо равенство:
где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.
Для любого треугольника справедливо равенство:
где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Следовательно, справедливо равенство:
откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.
Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).
При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:
из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.
Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)
.
Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:
l = 2Rsin φ . | (1) |
Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).
Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.
Формула (1) доказана.
Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):