Площадь многоугольника через треугольники

Нахождение площади простого многоугольника

Пусть дан простой многоугольник (т.е. без самопересечений, но не обязательно выпуклый), заданный координатами своих вершин в порядке обхода по или против часовой стрелки. Требуется найти его площадь.

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭ

Способ 1

Это легко сделать, если перебрать все рёбра и сложить площади трапеций, ограниченных каждым ребром. Площадь нужно брать с тем знаком, с каким она получится (именно благодаря знаку вся «лишняя» площадь сократится). Т.е. формула такова:

Видео:8 класс, 14 урок, Площадь треугольникаСкачать

8 класс, 14 урок, Площадь треугольника

Способ 2

Можно поступить другим образом. Выберем произвольно точку O, переберём все рёбра, прибавляя к ответу ориентированную площадь треугольника, образованного ребром и точкой O (см. Ориентированная площадь треугольника). Опять же, благодаря знаку, вся лишняя площадь сократится, и останется только ответ.

Этот способ хорош тем, что его проще обобщить на более сложные случаи (например, когда некоторые стороны — не прямые, а дуги окружности).

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Вычислительная геометрия, или как я стал заниматься олимпиадным программированием.Часть 1

Здравствуйте, уважаемые хабравчане! Это моя вторая статья, и мне хотелось бы поговорить о вычислительной геометрии.

Немного истории

Я являюсь студентом уже 4 курса математического факультета, и до того как я начал заниматься программированием, я считал себя математиком на 100 процентов.

В конце первого курса мой преподаватель по информатике, который занимается олимпиадным программированием, обратил на меня внимание. Им как раз не хватало одного математика в команду. Так потихоньку меня начали приучать к олимпиадному программированию. Скажу честно, для меня это было очень сложно: для человека, который узнал слово Delphi на первом курсе. Однако мой преподаватель оказался очень грамотным специалистом и нашел хороший подход ко мне. Он начал давать мне математические задачи, который я сначала решал чисто математически, а уже потом писал код (с грехом пополам).

Мне очень нравится подход моего преподавателя: «разберись с этой темой, а потом расскажи нам, да так чтоб мы все поняли».

Итак, первой на самом деле важной задачей, с которой мне поручили разобраться, было именно вычислительная геометрия, необходимо было разобраться в типичных задач этого раздела информатики. И я решил подойти к этой задаче со всей ответственностью.

Я помню, как долго мучился с этими задачами, чтобы они прошли все тесты на сайте informatics.mccme. Зато теперь я очень рад, что прошел через все испытания и знаю, что же такое задачи вычислительной геометрии.

Вступление

«Вычислительная геометрия – это раздел информатики, изучающий алгоритмы решения геометрических задач. Такие задачи возникают в компьютерной графике, проектировании интегральных схем, технических устройств и др. Исходными данными в такого рода задачах могут быть множество точек, набор отрезков, многоугольники и т.п. Результатом может быть либо ответ на какой-то вопрос, либо какой-то геометрический объект».

Поскольку статья является достаточно большой я решил разбить ее на две части: первая часть посвящена многоугольникам, вторая – взаимному расположению различных геометрических объектов.

Немного теории о векторах

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой — концом, называется вектором. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет какого-либо определенного направления.
Площадь многоугольника через треугольники

Длиной ненулевого вектора AB называется длина отрезка AB. Длина нулевого вектора считается равной нулю.
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если два ненулевых вектора AB и CD коллинеарны и если при этом лучи AB и CD сонаправлены, то векторы AB и CD называются сонаправленными, а если эти лучи не являются сонаправленными, то векторы AB и CD называются противоположно направленными. Нулевой вектор принято считать сонаправленным с любым вектором.

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов — это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
(a, b) = |a||b|cos∠(a, b)
Площадь многоугольника через треугольники
Если векторы заданы своими координатами a(x1, y1), b(x2, y2) то скалярное произведение (a, b) = x1x2 + y1y2.

Косое произведение векторов

Псевдоскалярным или косым произведением векторов на плоскости называется число
[a, b] = |a||b|sinθ
где Площадь многоугольника через треугольники— угол вращения (против часовой стрелки) от a к b. Если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то полагают [a, b] = 0.
Если векторы заданы своими координатами a(x1, y1), b(x2, y2) то косое произведение [a, b] = x1y2 — x2y1.
Геометрически косое произведение векторов представляет собой ориентированную площадь параллелограмма, натянутого на эти вектора.
Площадь многоугольника через треугольники

Косое произведение векторов в задачах вычислительной геометрии занимает такое же почетное место, как рекурсии в комбинаторике. Это своего рода жемчужина вычислительной геометрии. Практически каждая задача вычислительной геометрии имеет более простое решение с помощью косового произведение вместо лобового решения.

А теперь займемся практикой

Начнем с треугольников
Площадь многоугольника через треугольники

Задача №1

Задача очень простая, а именно: по введенным трем числам a, b, c определить существует ли треугольник с такими сторонами.

Решение
Понятно, что здесь нужно только проверить неравенство треугольника: a + b > c, a + c > b, b + c > a. Интересно, при изучении неравенства треугольника только ли у меня возник вопрос: не могут ли отрицательные числа тоже удовлетворять этим трем неравенствам? Оказывается, нет! Если мы сложим каждое неравенство, то получим a > 0, b > 0, c > 0. Поэтому неравенство треугольника является необходимым и достаточным условием существования треугольника.

Задача №2

Задача является очень похожей на предыдущую с той разницей, что треугольник задан не сторонами, а координатами вершин.

Решение
С первого взгляда решение кажется очевидным: вычислить стороны треугольника и свести задачу к предыдущей. Однако поскольку расстояние между двумя точками A(x1, y1), B(x2, y2) вычисляется по формуле √(x1-x2) 2 +(y1-y2) 2 то при извлечении корня возможна потеря точности, что плохо скажется на проверке неравенства треугольника. Оказывается, что если треугольник задан координатами своих вершин, то вычислять длины его сторон и проверять неравенство треугольника не требуется. В этом случае треугольника не существует тогда и только тогда, когда данные три точки лежат на одной прямой. А это легко проверяется через косое произведение векторов. Если оно равно нулю, то векторы коллинеарные, то есть все три точки лежат на одной прямой.
Площадь многоугольника через треугольники

Во всех следующих задачах будем считать, что треугольник существует, поскольку процедуру проверки существования треугольника мы только что рассмотрели.

Задача №3

Треугольник задан своими сторонами. Определить тип треугольника: тупоугольный, прямоугольный или остроугольный.

Решение
Вспомним, что представляют собой каждый вид треугольника.

Площадь многоугольника через треугольники

Из курса геометрии известно, что напротив большей стороны лежит больший угол (он нам и нужен). Поэтому если мы выясним чему равен больший угол, то поймем тип треугольника:

  1. Угол больше 90° – треугольник тупоугольный
  2. Угол меньше 90°– треугольник остроугольный
  3. Угол равен 90°– треугольник прямоугольный

Воспользуемся теоремой косинусов:
Площадь многоугольника через треугольники

Очевидно, что если косинус угла больше нуля то угол меньше 90°, если он равен нулю, то угол равен 90°, если он меньше нуля, то угол больше 90°. Однако немного поразмыслив можно понять, что вычислять косинус угла не обязательно, необходимо учесть лишь его знак:

  • Если cosα > 0, то a 2 2 + c 2 – треугольник остроугольный
  • Если cosα = 0, то a 2 = b 2 + c 2 – треугольник прямоугольный
  • Если cosα 2 > b 2 + c 2 – треугольник тупоугольный

где a – большая сторона.

Задача №4

Задача аналогична предыдущей задаче, только треугольник задан не своими сторонами, а координатами вершин.

Решение
Аналогично задаче 2 можно сказать, что эта задача полностью сводится к предыдущей задаче (так оно и есть). Однако, как и во второй задаче, решение можно упростить. Вообще, если треугольник задан координатами своих вершин, то всегда легче работать с ним через вектора, нежели вычислять стороны. Аналогично предыдущей задаче, необходимо определить каким является наибольший из углов треугольника. Вид угла легко определяется по знаку скалярного произведения образующих его векторов: оно положительно для острого угла, равно нулю для прямого угла и отрицательно для тупого угла. Поэтому необходимо посчитать все три скалярных произведения и перемножить их и по знаку данного числа можно судить о типе треугольника.

Задача №5

По данным сторонам треугольника найти его площадь.

Решение
Очевидно решение, заключается в применение формулы Герона.
Площадь многоугольника через треугольники
Кстати, никого не интересовало доказательство этой формулы?

Задача №6

Вычислить площадь треугольника заданного координатами своих вершин.

Решение
Не будем говорить о решении, которое сводится к предыдущей задачи, а попробуем воспользоваться геометрическим смыслом косового произведения. Геометрически косое произведение двух векторов определяет ориентированную площадь параллелограмма натянутого на эти вектора. Поскольку диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника, то можем найти площадь нашего треугольника, как половину площади параллелограмма.
Для векторов a(x1, y1), b(x2, y2)
Площадь многоугольника через треугольники
S = (x1y2 — x2y1) / 2 — ориентированная площадь треугольника

Задача №7

Дана точка и треугольник заданный координатами своих вершин. Определить лежит ли точка внутри, на границе или вне этого треугольника.

Решение
У этой задачи есть два принципиально разных решения. Начнем с наименее привлекательного.

Метод площадей

Площадь многоугольника через треугольники
Если сумма площадей треугольников AKB, AKC, BKC (не ориентированных, а «обычных») больше площади треугольника ABC точка лежит вне треугольника. Если же сумма первых трех площадей равна четвертой, то нужно проверить, не равна ли нулю одна из трех площадей. Если равна, то точка лежит на границе треугольника, иначе – внутри.
Вычислять площади треугольников, естественно, надо через косое произведение векторов. Этот метод не очень хороший. Поскольку здесь используются сравнение чисел с плавающей точкой, а это в свою очередь может привести к принятию неверного решения при сравнении. Второй метод опять таки опирается на вектора, он намного эффективнее во всех отношениях.

Проверка полуплоскостей

Если хотя бы одна из сторон треугольника «разводит» противолежащую ей вершину и точку по разным полуплоскостям, то точка лежит вне треугольника. Иначе, если точка принадлежит хотя бы одной из прямых, содержащих стороны треугольника, то она находится на границе треугольника. Иначе точка лежит внутри треугольника.
Площадь многоугольника через треугольники
В первом примере сторона AB разводит вершину C и точку K по разным полуплоскостям, поэтому точка лежит снаружи.

Задача №8

Вычисление площади многоугольника заданного координатами своих вершин.

Решение
Под многоугольником будем подразумевать простой многоугольник, то есть без самопересечений. При этом он может быть как выпуклым, так и не выпуклым.

Данную задачу можно решить двумя способами: вычисляя ориентированные площади трапеций и треугольников.

Метод трапеций

Площадь многоугольника через треугольники
Для того чтобы посчитать площадь многоугольника нужно разбить его на трапеции, так как это показано на рисунке, а затем сложить ориентированные площади полученных трапеций это будет ориентированной площадью исходного многоугольника.
S = SA1 A2 B2 B1 + SA2 A3 B3 B2 + SA3 A4 B5 B3 + SA4 A5 B6 B5 + SA5 A6 B4 B6 + SA6 A1 B1 B4
Площади трапеций считаем по известной формуле: полусумма оснований на высоту
SA1 A2 B2 B1 = 0.5 * (A1B1 + A2B2) *(B2 — B1)

Поскольку полученная площадь является ориентированной, необходимо вычислить ее модуль.

Метод треугольников

Площадь многоугольника через треугольники

Как вы видите задача вычисления площади многоугольника достаточна проста. Не знаю, почему, но мне больше нравится решать эту задачу методом разбиения на трапеции (наверно потому, что на всех олимпиадах я ее так решал). Тем более, что при втором решении площади треугольников надо вычислять через косое произведение. О формуле Герона надо забыть.

Задача №9

Многоугольник задан координатами своих вершин в порядке его обхода. Необходимо проверить является ли многоугольник выпуклым.

Решение
Напомню, что многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.
Площадь многоугольника через треугольники

Задача опять сводится к вычислению косового произведения векторов, а именно у выпуклого многоугольника знаки косых произведений [Ai Ai+1, Ai+1 Ai+2] либо положительны, либо отрицательны. Поэтому если мы знаем направление обхода, то знак косых произведений для выпуклого многоугольника одинаков: он неотрицателен при обходе против часовой стрелки и неположителен при обходе по часовой стрелки.

Задача №10

Многоугольник (не обязательно выпуклый) на плоскости задан координатами своих вершин. Требуется подсчитать количество точек с целочисленными координатами, лежащих внутри него (но не на его границе).

Решение
Для решения этой задачи рассмотрим вспомогательную задачу: отрезок задан координатами своих концов, являющихся целыми числами. Необходимо посчитать количество целочисленных точек лежащих на отрезке. Понятно, что если отрезок вертикальный или горизонтальный, то необходимо вычесть координаты концов и добавить единицу. Интерес представляет случай, когда отрезок не является вертикальным или горизонтальным. Оказывается в этом случае необходимо достроить отрезок до прямоугольного треугольника и ответом будет число равное наибольшему общему делителю длин катетов этого треугольника плюс единица.
Площадь многоугольника через треугольники

Для любого многоугольника с целочисленными координатами вершин справедлива формула Пика: S = n + m/2 — 1, где S – площадь многоугольника, n – количество целых точек лежащих строго внутри многоугольника, m – количество целых точек лежащих на границе многоугольника. Поскольку площадь многоугольника мы знаем как вычислять, то S известно. Так же мы можем вычислить количество целых точек лежащих на границе многоугольника, поэтому в формуле Пика остается лишь одна искомая неизвестная которую мы можем найти.
Рассмотрим пример:
Площадь многоугольника через треугольники
S = 16 + 4 + 4,5 + 6 + 1 + 2 = 33,5
m = 15
n = 33,5 – 7,5 +1 = 27 — точек лежит строго внутри многоугольника
Вот так вот решается эта задачка!

Вот и все! Надеюсь, Вам понравилась статья, и я напишу ее вторую часть.

Видео:Как найти площадь треугольника без формулы?Скачать

Как найти площадь треугольника без формулы?

Урок 34. Площадь многоугольника

Урок из серии «Геометрические алгоритмы»

Здравствуйте, дорогой читатель.

Решения многих задач вычислительной геометрии основывается на нахождении площади многоугольника. На этом уроке мы выведем формулу для вычисления площади многоугольника через координаты его вершин, напишем функцию для вычисления этой площади.

Задача. Вычислить площадь многоугольника, заданного координатами своих вершин, в порядке их обхода по часовой стрелке.

Сведения из вычислительной геометрии

Для вывода формулы площади многоугольника нам понадобятся сведения из вычислительной геометрии, а именно, понятие ориентированной площади треугольника.

Ориентированная площадь треугольника – это обычная площадь, снабженная знаком. Знак ориентированной площади треугольника АВС такой же, как у ориентированного угла между векторами Площадь многоугольника через треугольники и Площадь многоугольника через треугольники. То есть ее знак зависит от порядка перечисления вершин.

Площадь многоугольника через треугольники

На рис. 1 треугольник АВС – прямоугольный. Его ориентированная площадь равна Площадь многоугольника через треугольники(она больше нуля, так как пара Площадь многоугольника через треугольники, Площадь многоугольника через треугольникиориентирована положительно). Эту же величину можно вычислить другим способом.

Пусть О – произвольная точка плоскости. На нашем рисунке площадь треугольника ABC получится, если из площади треугольника OBC вычесть площади OAB и OCA. Таким образом, нужно просто сложить ориентированные площади треугольников OAB, OBC и OCA. Это правило работает при любом выборе точки О.

Точно так же для вычисления площади любого многоугольника Площадь многоугольника через треугольникинужно сложить ориентированные площади треугольников Площадь многоугольника через треугольники

Площадь многоугольника через треугольники

В сумме получится площадь многоугольника, взятая со знаком плюс, если при обходе ломаной Площадь многоугольника через треугольникимногоугольника находится слева (обход границы против часовой стрелки), и со знаком минус, если он находится справа (обход по часовой стрелке).

Итак, вычисление площади многоугольника свелось к нахождению площади треугольника. Посмотрим, как выразить ее в координатах.

Векторное произведение двух векторов на плоскости есть площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.

Площадь многоугольника через треугольники

Векторное произведение, выраженное через координаты векторов:

Площадь многоугольника через треугольники

Площадь треугольника будет равна половине этой площади:

Площадь многоугольника через треугольники

В качестве точки О удобно взять начало координат, тогда координаты векторов, на основании которых вычисляются ориентированные площади, совпадут с координатами точек.

Пусть (х1, y1), (x2, у2), …, (хNN) координаты вершин заданного многоугольника в порядке обхода по или против часовой стрелки. Тогда его ориентированная площадь S будет равна:

Площадь многоугольника через треугольники

Это и есть наша рабочая формула, она используется в нашей программе.

Если координаты вершин были заданы в порядке обхода против часовой стрелки, то число S,вычисленное по этой формуле, получится положительным. В противном случае оно будет отрицательным, и для получения обычной геометрической площади нам необхо­димо взять его абсолютное значение.

Итак, рассмотрим программу для нахождения площади многоугольника, заданного координатами вершин.

Координаты вершин считывается из файла input.pas., хранятся в массиве А в виде записей с двумя полями. Для удобства обхода многоугольника в массиве вводится n+1 элемент, значение которого равно значению первого элемента массива.

Входные данные:
5
0.6 2.1 1.8 3.6 2.2 2.3 3.6 2.4 3.1 0.5

Выходные данные:
S= 3.91

Площадь многоугольника через треугольники

Мы решили задачу о нахождении площади многоугольника по координатам его вершин. Задачи усложняются. Если у вас есть замечания к этой статье, или пожелания, напишите в комментарии. Буду Вам очень признательна за сотрудничество.

📽️ Видео

Формула Пика / Как находить площадь многоугольника?Скачать

Формула Пика / Как находить площадь многоугольника?

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Площадь параллелограмма треугольника и трапецииСкачать

Площадь параллелограмма треугольника и трапеции

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решенияСкачать

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решения

✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис ТрушинСкачать

✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис Трушин

Площадь треугольника. Формула площади. Геометрия 8 класс.Скачать

Площадь треугольника. Формула площади. Геометрия 8 класс.

Как найти площадь треугольника? #треугольник #математика #егэ #shorts #подготовкакегэ #огэ #площадьСкачать

Как найти площадь треугольника? #треугольник #математика #егэ #shorts #подготовкакегэ #огэ #площадь

Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)

Площадь по теореме Герона #математика #площадь #треугольник #герона #егэ #огэ #найтиплощадь #теоремаСкачать

Площадь по теореме Герона #математика #площадь #треугольник #герона #егэ #огэ #найтиплощадь #теорема

Геометрия 8. Урок 14 - Площадь треугольников. Формулы и задачи.Скачать

Геометрия 8. Урок 14 - Площадь треугольников. Формулы и задачи.

Площадь параллелограмма, треугольника, трапецииСкачать

Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?Скачать

Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

Запомни: все формулы для площади треугольника

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | Математика
Поделиться или сохранить к себе: