Построить высоты прямоугольного треугольника

Рассмотрим, как построить высоту треугольника с помощью чертежного угольника.

Чтобы построить высоту остроугольного треугольника, надо приложить угольник так, чтобы одна сторона прямого угла проходила через вершину треугольника, а вторая — через противоположную этой вершине сторону.

AK — высота треугольника ABC, проведённая из вершины A к противолежащей стороне BC.

BF⊥AC.

BF — высота треугольника ABC, опущенная из вершины B на сторону AC.

CH — высота треугольника ABC, проведённая из вершины C к стороне AB.

Все высоты треугольника пересекаются в одной точке.

В остроугольном треугольнике точка пересечения высот лежит внутри треугольника.

Если требуется построить все высоты треугольника, достаточно построить две, а третью провести из вершины треугольника через точку пересечения двух высот.

В прямоугольном треугольнике две стороны (катеты) являются также его высотами. Остаётся построить третью высоту.

Угольник прикладываем прямым углом так, чтобы одна сторона проходила через гипотенузу, а другая — через прямой угол.

CD — высота прямоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины прямого угла C к гипотенузе AB.

Точка пересечения высот прямоугольного треугольника — вершина прямого угла.

Высоты AC, BC и CD прямоугольного треугольника ABC пересекаются в точке C, ∠C=90°.

В тупоугольном треугольнике проще всего построить высоту, выходящую из вершины тупого угла.

Прикладываем угольник прямым углом так, чтобы одна его сторона проходила через наибольшую сторону треугольника, а другая — через тупой угол.

AP — высота тупоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины тупого угла A к стороне BC.

Только высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника. Две другие высоты находятся вне него.

Высоты тупоугольного треугольника, выходящие из вершин острых углов, проведены не к противолежащим сторонам, а к прямым, содержащим эти стороны.

Чтобы построить высоту, продлеваем противолежащую сторону и прикладываем угольник прямым углом таким образом, чтобы одна сторона угольника проходила через построенную прямую, а другая — через вершину острого угла.

BM — высота тупоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины острого угла B к прямой, содержащей противолежащую сторону AC.

CN⊥AB,

CN — высота тупоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины острого угла С к прямой, содержащей противолежащую сторону AB.

Точка пересечения высот тупоугольного треугольника лежит вне него, за тупым углом, напротив наибольшей стороны.

Чтобы построить точку пересечения высот треугольника ABC, продлим прямые BM, CN и AP до пересечения.

Мы рассмотрели, как строить высоты треугольника с помощью угольника.

Построение высот с помощью циркуля и линейки будем рассматривать в теме «Задачи на построение».

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Свойства высоты прямоугольного треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты в прямоугольном треугольнике, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

Примечание: треугольник называется прямоугольным, если один из его углов является прямым (равняется 90°), а два остальных – острые ( Содержание скрыть

Видео:Построение высоты в треугольникеСкачать

Свойства высоты в прямоугольном треугольнике

Свойство 1

В прямоугольном треугольнике две высоты (h₁ и h₂) совпадают с его катетами.

Третья высота (h₃) опускается на гипотенузу из прямого угла.

Свойство 2

Ортоцентр (точка пересечения высот) прямоугольного треугольника находится в вершине прямого угла.

Свойство 3

Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных прямоугольных треугольника, которые также подобны исходному.

Аналогичным образом доказывается, что ∠ABD = ∠DAC.

Свойство 4

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, вычисляется следующим образом:

1. Через отрезки на гипотенузе, образованные в результате ее деления основанием высоты:

2. Через длины сторон треугольника:

Данная формула получена из Свойства синуса острого угла в прямоугольном треугольнике (синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе) :

Примечание: к прямоугольному треугольнику, также, применимы общие свойства высоты, представленные в нашей публикации – “Высота в треугольнике abc: определение, виды, свойства”.

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Пример задачи

Задача 1
Гипотенуза прямоугольного треугольника поделена высотой, проведенной к ней, на отрезки 5 и 13 см. Найдите длину этой высоты.

Решение
Воспользуемся первой формулой, представленной в Свойстве 4:

Задача 2
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найдите длину высоты, проведенной к гипотенузе.

Решение
Для начала найдем длину гипотенузы по теореме Пифагора (пусть катеты треугольника – это “a” и “b”, а гипотенуза – “c”):
c 2 = a 2 + b 2 = 9 2 + 12 2 = 225.
Следовательно, с = 15 см.

Теперь можно применить вторую формулу из Свойства 4, рассмотренного выше:

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Как построить высоту треугольника — основные способы

Видео:Построение медианы в треугольникеСкачать

С применением циркуля

Если нужно нарисовать высоту (перпендикуляр к противоположной стороне) в произвольном треугольнике и измерить её, то лучше всего воспользоваться классическим методом построения. Он предусматривает использование циркуля в качестве основной рабочей принадлежности. Кроме этого, для работы понадобится лист бумаги, небольшая линейка, ластик и простой карандаш.

Способ начертить искомый отрезок:

• На листе бумаги чертят треугольник (можно нарисовать заранее, чтобы сэкономить время).
• Рисунок располагают так, чтобы вершина угла, из которого нужно начертить высоту, находилась сверху, а противоположная ему сторона фигуры была расположена горизонтально (по отношению к ученику).
• Иглу циркуля ставят в вершине любого угла у основания.
• Ножку с грифелем ставят в верхнюю точку треугольника, из которой проводится высота.
• Циркулем рисуют окружность и делают пометку в месте её пересечения с основанием фигуры.
• Аналогичным способом чертят круг из другого угла при основании. При этом важно определить новый радиус, который будет равен длине второй стороны треугольника.
• Делают пометку в месте пересечения начерченных окружностей.
• Ластиком стирают лишние линии, оставляя лишь поставленную точку.
• С помощью карандаша и линейки из неё проводят отрезок к вершине, который и будет высотой треугольника.
• Стирают линии, находящиеся под основанием.

Таким же способом можно с помощью циркуля построить высоту треугольника из любого другого угла.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

С помощью линейки

Начертить и обозначить высоту можно и без циркуля. Для этого следует воспользоваться чертёжным угольником, 2 стороны которого перпендикулярны друг другу. Альтернативой этой школьной принадлежности могут стать 2 прямые линейки, соединённые между собой под прямым углом.

В остроугольном треугольнике

Провести высоту в треугольнике, где все углы острые (менее 90 градусов), довольно просто.

Чтобы справиться с этой задачей, нужно подготовить все необходимое и заранее начертить на бумаге геометрическую фигуру.

Правильная последовательность действий:

• Находят вершину, из которой хотят провести перпендикуляр.
• Совмещают угольник с противоположной стороной фигуры.
• Перемещают чертёжную принадлежность до тех пор, пока её перпендикулярная сторона не пройдёт через вершину.
• Простым карандашом проводят линию, которая и будет искомым отрезком.

В тупоугольной фигуре

Трёхсторонняя фигура, у которой один из углов тупой (более 90 градусов) имеет только 1 внутреннюю высоту. Для её проведения используют то же, что и в предыдущем случае.

Порядок действий:

• Располагают чертёж так, чтобы тупой угол оказался у основания.
• Угольник прикладывают к наибольшей стороне фигуры.
• Совмещают перпендикулярную сторону линейки с вершиной тупого угла.
• Соединяют 2 точки простым карандашом, получая искомую линию.

В прямоугольном и равнобедренном

В прямоугольном треугольнике нужно находить только 1 высоту. Две другие будут совпадать с катетами.

Пошаговая инструкция:

• Прикладывают одну из перпендикулярных сторон угольника к гипотенузе.
• Вторую сторону линейки совмещают с вершиной прямого угла.
• Проводят линию, которая будет высотой.

Проще всего проводить перпендикуляр из верхней точки равнобедренного треугольника.

Он будет совпадать с биссектрисой и медианой фигуры. Начертить его можно таким же способом, что и для остроугольной фигуры. Более простой метод предусматривает выполнение следующих действий:

• Линейкой замеряют длину основания.
• Эту величину делят на 2.
• Полученное значение откладывают от вершины одного из углов при основании.
• Отмечают середину стороны и соединяют её с верхней точкой фигуры.

Проведение высоты в треугольнике — это простая задача, с которой легко справится каждый ученик.

Для этого достаточно сделать чертёж геометрической фигуры и воспользоваться одним из существующих способов построения. Такая работа потребует минимум времени и не отнимет у школьника много сил.

🌟 Видео

Высоты треугольника.Скачать

Высота прямоугольного треугольникаСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.Скачать

Высота медиана биссектриса в тупоугольном треугольникеСкачать

Построение прямоугольного треугольника по 2 катетамСкачать

Построение биссектрисы в треугольникеСкачать

Высота в прямоугольном треугольнике. Как найти? Полезная формулаСкачать

№576. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делитСкачать

Высота в прямоугольном треугольнике. Соотношения в прямоугольном треугольнике.Скачать

Высота, медиана, биссектриса треугольника. Как построить в треугольнике. Геометрия 7 классСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.Скачать

Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать