Пересечение плоскостей двумя треугольниками

Две плоскости пересекаются друг с другом по прямой линии. Чтобы её построить, необходимо определить две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей. Рассмотрим, как это делается, на следующих примерах.

Найдем линию пересечения плоскостей общего положения α и β для случая, когда пл. α задана проекциями треугольника ABC, а пл. β – параллельными прямыми d и e. Решение этой задачи осуществляется путем построения точек L₁ и L₂, принадлежащих линии пересечения.

1. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ₁. Она пересекает α и β по прямым. Фронтальные проекции этих прямых, 1»C» и 2»3», совпадают с фронтальным следом пл. γ₁. Он обозначен на рисунке как f_0γ1 и расположен параллельно оси x.
2. Определяем горизонтальные проекции 1’C’ и 2’3′ по линиям связи.
3. Находим горизонтальную проекцию точки L₁ на пересечении прямых 1’C’ и 2’3′. Фронтальная проекция точки L₁ лежит на фронтальном следе плоскости γ.
4. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ₂. С помощью построений, аналогичных описанным в пунктах 1, 2, 3, находим проекции точки L₂.
5. Через L₁ и L₂ проводим искомую прямую l.

Стоит отметить, что в качестве пл. γ удобно использовать как плоскости уровня, так и проецирующие плоскости.

Видео:Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольникаСкачать

Пересечение плоскостей, заданных следами

Найдем линию пересечения плоскостей α и β, заданных следами. Эта задача значительно проще предыдущей. Она не требует введения вспомогательных плоскостей. Их роль выполняют плоскости проекций П₁ и П₂.

1. Находим точку L’₁, расположенную на пересечении горизонтальных следов h_0α и h_0β. Точка L»₁ лежит на оси x. Её положение определяется при помощи линии связи, проведенной из L’₁.
2. Находим точку L»₂ на пересечении фронтальных следов пл. α и β. Точка L’₂ лежит на оси x. Её положение определяется по линии связи, проведенной из L»₂.
3. Проводим прямые l’ и l» через соответствующие проекции точек L₁ и L₂, как это показано на рисунке.

Таким образом, прямая l, проходящая через точки пересечения следов плоскостей, является искомой.

Видео:Линия пересечения плоскостейСкачать

Пересечение плоскостей треугольников

Рассмотрим построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF, и определение их видимости методом конкурирующих точек.

1. Через прямую DE проводим фронтально-проецирующую плоскость σ: на чертеже обозначен ее след f_0σ. Плоскость σ пересекает треугольник ABC по прямой 35. Отметив точки 3»=A»B»∩f_0σ и 5»=A»С»∩f_0σ, определяем положение (∙)3′ и (∙)5′ по линиям связи на ΔA’B’C’.
2. Находим горизонтальную проекцию N’=D’E’∩3’5′ точки N пересечения прямых DE и 35, которые лежат во вспомогательной плоскости σ. Проекция N» расположена на фронтальном следе f_0σ на одной линии связи с N’.

Через прямую BC проводим фронтально-проецирующую плоскость τ: на чертеже обозначен ее след f_0τ. С помощью построений, аналогичных тем, что описаны в пунктах 1 и 2 алгоритма, находим проекции точки K.

Фронтально-конкурирующие точки 4 и 5, принадлежащие ΔDEF и ΔABC соответственно, находятся на одной фронтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π₂. Так как (∙)5′ находится ближе к наблюдателю, чем (∙)4′, то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)5 является видимым в проекции на пл. π₂. С противоположной стороны от линии N»K» видимость треугольников меняется.

Горизонтально-конкурирующие точки 6 и 7, принадлежащие ΔABC и ΔDEF соответственно, находятся на одной горизонтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π₁. Так как (∙)6» находится выше, чем (∙)7», то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)6 является видимым в проекции на пл. π₁. С противоположной стороны от линии N’K’ видимость треугольников меняется.

Видео:Нахождение пересечения двух треугольниковСкачать

Чертежик

Метки

Видео:Построение линии пересечения двух треугольников.Скачать

Линия пересечения плоскостей двух треугольников

Линия пересечения плоскостей двух треугольников начинают с построения точек по координатам. (на рисунке 1 представлены построенные плоскости)

1. Построение по координатам.

2. Выбираете какая из сторон плоскостей будет секущей . В данном случае возьмем Е₂D₂ ,принадлежащая плоскости Е₂D₂F₂, которая пересекает плоскость А₂В₂С₂ в точка 1₂ и 2₂.

Полученные точки, проецируют на стороны плоскости, которым они принадлежат, т.е С₁В₁ и А₁В₁.

Т.к. секущей является ЕD, то необходимо чтобы прямая 1₁2₁ пересекла секущую. В данном случае в точке К_{1.(Первая точка найдена)}

3. Одной точки мало будет. Повторим действия, описанные в пункте 2, но с отрезком E₂F₂.

E2F2 пересекает А₂В₂С₂ в точках 3₂ и 4₂. Проецируете на стороны А1С1 и А₁В₁.

Т.к. секущей является EF, то необходимо чтобы прямая 3₁4₁ пересекла секущую, но такого нет (не хватает немного отрезка). Для этого прямая 3₁4₁ продливается пока не пересечется с E₁F₁. Обозначаете точку (обозначил Н₁)._{(Но Н1 не является точкой пересечения, потому как на виде сверху принадлежит только одной плости)}

4. Соединяются точки К₁ и Н₁. Ближайшая точка, принадлежащая этой прямой и двум плоскостям, находится на стороне А₁В₁ плоскости А₁В₁С₁, обозначаем Р₁. _{(Вторая точка найдена)}

5. Найденные точки необходимо спроецировать на стороны плоскости, которым они принадлежат.

5. Обводите соответсвующими линиями контуры плоскостей, воспользовавшись методом конкурирующих точек.

Видео:Линия пересечения плоскостей, заданных треугольником и четырёхугольникомСкачать

Задание 2. Построение линии пересечения плоскостей

Видео:Взаимное пересечение двух плоскостейСкачать

2.1. Условие задания

По заданным координатам точек А, В, С, D, E, F (Таблица 2) построить горизонтальную и фронтальную проекции треугольников ∆АBC и ∆DEF, найти линию их пересечения и определить видимость элементов треугольников.

Видео:Построить линию пересечения треугольников ABC и DEF. Определить видимость. Вариант 2Скачать

2.2. Пример выполнения задания № 2

Второе задание представляет комплекс задач по темам:

1. Ортогональное проецирование, эпюр Монжа, точка, прямая, плоскость: по известным координатам шести точек А, В, С, D, E, Fпостроить горизонтальную и фронтальную проекции 2-х плоскостей, заданных ∆АBC и ∆DEF;

2. Плоскости общего и частного положения, пересечение прямой и плоскости, пересечение плоскостей, конкурирующие точки: построить линию пересечения заданных плоскостей и определить видимость их элементов.

Построить горизонтальные и фронтальные проекции заданных плоскостей ∆АBC и ∆DEF (Рисунок 2.1).

Для построения искомой линии пересечения заданных плоскостей необходимо:

1. Выбрать одну из сторон треугольника и построить точку пересечения этой стороны с плоскостью другого треугольника: на Рисунке 2.1 построена точка М пересечения прямой EF c плоскостью ∆АBC; для этого прямую EF заключают во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость δ;

2. Построить фронтальную проекцию 1₂2₂ линии пересечения плоскости δ с плоскостью ∆АBC;

3. Найти фронтальную проекцию М2 искомой точки М на пересечении фронтальную проекцию 1₂2₂ с фронтальной проекцией E₂ F₂прямой EF;

4. Найти горизонтальную проекцию М₁ точки М с помощью линии проекционной связи;

5. Аналогично построить вторую точку N, принадлежащую искомой линии пересечения заданных плоскостей: заключить во фронтально-проецирующую плоскость β прямую ВС; найти линию пересечения 34 плоскости с плоскостью ∆DEF; на пересечении линии 34 и прямой ВС найти точку N;

6. Определить с помощью конкурирующих точек, для каждой плоскости отдельно, видимые участки треугольников.

Рисунок 2.1 – Построение линии пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками

Рисунок 2.2 – Пример оформления задания 2

💥 Видео

Пересечение плоскостей (треугольника и четырёхугольника)Скачать

Точка встречи прямой с плоскостьюСкачать

Построение линии пересечения двух плоскостейСкачать

Линия пересечения двух поверхностей конус и цилиндр (Метод секущих плоскостей)Скачать

Построение следов плоскостиСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

Линия пересечения двух плоскостей, заданных своими следамиСкачать

Способ замены (перемены) плоскостей проекции. Определение истинной величины отрезка и плоской фигурыСкачать

Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскостиСкачать

Нахождение линии пересечения плоскостей путём приглашения плоскостей посредниковСкачать

Построение линии пересечения двух треугольников. Анимация.Скачать

Определение истинной величины треугольника АВС. Метод плоско-параллельного перемещенияСкачать

Построить линию пересечения треугольников ABC и DEF. Вариант 9Скачать