Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Постройте окружность описанную около прямоугольного треугольника
Содержание
  1. Окружность, описанная около треугольника. Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
  2. Серединный перпендикуляр к отрезку
  3. Окружность, описанная около треугольника
  4. Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
  5. Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
  6. Please wait.
  7. We are checking your browser. mathvox.ru
  8. Why do I have to complete a CAPTCHA?
  9. What can I do to prevent this in the future?
  10. Начертите окружность описанную около прямоугольного треугольника?
  11. НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА С КАТЕТАМИ 6 И 8?
  12. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника , принадлежит его стороне , то этот треугольник прямоугольный?
  13. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 16 и 12?
  14. Найдите радиус описанной около прямоугольного равнобедренного треугольника окружности, если его катет равен а?
  15. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 9 и 8?
  16. Найдите длину окружности описанной около прямоугольного треугольника с катетами a и b?
  17. Описанная окружность?
  18. Построить прямоугольный треугольник и описать около него окружность?
  19. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 16?
  20. Радиусы окружности, вписанной в прямоугольный треугольник и окружности, описанной около него, равны 2 и 5?
  21. Please wait.
  22. We are checking your browser. mathvox.ru
  23. Why do I have to complete a CAPTCHA?
  24. What can I do to prevent this in the future?
  25. Окружность, описанная около треугольника. Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
  26. Серединный перпендикуляр к отрезку
  27. Окружность, описанная около треугольника
  28. Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
  29. Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Видео:№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. ДляСкачать

№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольникаСерединный перпендикуляр к отрезку
Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольникаОкружность описанная около треугольника
Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольникаСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольникаДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольникаВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольникаОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольникаЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольникаЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждыйСкачать

№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Please wait.

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:ТЕОРИЯ: ОКРУЖНОСТЬ ОПИСАННАЯ ОКОЛО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА (Кратко)Скачать

ТЕОРИЯ: ОКРУЖНОСТЬ ОПИСАННАЯ ОКОЛО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА (Кратко)

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Прямоугольный треугольник и описанная окружностьСкачать

Прямоугольный треугольник и описанная окружность

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d007e2799463a56 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Видео:Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекции

Начертите окружность описанную около прямоугольного треугольника?

Геометрия | 5 — 9 классы

Начертите окружность описанную около прямоугольного треугольника.

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, находится на середине его гипотенузы (свойство).

Поэтому надо при помощи циркуля и линейки разделить гипотенузу данного нам треугольника пополам и радиусом, равным половине гипотенузы, провести окружность.

Итак, Радиусом, большим половины гипотенузы, проводим окружности (дуги окружностей) с центрами в вершинах В и С.

Соединяем точки их пересечения M и N.

На пересечении гипотенузы ВС и прямой MN получаем центр О искомой окружности.

Радиусом, равным ОВ (ОС), проводим искомую окружность.

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Видео:Построить окружность, описанную около треугольникаСкачать

Построить окружность, описанную около треугольника

НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА С КАТЕТАМИ 6 И 8?

НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА С КАТЕТАМИ 6 И 8.

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Видео:Окружность, описанная около прямоугольного треугольника | Геометрия 8-9 классыСкачать

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника | Геометрия 8-9 классы

Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника , принадлежит его стороне , то этот треугольник прямоугольный?

Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника , принадлежит его стороне , то этот треугольник прямоугольный.

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Видео:Построение прямоугольного треугольника по 2 катетамСкачать

Построение прямоугольного треугольника по 2 катетам

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 16 и 12?

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 16 и 12.

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Найдите радиус описанной около прямоугольного равнобедренного треугольника окружности, если его катет равен а?

Найдите радиус описанной около прямоугольного равнобедренного треугольника окружности, если его катет равен а.

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 9 и 8?

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 9 и 8.

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Видео:Как построить окружность, описанную около треугольника, в программе ГЕОГЕБРАСкачать

Как построить окружность, описанную около треугольника, в программе ГЕОГЕБРА

Найдите длину окружности описанной около прямоугольного треугольника с катетами a и b?

Найдите длину окружности описанной около прямоугольного треугольника с катетами a и b.

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Видео:Построение прямоугольного треугольника по катету и прилежащему острому углуСкачать

Построение прямоугольного треугольника по катету и прилежащему острому углу

Описанная окружность?

Центр окружности, описанной около треугольника.

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Видео:Построить окружность, вписанную в треугольникСкачать

Построить окружность, вписанную в треугольник

Построить прямоугольный треугольник и описать около него окружность?

Построить прямоугольный треугольник и описать около него окружность.

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Видео:6 ПОСТРОЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО 3-КАСкачать

6    ПОСТРОЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО 3-КА

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 16?

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 16.

Найдите длину окружности , описанной около этого треугольника.

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Видео:Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.Скачать

Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.

Радиусы окружности, вписанной в прямоугольный треугольник и окружности, описанной около него, равны 2 и 5?

Радиусы окружности, вписанной в прямоугольный треугольник и окружности, описанной около него, равны 2 и 5.

Найдите периметр треугольника.

Вы открыли страницу вопроса Начертите окружность описанную около прямоугольного треугольника?. Он относится к категории Геометрия. Уровень сложности вопроса – для учащихся 5 — 9 классов. Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ, можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Геометрия, воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

По теореме косинусов AC ^ 2 = AB ^ 2 + BC ^ 2 — 2 * AB * BC * cosB cosB = (AB ^ 2 + BC ^ 2 — AC ^ 2) / 2 * AB * BC = (25 + 49 — 81) / 2 * 5 * 7 = — 1 / 10.

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Треугольник DBC — равнобедренный, так как у ромба все стороны равны. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, т. Е. DBC = CBD = (180° — 72°) / 2 = 54°.

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

СМОТРИ РЕШЕНИЕ НА РИСУНКЕ.

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Ответы 2 и 3 правильные. Это треугольники которые равные по сторонам и углу между ними.

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

4, 3 + 5 = 9, 3 это лего просто плюс.

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

1. 4, 3 * 5 = 21, 5 2. 4, 3 + 21, 5 = 25, 8.

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Во второй задаче можно рассмотреть треугольник как половину квадрата, разрезанного по диагонали. Тогда все становится очевидно, если конечно угол С там таки прямой. ))).

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Ну ты скажи пример мы решим.

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Радиус основания конуса равен 5 см, а периметр его осевого сечения равен 36 см. Найти объем конуса. Решение в приложении.

Please wait.

We are checking your browser. mathvox.ru

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d14d55c1e4076a9 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольникаСерединный перпендикуляр к отрезку
Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольникаОкружность описанная около треугольника
Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольникаСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольникаДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольникаВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольникаОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольникаЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольникаЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольника
Площадь треугольникаПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольника
Радиус описанной окружностиПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольника
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиПостройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Постройте описанную окружность для прямоугольного треугольника

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Поделиться или сохранить к себе: