Подобие треугольников в пространстве

Видео:Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | МатематикаСкачать

1. Декартовы координаты в пространстве

Пусть заданы три взаимно перпендикулярные прямы x,y,z (Рис.1). Если провести через каждую пару прямых плоскость, то получим три взаимно перпендикулярные плоскости xy,xz,yz. Тогда прямые x,y,z будут называться осями координат, а точка пересечения О началом координат. Каждую ось точка О разбивает на две полуоси: положительную и отрицательную.

Возьмем теперь произвольную точку, например точку А. Тогда для того, чтобы определить координаты точки А, необходимо провести три плоскости, проходящие через точку А и параллельные плоскостям XY, XZ, YZ. Точки пересечения этих плоскостей с осями координат Аx, Ay, Az и будут являться координатами точки А, которые записываются так: А (Ax, Ay, Az).

Рис. 1 Декартовы координаты в пространстве.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

2.Расстояние между двумя точками

Пусть задана декартова система координат с осями X, Y, Z (Рис.2). Необходимо найти расстояние между двумя точками А (x₁;y₁;z₁) и В (x₂;y₂;z₂).

Проведем два перпендикуляра от точек А и В на плоскость XY. Они пересекут плоскость XY в точках A’ и B’. Теперь проведем плоскость через точку А и параллельную плоскости XY. Тогда расстояние между точками по теореме Пифагора будет равно:

AB 2 = AC 2 + BC 2

Таким образом, расстояние между двумя точками вычисляется по следующей формуле:

Рис.2 Расстояние между двумя точками

Видео:Подобие треугольников. Вся тема за 9 минут | ОГЭ по математике | Молодой РепетиторСкачать

3. Преобразование симметрии в пространстве

Преобразование фигур в пространстве определяется таким же образом, как и преобразование фигур на плоскости (Рис.3). Помимо преобразования относительно точки и преобразования относительно прямой, в пространстве рассматривают преобразование относительно плоскости.

Пусть в пространстве задана плоскость α. В не этой плоскости задан квадрат со сторонами АВСD. Каждую точку нашей фигуры проецируем на плоскость α. А затем откладываем такое же расстояние по другую стороны плоскости и получаем преобразованную фигуру A»B»C»D». Таким образом, точки A»B»C»D» симметричны точкам ABCD относительно плоскости так же, как и все точки квадрата ABCD. Такое преобразование называется преобразованием относительно плоскости. А плоскость называется плоскостью симметрии. Если точка принадлежит плоскости α, то она переходит в саму себя.

Рис. 3 Преобразование симметрии в пространстве.

4. Движение в пространстве

Движение в пространстве определяется таким же образом, как и на плоскости. При движении в пространстве сохраняются расстояния между точками. И так же, как и на плоскости, прямые переходят в прямые, отрезки в отрезки, углы между полупрямыми сохраняются. Новым свойством, которым обладает движение в пространстве, являются то, что при движении плоскость переходит в плоскость.

Пусть задана плоскость α. Отметим на ней точки А,В,С не лежащие на одной прямой и построим на них треугольник (Рис.4). При движении эти точки передут в точки A’, B’, C’ также не лежащие на одной прямой. Проведем на плоскости α прямую, перескающую треугольник в точках X и Y и отметим на ней точку Z. При движении точки X и Y передут в точки X’ и Y’, прямая а передет в прямую a’. Следовательно она будет принадлежать плоскости α’. Таким образом, плоскость α переходит в плоскость α’. При движении фигур в пространстве, две фигуры называются равными, если они переходят сами в себя, т.е. совмещаются.

Рис. 4 Движение в пространстве.

Видео:Подобные треугольникиСкачать

Параллельный перенос

Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование фигуры, при котором все ее точки с координатами (z; y; z) переходят в точки с координатами (x+a; y+b; z+c), где a, b, c — постоянные числа.

Парралельный перенос в пространстве задается формулами:

x’ = x + a
y’ = y + b
z’ = z + c

Видео:8 класс, 22 урок, Первый признак подобия треугольниковСкачать

Подобие пространственных фигур

Преобразование подобия фигур в пространстве (гомотетия) определяется таким же образом, как и на плоскости. (Рис. 4.1)

При преобразования подобия расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз. Прямые переходят в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки. Углы между полупрямыми сохраняются. При преобразовании подобия плоскость, не проходящая через центр гомотетии, переходит в параллельную плоскость. Так же, как и на плоскости преобразование подобия с коэффициентом гомотетии k переводит точки A и B в точки A’ и B’, отрезок АВ в отрезок A’B’ = k AB.

Рис. 4.1 Подобие пространственных фигур.

Видео:Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать

5. Угол между прямой и плоскостью

Пусть задана плоскость α. Прямая с пересекает плоскость α в точке А (Рис.5). Точка А лежит на прямой c’. Прямая c’ называется проекцией прямой с на плоскость α. Таким образом, углом между прямой и плоскостью является угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость. Т.е. угол между прямой с и c’.

Если прямая будет перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью будет составлять 90°. Если параллельна — то 0°.

Рис. 5 Угол между прямой и плоскостью.

Видео:Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

6. Угол между плоскостями

Пусть заданы две пересекающиеся плоскости α и β (Рис.6). Проведем плоскость γ, которая перпендикулярна их прямой пересечения с. Плоскость γ пересекает данные плоскости по прямым а и b. Угол между прямыми а и b и есть угол между данными плоскостями α и β.

Возьмем другую секущую плоскость γ’, которая параллельна γ и перпендикулярна прямой с. Она пересечет плоскости α и β по прямым a’ и b’. Если мы выполним параллельный перенос плоскости γ вдоль прямой с, то т.к. прямые а и a’ находятся в одной плоскости α и перпендикулярны прямой с, следовательно они совпадут. Таким образом, угол между плоскостями не зависит от секущей плоскости.

Рис. 6 Угол между плоскостями.

Видео:8 класс, 27 урок, Практические приложения подобия треугольниковСкачать

7. Векторы в пространстве

Так же, как и на плоскости, в пространстве вектор — это направленный отрезок. Любой вектор имеет абсолютную величину и направление. Каждый вектор имеет три координаты а (x; y; z) (Рис.7).

Если вектор имеет начальную и конечную точки А и В, то его координатами будут числа: АВ (x₂ — x₁; y₂ — y₁; z₂ — z₁). Вектора с равными координатами равны.

Видео:Первый признак подобия треугольников. Найти подобные по рисунку. Задачи на подобиеСкачать

Действия над векторами

Действия над векторами в пространстве определяются так же, как и на плоскости.

Рис. 7 Векторы в пространстве.

Видео:Задача на подобие треугольников 1частьСкачать

8. Площадь ортогональной проекции многоугольника

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью его проекции.

Пусть задана плоскость α. Треугольник АВС имеет сторону АВ в плоскости α и расположен под некоторым углом к этой плоскости. BF — высота треугольника АВС. По теореме о трех перпендикулярах B’F — высота треугольника AB’C. Угол ϕ между треугольником АВС и его проекцией равен углу между плоскостями, в которых они находятся, т.е. углу BFB’. Таким образом:

Если геометрическая фигура представляет собой многоугольник, то площадь ортогональной проекции можно найти, разбив его на простые треугольники, в которых хотя бы одна сторона будет параллельна плоскости проекции.

Рис. 8 Площадь ортогональной проекции многоугольника.

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты.

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

Тел. 8 916 461-50-69, email: alexey-it@ya.ru

9. Пример 1

Докажите, что движение в пространстве переводит плоскость в плоскость.

Доказательство:

Пусть дана плоскость α. Проведем в плоскости α две пересекающиеся прямые a и b. Они пересекаются в точке О (Рис.9). Доказать, что при движении плоскость α переходит в плоскость α’.

Подвергнем две прямые а и b движению.Тогда они перейдут в прямые a’ и b’ с точкой пересечения O’. Угол ϕ между ними сохранится. Проведем через прямые a’ и b’ плоскость α’.

Если в плоскости α провести прямую с, то она пересечет прямые а и b в точках А и В. При движении прямая с перейдет в прямую с’. А точки А и В перейдут в точки A’ и B’.

Таким образом, две точки A’ и B’ принадлежат плоскости α’, так как прямая с’ пересекает прямые а’ и b’ в этих точках. А следовательно и вся прямая c’, т.е. все ее точки, принадлежат плоскости α’. Отсюда следует, что плоскость α переходит в плоскость α’.

Рис.9 Задача. Докажите, что движение в пространстве переводит плоскость в плоскость.

Пример 2

В плоскости xy найдите точку D (x; y; 0), равноудаленную от трех данных точек: А (1; 1; 1), В (1; 2; 2), С (2; 0; 1).

Решение:

Так как расстояние от точки D до точек А, В и С одинаковое, то можно составить следующие соотношения:

AD 2 = (x — 1) 2 + (y — 1) 2 + (0 — 1) 2

BD 2 = (x — 1) 2 + (y — 2) 2 + (0 — 2) 2

CD 2 = (x — 2) 2 + (y — 0) 2 + (0 — 1) 2

Приравняем первое и второе уравнения:

y 2 — 2y + 2 = y 2 — 4y + 8

Теперь приравняем второе и третье уравнения:

x 2 — 4x + 4 + y 2 + 1 = x 2 — 2x + 1 + y 2 — 4y + 4 + 4

Подставляя y = 3, получим х = 4 и D (4;3;0).

Рис.10 Задача. В плоскости xy найдите точку D (x; y; 0).

Пример 3

Докажите, что четырехугольник АВСD является параллелограммом, если: А (0; 2; 1), В (1; 1; 1), С (2; 2; 3), D (1; 3; 3).

Решение:

По свойству параллелограмма, его диагонали пересекаются в точке, которая делит их пополам. Следовательно, можно найти середины отрезков АС и BD:

x_AC = (2 + 0) / 2 = 1; y_AC = (2 + 2) / 2 = 2; z_AC = (1 + 3) / 2 = 2

x_BD = (1 + 1) / 2 = 1; y_BD = (1 + 3) / 2 = 2; z_BD = (3 + 1) / 2 = 2

Так как координаты середин отрезков АС и BD совпадают, то АВСD является параллелограммом (Рис. 11).

Рис.11 Задача. Докажите, что четырехугольник АВСD является параллелограммом.

Пример 4

Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 4 м, проведены две наклонные, которые пересекают плоскость в точках А и В. Они образуют с плоскостью углы 45° и 30°, а между собой прямой угол. Найдите расстояние АВ между точками пересечения наклонных с плоскостью.

Решение:

Из прямоугольного треугольника СОВ (Рис.12) найдем СВ:

СВ = СО / sin 30° = 4 / 1 / 2 = 8 м.

Из прямоугольного треугольника СОА найдем СА:

АС = СО / sin 45° = 4 / 1 / = 4 м.

Теперь из прямоугольного треугольника АВС найдем АВ:

АВ 2 = CВ 2 + АС 2

АВ 2 = 8 2 + (4) 2

АВ = 4 м.

Рис.12 Задача. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 4 м.

Пример 5

Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника проведена плоскость под углом 45° ко второму катету. Найдите угол между гипотенузой и плоскостью.

Решение:

Из прямоугольного треугольника АВО найдем ВО (Рис.13):

ВО = АВ sin 45° = АВ /

Из прямоугольного треугольника АВС найдем ВС:

ВС 2 = AB 2 + AC 2 = 2 AB 2 (т.к. АВ = АС по условию задачи)

ВС = AB

Теперь из прямоугольного треугольника ВОС найдем синус угла ВСО:

sin ∠BCO = BO / BC = АВ / / AB = 1/2

Отсюда следует, что ∠ ВСО = 30°.

Рис.13 Задача. Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника.

Видео:Подобие треугольниковСкачать

Подобные треугольники

Видео:8 класс, 23 урок, Второй признак подобия треугольниковСкачать

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Видео:Подобные треугольникиСкачать

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

II признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Видео:Первый признак подобия треугольников. Доказательство. 8 класс.Скачать

Свойства подобных треугольников

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
• Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
• Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Видео:ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 8 класс практическое применение подобияСкачать

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .

Видео:ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВСкачать

Подобие треугольников в пространстве

Признака подобия треугольников

Две фигуры `F` и `F’` называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т. е. таким преобразованием, при котором расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Если фигуры `F` и `F’` подобны, то пишется `F

F’`. Напомним, что запись подобия треугольников `Delta ABC

Delta A_1 B_1 C_1` означает, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. `A` переходит в `A_1`, `B` — в `B_1`, `C` — в `C_1`.

Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, если `Delta ABC

Delta A_1B_1C_1`, то `/_ A = /_ A_1`, `/_ B = /_ B_1`, `/_ C = /_ C_1`,

`A_1B_1 : AB = B_1C_1 : BC = C_1A_1 : CA`.

Два треугольника подобны, если:

1. два угла одного соответственно равны двум углам другого;

2. две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны;

3. три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.

В решении задач и доказательстве теорем часто используется утверждение, которое, чтобы не повторять каждый раз, докажем сейчас отдельно.

Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне (рис. 9), то она отсекает треугольник, подобный данному.

Действительно, из параллельности `MN` и `AC` следует, что углы `1` и `2` равны. Треугольники `ABC` и `MBN` имеют два равных угла: общий угол при вершине `B` и равные углы `1` и `2`. По первому признаку эти треугольники подобны.

И сразу применим это утверждение в следующем примере, в котором устанавливается важное свойство трапеции.

Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках `M` и `N`. Найти длину отрезка `MN`, если основания трапеции равны `a` и `b`.

1. Пусть `O` — точка пересечения диагоналей, `AD = a`, `BC = b`. Прямая `MN` параллельна основанию `AD` (рис. 10а), следовательно, $$ MOparallel AD$$, треугольники `BMO` и `BAD` подобны, поэтому

2. $$ ADparallel BC$$, `Delta AOD

Delta COB` по двум углам (рис. 10б):

`(OD)/(OB) = (AD)/(BC)`, то есть `(OD)/(OB) = a/b`.

3. Учитывая, что `BD = BO + OD` находим отношение

`(BO)/(BD) = (BO)/(BO + OD) = 1/(1 + OD//BO) = b/(a + b)`.

Подставляя это в (1), получаем `MO = (ab)/(a + b)`; аналогично устанавливаем, что `ON = (ab)/(a + b)`, таким образом `MN = (2ab)/(a + b)`.

Точки `M` и `N` лежат на боковых сторонах `AB` и `CD` трапеции `ABCD` и $$ MNparallel AD$$ (рис. 11а). Найти длину `MN`, если `BC = a`, `AD = 5a`, `AM : MB = 1:3`.

1. Пусть $$ BFVert CD$$ и $$ MEVert CD$$ (рис. 11б), тогда `/_ 1 = /_ 2`, `/_ 3 = /_ 4` (как соответствующие углы при пересечении двух параллельных прямых третьей) и `Delta AME

Delta MBF`. Из подобия следует `(AE)/(MF) = (AM)/(MB) = 1/3`.

2. Обозначим `MN = x`. По построению `BCNF` и `MNDE` — параллелограммы, `FN = a`, `ED = x` и, значит, `MF = x — a`; `AE = 5a — x`. Итак, имеем `(5a — x)/(x — a) = 1/3`, откуда находим `x = 4a`.

Напомним, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон. Верно также следующее утверждение: отношение медиан, биссектрис и высот, проведённых к сходственным сторонам в подобных треугольниках, равно отношению сходственных сторон.

Отношение радиусов вписанных окружностей, как и отношение радиусов описанных окружностей, в подобных треугольниках также равно отношению сходственных сторон.

Попытайтесь доказать это самостоятельно.

Прямоугольные треугольники подобны, если:

1. они имеют по равному острому углу;

2. катеты одного треугольника пропорциональны катетам другого;

3. гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого.

Два первых признака следуют из первого и второго признаков подобия треугольников, поскольку прямые углы равны. Третий признак следует, например, из второго признака подобия и теоремы Пифагора.

Заметим, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, разбивает его на два прямоугольных треугольника, подобных между собой и подобных данному. Доказанные в § 1 метрические соотношения Свойств 1, 2, 3 можно доказать, используя подобие указанных треугольников.

СВОЙСТВА ВЫСОТ И БИССЕКТРИС

Если в треугольнике `ABC` нет прямого угла, `A A_1` и `BB_1` — его высоты, то `Delta A_1B_1C

Delta ABC` (этот факт можно сформулировать так: если соединить основания двух высот, то образуется треугольник, подобный данному).

Как всегда, полагаем `AB = c`, `BC = a`, `AC = b`.
а) Треугольник `ABC` остроугольный (рис. 12а).

В треугольнике `A A_1C` угол `A_1` — прямой, `A_1C = AC cos C = ul (b cos C)`.

В треугольнике `B B_1C` угол `B_1` — прямой, `B_1C = BC cos C = ul (a cos C)`.

В треугольниках `A_1 B_1C` и `ABC` угол `C` общий, прилежащие стороны пропорциональны: `(A_1C)/(AC) = (B_1C)/(BC) = cos C`.

Таким образом, `Delta A_1 B_1 C

Delta ABC` с коэффициентом подобия `ul (cos C)`. (Заметим, что `/_ A_1 B_1 C = /_B`).
б) Треугольник `ABC` — тупоугольный (рис. 12б), угол `C` — острый, высота `A A_1` проведена из вершины тупого угла.

$$left.begin
Delta AA_1C, angle A_1 =90^circ Rightarrow A_1C=ACcdot cos C =b cos C;\
Delta BB_1C, angle B_1 =90^circ Rightarrow B_1C=BCcdot cos C =a cos C,
end
right>Rightarrow Delta A_1B_1Csim Delta ABC,$$

коэффициент подобия `ul (cos C)`, `/_ A_1 B_1 C = /_B`.

Случай, когда угол `B` тупой, рассматривается аналогично.
в) Треугольник `ABC` — тупоугольный (рис. 12в), угол `C` — тупой, высоты `A A_1` и `B B_1` проведены из вершин острых углов.

`varphi = /_ BCB_1 = /_ ACA_1 = 180^@ — /_ C`, `cos varphi = — cos C = |cos C|`.

$$left.begin
Delta AA_1C, angle A_1 =90^circ Rightarrow A_1C=ACcdot cosvarphi =b |cos C|;\
Delta BB_1C, angle B_1 =90^circ Rightarrow B_1C=BCcdot cosvarphi =b |cos C|,
end
right>Rightarrow Delta A_1B_1Csim Delta ABC$$

с коэффициентом подобия `ul (k = |cos C|`, `(/_A_1B_1C=/_B)`.

В остроугольном треугольнике `ABC` проведены высоты `A A_1`, `B B_1`, `C C_1` (рис. 13).

Треугольник, вершинами которого служат основания высот, называется «высотным» треугольником (или ортотреугольником).

Доказать, что лучи `A_1 A`, `B_1 B` и `C_1 C` являются биссектрисами углов высотного треугольника `A_1 B_1 C_1` (т. е. высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами ортотреугольника).

По первой лемме о высотах `Delta A_1 B_1 C

Delta ABC`, `/_ A_1 B_1 C = /_ B`.

Аналогично `Delta AB_1C_1

Delta ABC`, `/_ AB_1 C_1 = /_ B`, т. е. `/_A_1 B_1C = /_ AB_1 C_1`.

Так как `BB_1` — высота, то `/_AB_1B = /_CB_1B = 90^@`.

Поэтому `/_C_1B_1B = /_A_1B_1B = 90^@ — /_B`, т. е. луч `B_1B` — биссектриса угла `A_1B_1C_1`.

Аналогично доказывается, что `A A_1` — биссектриса угла `B_1 A_1 C_1` и `C_1C` — биссектриса угла `B_1 C_1 A_1`.

Высоты `A A_1`, `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H` (рис. 14). Доказать, что имеет место равенство `AH * H A_1 = BH * HB_1`, т. е. произведение отрезков одной высоты равно произведению отрезков другой высоты.

Delta BHA_1`, имеют по равному острому углу при вершине `H` (заметим, что этот угол равен углу `C`). Из подобия следует `(AH)/(BH) = (HB_1)/(HA_1)`, откуда `AH * HA_1 = BH * HB_1`. Для тупоугольного треугольника утверждение также верно. Попробуйте доказать самостоятельно.

Высоты `A A_1` и `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H`, при этом `BH = HB_1` и `AH = 2 HA_1` (рис. 15). Найти величину угла `C`.

1. По условию пересекаются высоты, поэтому треугольник остроугольный. Положим `BH = HB_1 = x` и `HA_1 = y`, тогда `AH = 2y`. По второй лемме о высотах `AH * HA_1 = BH * HB_1`, т. е. `x^2 = 2y^2`, `x = y sqrt 2`.
2. В треугольнике `AHB_1` угол `AHB_1` равен углу `C` (т. к. угол `A_1 AC` равен `90^@ — C`), поэтому `cos C = cos (/_ AHB_1) = x/(2y) = sqrt 2/ 2`. Угол `C` — острый, `/_ C = 45^@`.

Установим ещё одно свойство биссектрисы угла треугольника.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую этому углу сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, т. е. если `AD` — биссектриса треугольника `ABC`, то `(BD)/(DC) = (AB)/(AC)`.

Проведём через точку `B` прямую параллельно биссектрисе `DA`, пусть `K` — её точка пересечения с прямой `AC` (рис. 16).

Параллельные прямые `AD` и `KB` пересечены прямой `KC`, образуются равные углы `1` и `3`. Те же прямые пересечены и прямой `AB`, здесь равные накрест лежащие углы `2` и `4`. Но `AD` — биссектриса, `/_1 = /_2`, следовательно `/_3 = /_4`. Отсюда следует, что треугольник `KAB` равнобедренный, `KA = AB`.
По теореме о пересечении сторон угла параллельными прямыми из $$ ADVert KB$$ следует `(BD)/(DC) = (KA)/(AC)`. Подставляя сюда вместо `KA` равный ему отрезок `AB`, получим `(BD)/(DC) = (AB)/(AC)`. Теорема доказана.

Биссектриса треугольника делит одну из сторон треугольника на отрезки длиной `3` и `5`. Найти в каких пределах может изменяться периметр треугольника.

Пусть `AD` — биссектриса и `BD = 3`, `DC = 5` (рис. 17).

По свойству биссектрисы `AB : AC = 3:5`. Положим `AB = 3x`, тогда `AC = 5x`. Каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон, т. е. `ul (5x 1`.

Периметр треугольника `P = 8 + 8x = 8(1 + x)`, поэтому `ul (16

🎦 Видео

Решение задач на тему "Подобные треугольники". 8 классСкачать

Геометрия . Задачи на подобие треугольников. Изи.Скачать

8 класс, 24 урок, Третий признак подобия треугольниковСкачать

Подобие прямоугольных треугольников и его применениеСкачать