| Учебный курс | Решаем задачи по геометрии |
Примечание. Текст задачи взят с форума. Задача.
Решение. Отобразим условие задачи на рисунке
Обратим внимание на то, что ON и OM являются перпендикулярами к катетам прямоугольного треугольника, поскольку нам необходимо найти расстояние KN и KM. Рассмотрим отрезок NO. Он является перпендикуляром к CB. Угол ACB также вляется прямым по условию задачи. Таким образом, треугольники ABC и OBN — подобны по признаку равенства углов (см. подобие треугольников). Угол В — общий, а, поскольку CA и NO являются перпендикулярами к CB — то остальные углы также равны (один прямой, второй равен 180 градусов минус сумма остальных углов, равенство которых мы уже доказали). Коэффициент подобия треугольников равен соотношению BO к BA. Поскольку точка О — точка касания медианы прямоугольного треугольника к гипотенузе, то есть AO = OB, то коэффициент подобия будет равен 1:2. Откуда ON = CA / 2 = 9 / 2 = 4,5 Расстояние же KN найдем по теореме Пифагора. KN = √(4,5 2 + 6 2 ) = 7,5 см Аналогично, найдем расстояние до второго катета: Содержание
Видео:Перпендикуляр к плоскости 2Скачать  Математика68. В п. 63 мы научились строить прямой угол. Так как две прямые, составляющие прямые углы, называются перпендикулярными друг другу (п. 60), то построение п. 63 можно выразить словами иначе: мы можем построить прямую, перпендикулярную к данной. Мы теперь должны эту общую задачу разобрать подробнее и прежде всего разделим ее на две отдельных задачи: 1) Дана прямая и точка на ней, построить чрез данную точку перпендикуляр к данной прямой. (Можно ли и сколько?). 2) Дана прямая и точка вне ее; построить чрез данную точку перпендикуляр к данной прямой. (Можно ил и сколько?). В скобках указаны те вопросы, которые должны быть выяснены при выполнении построений. 69. 1-я задача . Дана прямая и точка на ней; построить чрез данную точку перпендикуляр к данной прямой. Здесь остается повторить то построение, какое было дано в п. 63. Пусть дана прямая AB и точка C на ней (чер. 73), построить чрез C перпендикуляр к AB.
От точки C откладываем по AB в разные стороны два произвольных, но равных отрезка CD = CE и затем, принимая последовательно точки D и E за центры, строим две окружности (или две дуги, достаточные для нахождения одной точки пересечения окружностей) одинаковыми радиусами, большими, чем отрезок CD. Точку пересечения M этих окружностей соединяем с C, тогда MC и есть искомый перпендикуляр, так как MC есть половина диагонали ромба, 3 вершины которого суть D, E и M. Слово «перпендикуляр» пишут для сокращения знаком ⊥; мы построили (CM перпендикуляр к AB). Итак, выполнив это построение, мы можем признать, что чрез всякую точку, данную на прямой, можно построить к ней перпендикуляр (говорят иногда: восставить перпендикуляр к данной прямой). Остается еще вопрос: сколько? Если луч CM повернуть около точки C в ту или другую сторону, то новые углы, составляемые этим лучом с прямою AB, уже не будут прямыми; поэтому заключаем, что возможно построить чрез точку прямой линии к этой прямой лишь один перпендикуляр . 70. 2-я задача . Дана прямая и точка вне ее; построить чрез данную точку перпендикуляр к данной прямой. Пусть дана прямая AB и точка C вне ее (чер. 74); требуется чрез C построить перпендикуляр к AB.
Задача сводится к построению такого ромба, чтобы его одна вершина расположилась в точке C и одна его диагональ шла по прямой AB. Для построения такого ромба опишем, принимая C за центр, окружность (или дугу), выбрав ее радиус столь большим, чтобы эта окружность пересекалась с прямою AB; пусть она пересечет прямую AB в точках D и E. Тогда будут найдены еще две вершины ромба. Затем, принимая последовательно за центры точки D и E, построим два круга (или две дуги) тем же самым радиусом и найдем точку их пересечения, расположенную по другую сторону от прямой AB сравнительно с точкою C, пусть эта точка есть F. Тогда все 4 вершины ромба найдены; остается построить его диагональ CF, она, как мы знаем, и будет перпендикулярна к AB, т. е. CF ⊥ AB или CM ⊥ AB. Стороны ромба DC, CE, EF и FD нет надобности строить. Выполнив указанное построение, мы должны признать, что из всякой точки, данной вне прямой, мы можем построить перпендикуляр к данной прямой (говорят иногда: опустить перпендикуляр на данную прямую). Остается еще вопрос: сколько?
Для решения этого вопроса допустим, что чрез точку C (чер. 75) построено: 1) CD ⊥ AB и 2) CE ⊥ AB. Тогда ∠CDB или ∠1 и ∠CEB или ∠2 оба должны быть прямыми и, следов., равны между собою. Но ∠CEB есть внешний угол для ∆CDE, а мы знаем (п. 49), что внешний угол треугольника должен быть больше внутреннего с ним несмежного. Это противоречие показывает, что наше допущение не верно, т. е. Нельзя построить чрез точку C двух перпендикуляров к прямой AB. Итак: Чрез точку, данную вне прямой, можно построить только один перпендикуляр к этой прямой . Замечание . Если, как мы получили в этом п., CF ⊥ AB (чер. 74), то, очевидно, и AB ⊥ CF. 71. Построим какой-либо ∆ABC (чер. 76) и из каждой его вершины опустим перпендикуляр на противоположную сторону (здесь под именем сторона треугольника надо понимать бесконечную прямую). Каждый из этих перпендикуляров называется высотою треугольника. Следовательно, наша задача может быть выражена так: построить высоты треугольника. Если мы выполним построение перпендикуляров с возможною тщательностью, то в результате увидим, что по-видимому, все три высоты пересекаются в одной точке H, впоследствии мы выясним, что это свойство высот обязательно для всякого треугольника.
При построении высот может быть три случая: 1) все три высоты идут внутри треугольника (чер. 76); 2) две высоты BE и AD располагаются вне треугольника и общая точка H пересечения всех трех высот лежит вне треугольника (чер. 77) и 3) две высоты сливаются со сторонами треугольника (чер. 78), где BA ⊥ AC и CA ⊥ AB.
72. Для разбора вышеописанных трех случаев расположения высот условимся в обозначениях и названиях. Ясно, что 3-й случай расположения высот в треугольнике, когда две его высоты сливаются со сторонами (чер. 78), имеет место, если ∠BAC треугольника прямой (∠BAC = d); такой треугольник с прямым углом называется прямоугольным . Так как сумма всех углов треугольника = 2d, а в этом случае ∠A прямой, или = d, то два другие угла (∠B и ∠C) в сумме составляют тоже прямой угол, а следовательно каждый из них в отдельности меньше прямого, или, другими словами, каждый из них острый угол. Нетрудно теперь различать и два остальных случая: случай, данный на чер. 76, имеет место тогда, когда все 3 угла в треугольнике острые, а случай, данный на чер. 77, имеет место тогда, когда один из внутренних углов (на чер. 77 ∠BCA) тупой. Ясно также, что если в треугольнике один угол тупой (или > d), то сумма двух других углов должна быть 1-й признак. Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого, то эти прямоугольные треугольники равны. В самом деле это тот же самый признак, знакомый нам: если 2 стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны. Теперь про углы не говорится потому, что между катетами расположены прямые углы, а они всегда равны (на чер. 81). ∠A = ∠A’, как прямые, и достаточно для равенства ∆ABC и ∆A’B’C’ знать, что AB = A’B’ и AC = A’C’).
2-й признак. Если катет и прилежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого, то эти прямоугольные треугольники равны. Это опять-таки знакомый нам признак: если 2 угла и сторона между ними одного треугольника соответственно равны двум углам и стороне между ними другого треугольника, то эти треугольники равны. Теперь про равенство углов, прилегающих к равным катетам у другого конца каждого, не говорится, так как эти углы прямые, а они всегда равны (на чер. 81, где ∠A и ∠A’ прямые, достаточно для равенства треугольников знать, что AB = A’B’ и ∠B = ∠B’). Можно вместо прилежащих углов к катетам взять углы, противолежащие этим катетам: если ∠C = ∠C’, то и ∠B = ∠B’, так как ∠B + ∠C = d и ∠B’ + ∠C’ = d. Признак равенства треугольников по трем равным сторонам здесь нет нужды применять: мы уже знаем, что для равенства прямоугольных треугольников достаточно знать равенство двух сторон, а именно двух катетов (1-й признак). 3-й признак. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то эти прямоугольные треугольники равны. Этот признак является следствием общего признака: если 2 угла и сторона между ними одного треугольника соответственно равны двум углам и стороне между ними другого, то эти треугольники равны. В самом деле, пусть имеем 2 прямоугольных треугольника ABC и A’B’C’ (чер. 81), у которых BC = B’C’ и ∠С = ∠С’. Так как мы знаем, что ∠B + ∠C = d (сумма всех трех внутренних углов ∆ABC = 2d, но ∠A = d, следов., ∠B + ∠C = d) и ∠B’ + ∠C’ = d (ибо ∠A’ = d), а нам известно, что ∠C = ∠C’, то отсюда приходим к заключению, что ∠B = ∠B’ и тогда сторона BC и два прилегающих к ней угла ∠C и ∠B одного треугольника равны соответственно стороне B’C’ и двум прилегающим к ней углам другого ∠C’ и ∠B’, а мы знаем, что в этом случае ∆ABC = ∆A’B’C’. 4-й признак. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого, то такие прямоугольные треугольники равны.
Этот признак удобнее всего выяснить следующим образом. Пусть имеем 2 прямоугольных треугольника ABC и A’B’C’ (чер. 82), причем ∠B = d и ∠B’ = d, у которых AC = A’C’ и AB = A’B’. Приложим ∆A’B’C’ и ∆ABC так, чтобы у них совпали равные катеты, т. е. A’B’ совпал бы с AB, и сами треугольники расположились бы по разные стороны от прямой AB, для этого иногда (напр., в случае, данном на чертеже) придется ∆A’B’C’ перевернуть другою стороною. Тогда сторона B’C’ должна пойти по такому направлению BC», чтобы ∠ABC» оказался прямым (ибо ∠B’ = d), а, следов., ∠CBC» оказался бы выпрямленным, т. е. Направление BC» должно быть продолжением стороны CB. Если точка C’ попадет в точку C», то, построив сторону AC», получим ∆ABC», равный ∆A’B’C’. Так как CBC» есть прямая линия, то получим еще ∆ACC», у которого сторона AC = AC», потому что AC» есть гипотенуза A’C’ треугольника A’B’C’, помещенного в положение ABC». Следовательно, ∆ACC» равнобедренный, а в таком случае углы при его основании равны, т. е. ∠C = ∠C», или ∠C = ∠C’. Оказалось, что у ∆ABC и ∠A’B’C’ имеется еще по равному острому углу, а в таком случае, на основании предыдущего признака, мы можем заключить, что ∆ABC = ∆A’B’C’. 75. Пусть построено: 1) CD ⊥ AB и 2) C’D’ ⊥ AB (чер. 83); тогда, напр., ∠1 = ∠2, так как оба они прямые. Но эти углы суть соответственные при прямых CD и C’D’, пересеченных секущею AB, – следов., CD || C’D’.
Наоборот, пусть построено: 1) CD || C’D’ и 2) AB ⊥ CD (чер. 83); тогда AB должна пересечь и прямую C’D’ (п. 32, 1), напр. в точке C’. Легко увидим, что ∠2 = ∠1, так как эти углы соответственные при параллельных CD и C’D’ и секущей AB, но ∠1 = d, так как AB ⊥ CD, – следов., и ∠2 = d, т. е. AB ⊥ C’D’. 1) Два перпендикуляра к прямой параллельны. 2) Прямая, перпендикулярная к одной из параллельных, перпендикулярна и к другой. 76. Упражнения.
Третью часть прямого угла легко построить: каждый внутренний угол равностороннего треугольника = Видео:Перпендикуляр от точки к плоскостиСкачать  SC — перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника ABC (угол B = 90градусов)?Геометрия | 10 — 11 классы SC — перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника ABC (угол B = 90градусов). Найдите расстояние от точки S до прямой AB, если AC = 13см, AB = 5см, SC = 16см.
Для начла надо найти катет ВС : ВС ^ 2 = 169 — 25 = 144 Теперь рассморим треугольник SCB. Аналогично, находим гипотенузу ЕВ, которая будет являться искомым расстоянием (по теореме о трех перепендикулярах) : ЕВ ^ 2 = 256 + 144 = 400
Видео:Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскостиСкачать  Треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный с прямым углом C и гипотенузой 6 см?Треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный с прямым углом C и гипотенузой 6 см. Отрезок CM перпендикулярен плоскости треугольника, расстояние от точки M до прямой AB равно 5 см. Найдите длину отрезка CM.
Видео:Теорема о трех перпендикулярах. Признак перпендикулярности плоскостей | Математика | TutorOnlineСкачать  1) Диагонали плоского четырехугольника ABCD пересекаются в точке O?1) Диагонали плоского четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Из точки O проведены перпендикуляр OM к прямой AB и перпендикуляр OK к плоскости четырехугольника. Докажите, что угол между прямыми MK и AB прямой. Найдите расстояние от точки B до плоскости OKM, если KM = корень из 3, угол MKB = 30 градусов. 2) В треугольнике ABC AC = BC = 10 см, угол В = 30 градусам. Прямая BD перпендикулярна плоскости треугольника, BD = 5 см. Найдите расстояние от точки D до прямой АС и расстояние от точки В до плоскости ADC.
Видео:Перпендикуляр к плоскостиСкачать  В треугольнике abc ab = bc = 10см ac = 12см через точку b к плоскости треугольника проведен перпендикуляр bd длинной 15 см?В треугольнике abc ab = bc = 10см ac = 12см через точку b к плоскости треугольника проведен перпендикуляр bd длинной 15 см. А) укажите проекцию треугольника dbc на плоскость abc б) найдите расстояние от точки D до прямой ac.
Видео:Перпендикуляр к плоскостиСкачать  Из вершины прямого угла С треугольника ABC к его плоскости проведем перпендикуляр CM = 4√7?Из вершины прямого угла С треугольника ABC к его плоскости проведем перпендикуляр CM = 4√7. Найти расстояние от точки M до AB, если AC = AB = 8 см.
Видео:№147. Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, чтоСкачать  Треугольнк ABC — прямоугольный , угол A = 60 градусов , угол C = 90 градусов?Треугольнк ABC — прямоугольный , угол A = 60 градусов , угол C = 90 градусов. CH — высота треугольника ABC , причем CH = 8 см. Отрезок BK перпендикуляр к плоскости треугольника ABC . Найдите отрезок BK , если расстояние от точки K до стороны AC равно 20 см.
Видео:Перпендикуляр к плоскостиСкачать  Точка О удалена от вершин прямоугольного треугольника ABC с катетами AB = 8 см и AC = 15 см на расстояние см?Точка О удалена от вершин прямоугольного треугольника ABC с катетами AB = 8 см и AC = 15 см на расстояние см. Найдите расстояние от точки О до плоскости ABC.
Видео:Задача №1 Определение натуральной величины отрезка прямой (АВ) методом прямоугольного треугольникаСкачать  Дан прямоугольный треугольникABC с гипотенузой AC = 13 см икатетом BC = 5 см?Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC = 13 см и катетом BC = 5 см. равный 12 см, — перпендикуляр к плоскости ABC. Найдите угол между прямой SB и плоскостью ABC.
Видео:Определение кратчайшей расстояние от точки до плоскости способом замены плоскостей проекцииСкачать  Треугольник ABC — прямоугольный, угол C = 90 градусов?Треугольник ABC — прямоугольный, угол C = 90 градусов. Точка D, лежащая вне плоскости треугольника, равноудалена от вершин треугольника ABC на 8 см. Найдите расстояние от точки D до плоскости ABC, если AC = 12см и угол BAC = 30 градусов.
Видео:№147 Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника ABCD.Скачать  Срочно?В прямоугольном треугольнике ABC, угол C = 90 градусов AC = 8 см, BC = 6см. Отрезок CD = перпендикуляр к плоскости треугольника ABC. Найдите CD, если расстояние от точки D до стороны AB равно 5 см.
Видео:Перпендикуляр и наклонная в пространстве. 10 класс.Скачать  Через сторону ас равностороннего треугольника abc проведена плоскость a?Через сторону ас равностороннего треугольника abc проведена плоскость a. BO перпендикуляр к плоскости a а) обоснуйте угол между прямой bo и плоскостью abc б) найдите площадь треугольника abc, если прямая bo образует с плоскостью abc угол 30 градусов, а точка О удалено от плоскости АВС на 3 см. На странице вопроса SC — перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника ABC (угол B = 90градусов)? из категории Геометрия вы найдете ответ для уровня учащихся 10 — 11 классов. Если полученный ответ не устраивает и нужно расшить круг поиска, используйте удобную поисковую систему сайта. Можно также ознакомиться с похожими вопросами и ответами других пользователей в этой же категории или создать новый вопрос. Возможно, вам будет полезной информация, оставленная пользователями в комментариях, где можно обсудить тему с помощью обратной связи.
Так как угол равен АОВ 122 градуса то мы его делим на 2 и получаем ответь.
От угла АОВ = 122° отними сумму углов АОЕ и СОВ получается 122 — 19 — 23 = 86°.
Угол А = 30 угол В = 120 угол С = 30 угол АВD и BDC = 90 угол ABD и BDC = 60.
Ответ : 18 смОбъяснение : Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значитАО = ВО = АС / 2 = 12 / 2 = 6 см∠ВАС = ∠BAD — ∠CAD = 90° — 30° = 60°ΔАВО равнобедренный с основанием АВ, значит углы при основании равны : ∠ВАО = ∠АВ..
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов. X — больший угол. Х + 20 = 90 х = 90 — 20 = 70 градусов(больший угол). 🎦 ВидеоСтереометрия "с нуля" Урок 6 Перпендикуляр и наклонная к плоскостиСкачать  Расстояние от точки до плоскостиСкачать  Лекция 1. Точка на прямой. Метод прямоугольного треугольникаСкачать  [Начертательная геометрия] Расстояние от точки до плоскости, перпендикуляр к плоскости 1 частьСкачать ![[Начертательная геометрия] Расстояние от точки до плоскости, перпендикуляр к плоскости 1 часть](https://i.ytimg.com/vi/LDf5x4F3RdQ/0.jpg) Взаимно перпендикулярные плоскости. Определение кратчайшей расстоянии от точки до прямойСкачать  №155. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника ABCСкачать  Наклонная, проекция, перпендикуляр. 7 класс.Скачать  10 класс, 20 урок, Теорема о трех перпендикулярахСкачать  |
, а его половина = 
. Наиболее удобное расположение построения следующее: принимая вершину A прямого угла за центр (чер. F), строим произвольным радиусом окружность: затем, принимая за центры точки C и B – точки пересечения построенной окружности со сторонами прямого угла – строим тем же радиусом дуги, пересекающие построенную окружность в точках D и E. Тогда ∆AEB и ∆ACD равносторонние, и лучи AD и AE делят прямой ∠A на 3 равных части.
