Пересечение плоскостей видимость треугольников (3 видео)

Построение линии пересечения плоскостей, заданных различными способами

Две плоскости пересекаются друг с другом по прямой линии. Чтобы её построить, необходимо определить две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей. Рассмотрим, как это делается, на следующих примерах.

Найдем линию пересечения плоскостей общего положения α и β для случая, когда пл. α задана проекциями треугольника ABC, а пл. β – параллельными прямыми d и e. Решение этой задачи осуществляется путем построения точек L₁ и L₂, принадлежащих линии пересечения.

Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ₁. Она пересекает α и β по прямым. Фронтальные проекции этих прямых, 1»C» и 2»3», совпадают с фронтальным следом пл. γ₁. Он обозначен на рисунке как f₀_γ₁ и расположен параллельно оси x.
Определяем горизонтальные проекции 1’C’ и 2’3′ по линиям связи.
Находим горизонтальную проекцию точки L₁ на пересечении прямых 1’C’ и 2’3′. Фронтальная проекция точки L₁ лежит на фронтальном следе плоскости γ.
Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ₂. С помощью построений, аналогичных описанным в пунктах 1, 2, 3, находим проекции точки L₂.
Через L₁ и L₂ проводим искомую прямую l.

Стоит отметить, что в качестве пл. γ удобно использовать как плоскости уровня, так и проецирующие плоскости.

Содержание

Пересечение плоскостей, заданных следами
Пересечение плоскостей треугольников
Построить линию пересечения треугольников ABC и EDK и показать видимость их в проекциях. Определить натуральную величину треугольника ABC.
Пересечение двух плоскостей треугольников ABC и EDK
📸 Видео

Видео:Построить линию пересечения треугольников ABC и DEF. Определить видимость. Вариант 2Скачать

Пересечение плоскостей, заданных следами

Найдем линию пересечения плоскостей α и β, заданных следами. Эта задача значительно проще предыдущей. Она не требует введения вспомогательных плоскостей. Их роль выполняют плоскости проекций П₁ и П₂.

Находим точку L’₁, расположенную на пересечении горизонтальных следов h₀_α и h₀_β. Точка L»₁ лежит на оси x. Её положение определяется при помощи линии связи, проведенной из L’₁.
Находим точку L»₂ на пересечении фронтальных следов пл. α и β. Точка L’₂ лежит на оси x. Её положение определяется по линии связи, проведенной из L»₂.
Проводим прямые l’ и l» через соответствующие проекции точек L₁ и L₂, как это показано на рисунке.

Таким образом, прямая l, проходящая через точки пересечения следов плоскостей, является искомой.

Видео:Линия пересечения плоскостейСкачать

Пересечение плоскостей треугольников

Рассмотрим построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF, и определение их видимости методом конкурирующих точек.

Через прямую DE проводим фронтально-проецирующую плоскость σ: на чертеже обозначен ее след f_0σ. Плоскость σ пересекает треугольник ABC по прямой 35. Отметив точки 3»=A»B»∩f_0σ и 5»=A»С»∩f_0σ, определяем положение (∙)3′ и (∙)5′ по линиям связи на ΔA’B’C’.
Находим горизонтальную проекцию N’=D’E’∩3’5′ точки N пересечения прямых DE и 35, которые лежат во вспомогательной плоскости σ. Проекция N» расположена на фронтальном следе f_0σ на одной линии связи с N’.

Через прямую BC проводим фронтально-проецирующую плоскость τ: на чертеже обозначен ее след f_0τ. С помощью построений, аналогичных тем, что описаны в пунктах 1 и 2 алгоритма, находим проекции точки K.

Через N и K проводим искомую прямую NK – линию пересечения ΔABC и ΔDEF.

Фронтально-конкурирующие точки 4 и 5, принадлежащие ΔDEF и ΔABC соответственно, находятся на одной фронтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π₂. Так как (∙)5′ находится ближе к наблюдателю, чем (∙)4′, то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)5 является видимым в проекции на пл. π₂. С противоположной стороны от линии N»K» видимость треугольников меняется.

Горизонтально-конкурирующие точки 6 и 7, принадлежащие ΔABC и ΔDEF соответственно, находятся на одной горизонтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π₁. Так как (∙)6» находится выше, чем (∙)7», то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)6 является видимым в проекции на пл. π₁. С противоположной стороны от линии N’K’ видимость треугольников меняется.

Видео:Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольникаСкачать

Построить линию пересечения треугольников ABC и EDK и показать видимость их в проекциях.
Определить натуральную величину треугольника ABC.

1. Строим проекции треугольника АВС.

2. Строим проекции треугольника EDK.

3. Находим точку пересечения стороны АС с треугольником EDK

4. Находим точку пересечения стороны А B с треугольником EDK и строим линию пересечения MN

5. С помощью конкурирующих точек 4 и 5 определяем видимость треугольников на фронтальной плоскости проекций.

6. С помощью конкурирующих точек 6 и 7 определяем видимость треугольников на горизонтальной плоскости проекций.

7. В треугольнике ABC проводим горизонталь CL и плоскопараллельным перемещением относительно горизонтальной плоскости проекций располагаем горизонталь перпендикулярно фронтальной плоскости проекций.

Строим фронтальную проекцию треугольника ABC . Треугольник должен проецироваться в прямую линию.

8. Определяем действительную величину треугольника ABC и строим на нем линию пересечения MN.

Видео:Нахождение пересечения двух треугольниковСкачать

Пересечение двух плоскостей треугольников ABC и EDK

Мы уже выполняли задачу на пересечение плоскостей, а также определяли видимость плоскостей.

В этом видеоуроке по начертательной геометрии выполним задачу на пересечение двух плоскостей заданных треугольниками ABC и EDK, т.е. закрепим пройденный материал.

После того как построим линию пересечения плоскостей заданных треугольниками, определим видимость плоскостей способом конкурирующих точек.

Таблица значения координат: