Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Пересечение окружности и прямой

Дана окружность (координатами своего центра и радиусом) и прямая (своим уравнением). Требуется найти точки их пересечения (одна, две, либо ни одной).

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямой

Решение

Вместо формального решения системы двух уравнений подойдём к задаче с геометрической стороны (причём, за счёт этого мы получим более точное решение с точки зрения численной устойчивости).

Предположим, не теряя общности, что центр окружности находится в начале координат (если это не так, то перенесём его туда, исправив соответствующе константу C в уравнении прямой). Т.е. имеем окружность с центром в (0,0) радиуса r и прямую с уравнением Ax + By + C = 0.

Сначала найдём ближайшую к центру точку прямой — точку с некоторыми координатами (x0,y0). Во-первых, эта точка должна находиться на таком расстоянии от начала координат:

Во-вторых, поскольку вектор (A,B) перпендикулярен прямой, то координаты этой точки должны быть пропорциональны координатам этого вектора. Учитывая, что расстояние от начала координат до искомой точки нам известно, нам нужно просто нормировать вектор (A,B) к этой длине, и мы получаем:

(здесь неочевидны только знаки ‘минус’, но эти формулы легко проверить подстановкой в уравнение прямой — должен получиться ноль)

Зная ближайшую к центру окружности точку, мы уже можем определить, сколько точек будет содержать ответ, и даже дать ответ, если этих точек 0 или 1.

Действительно, если расстояние от (x0, y0) до начала координат (а его мы уже выразили формулой — см. выше) больше радиуса, то ответ — ноль точек. Если это расстояние равно радиусу, то ответом будет одна точка — (x0,y0). А вот в оставшемся случае точек будет две, и их координаты нам предстоит найти.

Итак, мы знаем, что точка (x0, y0) лежит внутри круга. Искомые точки (ax,ay) и (bx,by), помимо того что должны принадлежать прямой, должны лежать на одном и том же расстоянии d от точки (x0, y0), причём это расстояние легко найти:

Заметим, что вектор (-B,A) коллинеарен прямой, а потому искомые точки (ax,ay) и (bx,by) можно получить, прибавив к точке (x0,y0) вектор (-B,A), нормированный к длине d (мы получим одну искомую точку), и вычтя этот же вектор (получим вторую искомую точку).

Окончательное решение такое:

Если бы мы решали эту задачу чисто алгебраически, то скорее всего получили бы решение в другом виде, которое даёт бОльшую погрешность. Поэтому «геометрический» метод, описанный здесь, помимо наглядности, ещё и более точен.

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Реализация

Как и было указано в начале описания, предполагается, что окружность расположена в начале координат.

Поэтому входные параметры — это радиус окружности и коэффициенты A,B,C уравнения прямой.

Видео:9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

9 класс, 6 урок, Уравнение окружности

Как найти пересечение прямой и окружности

Видео:Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.

Как найти пересечение прямой и окружности

Найти точки пересечения окружности ( x — 1) 2 + (y — 2) 2 = 4 и прямой y = 2x.

Координаты точек пересечения должны удовлетворять обоим указанным уравнениям, так как эти точки находятся как на одной, так и на другой линии. Решим систему уравнений

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениямиПересечение прямой и окружности заданных уравнениямиПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Подставляя в первое уравнение 2x вместо y и раскрывая скобки, получим

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениямиПересечение прямой и окружности заданных уравнениямиПересечение прямой и окружности заданных уравнениямиПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Подставляя эти значения во второе уравнение y = 2x, получим

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениямиПересечение прямой и окружности заданных уравнениямиПересечение прямой и окружности заданных уравнениямиПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениямиПересечение прямой и окружности заданных уравнениямии Пересечение прямой и окружности заданных уравнениямиПересечение прямой и окружности заданных уравнениями.

Видео:УРАВНЕНИЯ ОКРУЖНОСТИ И ПРЯМОЙ 9 класс геометрияСкачать

УРАВНЕНИЯ ОКРУЖНОСТИ И ПРЯМОЙ 9 класс геометрия

Пересечение окружности и прямой

Дана окружность (координатами своего центра и радиусом) и прямая (своим уравнением). Требуется найти точки их пересечения (одна, две, либо ни одной).

Видео:Определение точки пересечения окружности с прямойСкачать

Определение точки пересечения окружности с прямой

Решение

Вместо формального решения системы двух уравнений подойдём к задаче с геометрической стороны (причём, за счёт этого мы получим более точное решение с точки зрения численной устойчивости).

Предположим, не теряя общности, что центр окружности находится в начале координат (если это не так, то перенесём его туда, исправив соответствующе константу C в уравнении прямой). Т.е. имеем окружность с центром в (0,0) радиуса r и прямую с уравнением Ax + By + C = 0.

Сначала найдём ближайшую к центру точку прямой — точку с некоторыми координатами (x0,y0). Во-первых, эта точка должна находиться на таком расстоянии от начала координат:

Во-вторых, поскольку вектор (A,B) перпендикулярен прямой, то координаты этой точки должны быть пропорциональны координатам этого вектора. Учитывая, что расстояние от начала координат до искомой точки нам известно, нам нужно просто нормировать вектор (A,B) к этой длине, и мы получаем:

(здесь неочевидны только знаки ‘минус’, но эти формулы легко проверить подстановкой в уравнение прямой — должен получиться ноль)

Зная ближайшую к центру окружности точку, мы уже можем определить, сколько точек будет содержать ответ, и даже дать ответ, если этих точек 0 или 1.

Действительно, если расстояние от (x0, y0) до начала координат (а его мы уже выразили формулой — см. выше) больше радиуса, то ответ — ноль точек. Если это расстояние равно радиусу, то ответом будет одна точка — (x0,y0). А вот в оставшемся случае точек будет две, и их координаты нам предстоит найти.

Итак, мы знаем, что точка (x0, y0) лежит внутри круга. Искомые точки (ax,ay) и (bx,by), помимо того что должны принадлежать прямой, должны лежать на одном и том же расстоянии d от точки (x0, y0), причём это расстояние легко найти:

Заметим, что вектор (-B,A) коллинеарен прямой, а потому искомые точки (ax,ay) и (bx,by) можно получить, прибавив к точке (x0,y0) вектор (-B,A), нормированный к длине d (мы получим одну искомую точку), и вычтя этот же вектор (получим вторую искомую точку).

Окончательное решение такое:

Если бы мы решали эту задачу чисто алгебраически, то скорее всего получили бы решение в другом виде, которое даёт бОльшую погрешность. Поэтому «геометрический» метод, описанный здесь, помимо наглядности, ещё и более точен.

Видео:Нахождение точки, лежащей на окружностиСкачать

Нахождение точки, лежащей на окружности

Реализация

Как и было указано в начале описания, предполагается, что окружность расположена в начале координат.

Поэтому входные параметры — это радиус окружности и коэффициенты A,B,C уравнения прямой.

Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямой

Виды пересечения окружности прямой

Видео:Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.

Пересечение окружности и прямой

Дана окружность (координатами своего центра и радиусом) и прямая (своим уравнением). Требуется найти точки их пересечения (одна, две, либо ни одной).

Видео:№976. Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + 3y-6 = 0 и 2х+у-4 = 0.Скачать

№976. Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + 3y-6 = 0 и 2х+у-4 = 0.

Решение

Вместо формального решения системы двух уравнений подойдём к задаче с геометрической стороны (причём, за счёт этого мы получим более точное решение с точки зрения численной устойчивости).

Предположим, не теряя общности, что центр окружности находится в начале координат (если это не так, то перенесём его туда, исправив соответствующе константу C в уравнении прямой). Т.е. имеем окружность с центром в (0,0) радиуса r и прямую с уравнением Ax + By + C = 0.

Сначала найдём ближайшую к центру точку прямой — точку с некоторыми координатами (x0,y0). Во-первых, эта точка должна находиться на таком расстоянии от начала координат:

Во-вторых, поскольку вектор (A,B) перпендикулярен прямой, то координаты этой точки должны быть пропорциональны координатам этого вектора. Учитывая, что расстояние от начала координат до искомой точки нам известно, нам нужно просто нормировать вектор (A,B) к этой длине, и мы получаем:

(здесь неочевидны только знаки ‘минус’, но эти формулы легко проверить подстановкой в уравнение прямой — должен получиться ноль)

Зная ближайшую к центру окружности точку, мы уже можем определить, сколько точек будет содержать ответ, и даже дать ответ, если этих точек 0 или 1.

Действительно, если расстояние от (x0, y0) до начала координат (а его мы уже выразили формулой — см. выше) больше радиуса, то ответ — ноль точек. Если это расстояние равно радиусу, то ответом будет одна точка — (x0,y0). А вот в оставшемся случае точек будет две, и их координаты нам предстоит найти.

Итак, мы знаем, что точка (x0, y0) лежит внутри круга. Искомые точки (ax,ay) и (bx,by), помимо того что должны принадлежать прямой, должны лежать на одном и том же расстоянии d от точки (x0, y0), причём это расстояние легко найти:

Заметим, что вектор (-B,A) коллинеарен прямой, а потому искомые точки (ax,ay) и (bx,by) можно получить, прибавив к точке (x0,y0) вектор (-B,A), нормированный к длине d (мы получим одну искомую точку), и вычтя этот же вектор (получим вторую искомую точку).

Окончательное решение такое:

Если бы мы решали эту задачу чисто алгебраически, то скорее всего получили бы решение в другом виде, которое даёт бОльшую погрешность. Поэтому «геометрический» метод, описанный здесь, помимо наглядности, ещё и более точен.

Видео:Найти точку пересечения прямой и плоскостиСкачать

Найти точку пересечения прямой и плоскости

Реализация

Как и было указано в начале описания, предполагается, что окружность расположена в начале координат.

Поэтому входные параметры — это радиус окружности и коэффициенты A,B,C уравнения прямой.

Видео:начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать

начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.

Пересечение окружности и прямой.Координаты.

Элементы окружности или координаты
x^2+y^2+ x+ y+ =0
Элементы прямой линии
Уравнение окружности
Уравнение прямой к угловым коэффициентом
Координаты пересечения окружности и прямой

Рассмотрим более подробно задачу пересечения окружности и прямой. В принципе само решение есть уже в общем виде Пересечение прямой и кривой второго порядка, но мы рассмотрим и выведем формулы точек пересечения этих двух геометрических объектов.

Уравнение прямой, как мы знаем из материала Расчет параметров прямой линии по заданным параметрам могут быть заданы в нескольких видах:

— с угловым коэффициентом

— в нормальном виде

Что бы решить нашу первоначальную задачу, использовать будем уравнение прямой с угловым коэффициентом которое имеет вид

Уравнение окружности тоже может быть выражена в различных видах

Например в общем виде оно имеет вид

Подставим в уравнение окружности, уравнение прямой

Мы получили стандартное квадратное уравнение, решив котрое мы получим два значения, которые и будут являтся абсциссами точек пересечения прямой и окружности.

Подставим эти координаты в уравнение прямой, мы получим две ординаты точек пересечения.

Таким образом решение найдено.

Для упрощения, для сверки результатов — калькулятор помогает Вам рассчитать эти точки. Интересная особенность состоит в том, что прямая может быть задана в любом виде, хоть виде двух точек.

А уравнение окружности может быть не только введено с помощью коэффицентов, но и в виде пары трех координат через которые, эта окружность будет проходить.

Видео:УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИСкачать

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениямиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Пересечение прямой и окружности заданных уравнениямиСвойства хорд и дуг окружности
Пересечение прямой и окружности заданных уравнениямиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Пересечение прямой и окружности заданных уравнениямиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Пересечение прямой и окружности заданных уравнениямиТеорема о бабочке

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Видео:№964. На окружности, заданной уравнением (x-3)2 + + (y-5)2 = 25, найдите точки: а) с абсциссой 3;Скачать

№964. На окружности, заданной уравнением (x-3)2 + + (y-5)2 = 25, найдите точки: а) с абсциссой 3;

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Окружность
Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Найти центр и радиус окружностиСкачать

Найти центр и радиус окружности

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеПересечение прямой и окружности заданных уравнениямиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыПересечение прямой и окружности заданных уравнениямиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныПересечение прямой и окружности заданных уравнениямиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиПересечение прямой и окружности заданных уравнениямиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыПересечение прямой и окружности заданных уравнениямиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Составляем уравнение прямой по точкам

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Касательные, проведённые к окружности из одной точкиПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Секущие, проведённые из одной точки вне кругаПересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Пересекающиеся хорды
Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями
Пересекающиеся хорды
Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Видео:Взаимное расположение и точки пересечения прямой и окружностиСкачать

Взаимное расположение и точки пересечения прямой и окружности

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Тогда справедливо равенство

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Пересечение прямой и окружности заданных уравнениями

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:№963. На окружности, заданной уравнением х2+у2 = 25, найдите точки: а) с абсциссой -4Скачать

№963. На окружности, заданной уравнением х2+у2 = 25, найдите точки: а) с абсциссой -4

Пересечение окружности и прямой.Координаты.

Элементы окружности или координаты
x^2+y^2+ x+ y+ =0
Элементы прямой линии
Уравнение окружности
Уравнение прямой к угловым коэффициентом
Координаты пересечения окружности и прямой

Рассмотрим более подробно задачу пересечения окружности и прямой. В принципе само решение есть уже в общем виде Пересечение прямой и кривой второго порядка, но мы рассмотрим и выведем формулы точек пересечения этих двух геометрических объектов.

Уравнение прямой, как мы знаем из материала Расчет параметров прямой линии по заданным параметрам могут быть заданы в нескольких видах:

— с угловым коэффициентом

— в нормальном виде

Что бы решить нашу первоначальную задачу, использовать будем уравнение прямой с угловым коэффициентом которое имеет вид

Уравнение окружности тоже может быть выражена в различных видах

Например в общем виде оно имеет вид

Подставим в уравнение окружности, уравнение прямой

Мы получили стандартное квадратное уравнение, решив котрое мы получим два значения, которые и будут являтся абсциссами точек пересечения прямой и окружности.

Подставим эти координаты в уравнение прямой, мы получим две ординаты точек пересечения.

Таким образом решение найдено.

Для упрощения, для сверки результатов — калькулятор помогает Вам рассчитать эти точки. Интересная особенность состоит в том, что прямая может быть задана в любом виде, хоть виде двух точек.

А уравнение окружности может быть не только введено с помощью коэффицентов, но и в виде пары трех координат через которые, эта окружность будет проходить.

Поделиться или сохранить к себе: