Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьСерединный перпендикуляр к отрезку
Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьОкружность описанная около треугольника
Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Видео:Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Видео:Вокруг любого треугольника можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Вокруг любого треугольника можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовПочему вокруг любого треугольника можно описать окружность
Площадь треугольникаПочему вокруг любого треугольника можно описать окружность
Радиус описанной окружностиПочему вокруг любого треугольника можно описать окружность
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаПочему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиПочему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиПочему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиПочему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовПочему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаПочему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиПочему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Для любого треугольника справедливо равенство:

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikajСкачать

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikaj

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьАВС.

Доказать: около Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Точка О равноудалена от вершин Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВ = Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьАDС, Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьD = Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьАВС, откуда следует Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВ + Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьD = Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьАDС + Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьАВС = Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность(Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьАDС + Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьАDС + Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьАВС = 360 0 , тогда Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВ + Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьD = Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружность360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьBАD + Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВСDвнешний угол Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьСFD, следовательно, Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьBСD = Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВFD + Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВFD = Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВАD и Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьFDE = Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьBСD = Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВАD + Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьЕF = Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность(Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВАD + Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьЕF), следовательно, Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВСDПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВАD.

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьBАD = Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВЕD, тогда Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьBАD + Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьBСDПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружность(Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВЕD + Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВЕD + Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВАD = 360 0 , тогда Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьBАD + Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьBСDПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружность360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьBАD + Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьBСDПочему вокруг любого треугольника можно описать окружность180 0 . Но это противоречит условию Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьBАD + Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

По теореме о сумме углов треугольника в Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВСF: Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьС + Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВ + Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьF = 180 0 , откуда Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьС = 180 0 — ( Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВ + Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьF). (2)

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВ = Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьЕF. (3)

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьF и Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВFD смежные, поэтому Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьF + Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВFD = 180 0 , откуда Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьF = 180 0 — Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВFD = 180 0 — Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьС = 180 0 — (Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьЕF + 180 0 — Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВАD) = 180 0 — Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьЕF — 180 0 + Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВАD = Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность(Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВАDПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьЕF), следовательно, Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьСПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВАD.

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьА = Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВЕD, тогда Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьА + Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьСПочему вокруг любого треугольника можно описать окружностьПочему вокруг любого треугольника можно описать окружность(Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВЕD + Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьВАD). Но это противоречит условию Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьА + Почему вокруг любого треугольника можно описать окружностьС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:В любой треугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В любой треугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

📹 Видео

4K Как описать окружность вокруг треугольника, видео 2023 годСкачать

4K Как описать окружность вокруг треугольника, видео 2023 год

№708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любойСкачать

№708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любой

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)

Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

Радиус описанной окружности (ОГЭ, ЕГЭ)Скачать

Радиус описанной окружности (ОГЭ, ЕГЭ)

Окружность и треугольникСкачать

Окружность и треугольник

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

Описанная окружность 1. Центр окружности, описанной около треугольника.Скачать

Описанная окружность 1. Центр окружности, описанной около треугольника.

ОГЭ Задание 16 Описанная окружность ДиаметрСкачать

ОГЭ Задание 16 Описанная окружность Диаметр

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольник
Поделиться или сохранить к себе: