Пирамида треугольная прямоугольный треугольник

Формулы и свойства правильной треугольной пирамиды. Усеченная треугольная пирамида

Объемной фигурой, которая часто появляется в геометрических задачах, является пирамида. Самая простая из всех фигур этого класса — треугольная. В данной статье разберем подробно основные формулы и свойства правильной пирамиды треугольной.

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Геометрические представления о фигуре

Прежде чем переходить к рассмотрению свойств правильной пирамиды треугольной, разберемся подробнее, о какой фигуре идет речь.

Предположим, что имеется произвольный треугольник в трехмерном пространстве. Выберем в этом пространстве любую точку, которая в плоскости треугольника не лежит, и соединим ее с тремя вершинами треугольника. Мы получили треугольную пирамиду.

Пирамида треугольная прямоугольный треугольник Вам будет интересно: Лихой — это: значение и синонимы

Она состоит из 4-х сторон, причем все они являются треугольниками. Точки, в которых соединяются три грани, называются вершинами. Их у фигуры также четыре. Линии пересечения двух граней — это ребра. Ребер у рассматриваемой пирамиды 6. Рисунок ниже демонстрирует пример этой фигуры.

Пирамида треугольная прямоугольный треугольник

Поскольку фигура образована четырьмя сторонами, ее также называют тетраэдром.

Видео:№244. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник ABC, у которого гипотенузаСкачать

№244. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник ABC, у которого гипотенуза

Правильная пирамида

Выше была рассмотрена произвольная фигура с треугольным основанием. Теперь предположим, что мы провели перпендикулярный отрезок из вершины пирамиды к ее основанию. Этот отрезок называется высотой. Очевидно, что можно провести 4 разные высоты для фигуры. Если высота пересекает в геометрическом центре треугольное основание, то такая пирамида называется прямой.

Прямая пирамида, основанием которой будет треугольник равносторонний, называется правильной. Для нее все три треугольника, образующих боковую поверхность фигуры, являются равнобедренными и равны друг другу. Частным случаем правильной пирамиды является ситуация, когда все четыре стороны являются равносторонними одинаковыми треугольниками.

Рассмотрим свойства правильной пирамиды треугольной и приведем соответствующие формулы для вычисления ее параметров.

Пирамида треугольная прямоугольный треугольник

Видео:№251. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС. БоковыеСкачать

№251. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС. Боковые

Сторона основания, высота, боковое ребро и апотема

Любые два из перечисленных параметров однозначно определяют остальные две характеристики. Приведем формулы, которые связывают названные величины.

Предположим, что сторона основания треугольной пирамиды правильной равна a. Длина ее бокового ребра равна b. Чему будут равны высота правильной пирамиды треугольной и ее апотема.

Для высоты h получаем выражение:

Эта формула следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, сторонами которого являются боковое ребро, высота и 2/3 высоты основания.

Апотемой пирамиды называется высота для любого бокового треугольника. Длина апотемы ab равна:

Из этих формул видно, что какими бы ни были сторона основания пирамиды треугольной правильной и длина ее бокового ребра, апотема всегда будет больше высоты пирамиды.

Представленные две формулы содержат все четыре линейные характеристики рассматриваемой фигуры. Поэтому по известным двум из них можно найти остальные, решая систему из записанных равенств.

Видео:Треугольная пирамида. Ортогональные и изометрическая проекции.Урок22.(Часть2. ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ)Скачать

Треугольная пирамида. Ортогональные и изометрическая проекции.Урок22.(Часть2. ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ)

Объем фигуры

Пирамида треугольная прямоугольный треугольник

Для абсолютно любой пирамиды (в том числе наклонной) значение объема пространства, ограниченного ею, можно определить, зная высоту фигуры и площадь ее основания. Соответствующая формула имеет вид:

Применяя это выражение для рассматриваемой фигуры, получим следующую формулу:

Где высота правильной треугольной пирамиды равна h, а ее сторона основания — a.

Не сложно получить формулу для объема тетраэдра, у которого все стороны равны между собой и представляют равносторонние треугольники. В таком случае объем фигуры определится по формуле:

То есть он определяется длиной стороны a однозначно.

Видео:Пирамида из бумаги/Paper pyramid/DIYСкачать

Пирамида из бумаги/Paper pyramid/DIY

Площадь поверхности

Продолжим рассматривать свойства пирамиды треугольной правильной. Общая площадь всех граней фигуры называется площадью ее поверхности. Последнюю удобно изучать, рассматривая соответствующую развертку. На рисунке ниже показано, как выглядит развертка правильной пирамиды треугольной.

Пирамида треугольная прямоугольный треугольник

Предположим, что нам известны высота h и сторона основания a фигуры. Тогда площадь ее основания будет равна:

Получить это выражение может каждый школьник, если вспомнит, как находить площадь треугольника, а также учтет, что высота равностороннего треугольника также является биссектрисой и медианой.

Площадь боковой поверхности, образованной тремя одинаковыми равнобедренными треугольниками, составляет:

Данное равенство следует из выражения апотемы пирамиды через высоту и длину основания.

Полная площадь поверхности фигуры равна:

S = So + Sb = √3/4*a2 + 3/2*√(a2/12+h2)*a

Заметим, что для тетраэдра, у которого все четыре стороны являются одинаковыми равносторонними треугольниками, площадь S будет равна:

Видео:оригами пирамида как сделать пирамиду из бумаги схема пирамида хеопса How to make Paper PyramidСкачать

оригами пирамида как сделать пирамиду из бумаги схема пирамида хеопса How to make Paper Pyramid

Свойства правильной усеченной пирамиды треугольной

Если у рассмотренной треугольной пирамиды плоскостью, параллельной основанию, срезать верх, то оставшаяся нижняя часть будет называться усеченной пирамидой.

В случае правильной пирамиды с треугольным основанием в результате описанного метода сечения получается новый треугольник, который также является равносторонним, но имеет меньшую длину стороны, чем сторона основания. Усеченная треугольная пирамида показана ниже.

Пирамида треугольная прямоугольный треугольник

Мы видим, что эта фигура уже ограничена двумя треугольными основаниями и тремя равнобедренными трапециями.

Предположим, что высота полученной фигуры равна h, длины сторон нижнего и верхнего оснований составляют a1 и a2 соответственно, а апотема (высота трапеции) равна ab. Тогда площадь поверхности усеченной пирамиды можно вычислить по формуле:

S = 3/2*(a1+a2)*ab + √3/4*(a12 + a22)

Здесь первое слагаемое — это площадь боковой поверхности, второе слагаемое — площадь треугольных оснований.

Объем фигуры рассчитывается следующим образом:

V = √3/12*h*(a12 + a22 + a1*a2)

Для однозначного определения характеристик усеченной пирамиды необходимо знать три ее параметра, что демонстрируют приведенные формулы.

Видео:Развертка тетраэдра - это легко! Как сделать объёмную правильную треугольную пирамиду из бумаги?Скачать

Развертка тетраэдра - это легко! Как сделать объёмную правильную треугольную пирамиду из бумаги?

Пирамида. Прямоугольная пирамида. Правильная пирамида. Объем пирамиды. Тетраэдр

Факт 1. Про произвольную пирамиду (PA_1A_2. A_n)
(bullet) Многоугольник (A_1. A_n) – основание;
треугольники (PA_1A_2, PA_2A_3) и т.д. – боковые грани;
точка (P) – вершина;
отрезки (PA_1, PA_2, . A_1A_2) и т.д. – ребра.
(bullet) Если в основании пирамиды лежит треугольник, то она называется (<color<<small>>>) .
(bullet) (<color<<small>>>) — это треугольная пирамида, все грани которой – равносторонние треугольники.
(bullet) Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины (P) к основанию.
(bullet) (<color<<small>>>) [<color<<large<V=dfracS_<text>h>>>>] где (S_<text>) – площадь основания, (h) – высота пирамиды.
(bullet) Площадь боковой поверхности – сумма площадей всех боковых граней.
Площадь полной поверхности – сумма площади боковой поверхности и площади основания.

Пирамида треугольная прямоугольный треугольник

(bullet) Заметим, что принято записывать название пирамиды, начиная с вершины.

Факт 2. Про прямоугольную пирамиду
(bullet) Пирамида называется прямоугольной, если одно из ее боковых ребер ( (SR) ) перпендикулярно основанию (оно же будет и высотой).
(bullet) Грани, образованные этим ребром, будут представлять собой прямоугольные треугольники ( (triangle SMR, triangle SPR) ).

Пирамида треугольная прямоугольный треугольник

Факт 3. Про правильную пирамиду
(bullet) Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник (все углы равны и все стороны равны) и выполнено одно из эквивалентных условий:

(sim) боковые ребра равны;
(sim) высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности;
(sim) боковые ребра наклонены к основанию под одинаковым углом.
(bullet) Заметим, что у правильных многоугольников центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Пирамида треугольная прямоугольный треугольник

(bullet) Заметим, что у правильной пирамиды все боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
Высота этих треугольников, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой.

Видео:Найти объем правильной треугольной пирамидыСкачать

Найти объем правильной треугольной пирамиды

Пирамида

Пирамида – многогранник, основание которого — многоугольник , а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

Пирамида треугольная прямоугольный треугольник

По числу углов основания различают пирамиды треугольные , четырёхугольные и т. д.

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Пирамида треугольная прямоугольный треугольник

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Пирамида треугольная прямоугольный треугольник

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

Пирамида треугольная прямоугольный треугольник

Видео:Треугольная пирамида, в основании прямоугольный треугольник Найдите объём вписанного конуса2)Скачать

Треугольная пирамида, в основании прямоугольный треугольник Найдите объём вписанного конуса2)

Некоторые свойства пирамиды

1) Если все боковые ребра равны, то

около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

Пирамида треугольная прямоугольный треугольник

боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

Пирамида треугольная прямоугольный треугольник

Верно и обратное.

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом , то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

Пирамида треугольная прямоугольный треугольник

Верно и обратное.

Видео:Как начертить ПИРАМИДУ в объемеСкачать

Как начертить ПИРАМИДУ в объеме

Виды пирамид

Пирамида называется правильной , если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Пирамида треугольная прямоугольный треугольник

Для правильной пирамиды справедливо:

– боковые ребра правильной пирамиды равны;

– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;

– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Видео:Треугольная пирамида. Проекции точек на гранях. Сечение. Урок23.(Часть2. ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ)Скачать

Треугольная пирамида. Проекции точек на гранях. Сечение. Урок23.(Часть2. ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ)

Пирамида треугольная прямоугольный треугольник

Пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда это ребро и есть высота пирамиды.

Пирамида треугольная прямоугольный треугольник

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Пирамида треугольная прямоугольный треугольник

Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

🎦 Видео

Призма и пирамида. Площадь и объем. Вебинар | Математика 10 классСкачать

Призма и пирамида. Площадь и объем.  Вебинар | Математика 10 класс

Треугольная пирамида, в основании прямоугольный треугольник. Найдите объём вписанного конусаСкачать

Треугольная пирамида, в основании  прямоугольный треугольник. Найдите объём вписанного конуса

10 кл,Егэ.От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пираСкачать

10 кл,Егэ.От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пира

Как начертить правильную треугольную пирамиду на #ЕГЭ2023 #стереометрияСкачать

Как начертить правильную треугольную пирамиду на #ЕГЭ2023 #стереометрия

ВСЕ О ПИРАМИДАХ! ЧАСТЬ II #shorts #егэ #огэ #математика #геометрия #пирамида #профильныйегэСкачать

ВСЕ О ПИРАМИДАХ! ЧАСТЬ II #shorts #егэ #огэ #математика #геометрия #пирамида #профильныйегэ

Треугольная пирамида в ЕГЭСкачать

Треугольная пирамида в ЕГЭ

10 класс, 32 урок, ПирамидаСкачать

10 класс, 32 урок, Пирамида

Как начертить ПРИЗМУ ТРЕХГРАННУЮСкачать

Как начертить ПРИЗМУ ТРЕХГРАННУЮ

№243. Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC, у которого АВ = АС= 13 см, ВС=10 см; реброСкачать

№243. Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC, у которого АВ = АС= 13 см, ВС=10 см; ребро
Поделиться или сохранить к себе: