Перенос треугольника через точку

Параллельный перенос, поворот плоскости и подобные треугольники

Корзина

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

Теоретический урок по предмету математики для решения задач по теме «Параллельный перенос, поворот плоскости и подобные треугольники».

Содержание данной онлайн страницы электронного справочника для школьников:

  • – тема «Параллельный перенос» представлена на примере решения задач 145 — 148;
  • – в контрольных работах с номерами 149 — 154 данной рабочей тетради по математике рассматривается поворот плоскости вокруг точки на угол;
  • – повторение курса геометрии 9 класса в решениях приведено на примере заданий 155 — 173: углы треугольника, площадь треугольника через катеты и гипотенузу, вычисление радиуса описанной окружности, стороны ромба, подобные треугольники.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)

Параллельный перенос

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуОпределение:

Параллельным переносом на вектор Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуназывается отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M отображается в такую точку M1, что два вектора равны

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

Задача 145.

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкувектор Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

A → A1 : Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

B → B1 : Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

Теорема:

При параллельном переносе на вектор Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкусохраняется расстояние между точками, т.е. параллельный перенос – движение.

f – параллельный перенос на вектор Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

M Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуM1

N Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуN1

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуДоказать:

Точка M переводится движением в точку M1 с условием, что два вектора равны: M Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуM1: Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= MM1

Точка N переводится движением в точку N1 с условием, что два вектора равны: N Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуN1: Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= NN1

Следовательно, полученные отрезки параллельны MM1 || NN1 и построенные отрезки равны MM1 = NN1

Значит, четырехугольник MM1N1N – параллелограмм.

Поэтому MN = M1N1, значит f – движение.

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

Задача 146.

A Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуA1:

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

B Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуB1:

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

C Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуC1:

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

A Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуA1: Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

B Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуB1:

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

C Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуC1:

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку***

Задача 147.

точка D лежит на AC: D Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAC

точка C лежит на AD: C Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAD

BC Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуB1D

б) Доказать: ABB1D – равнобедренная трапеция

1) От точки B проведем прямую a, параллельную вектору Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку: a || Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

2) Точка B переводится движением в точку B1

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

3) Проведем прямую B1D, параллельную отрезку BC:

Рассмотрим четырехугольник BB1DC.

Т.к. основания BB1 || CD и боковые стороны BC || BD параллельны, то BB1DC – параллелограмм (по определению)

По свойству параллелограмма:

основания BB1 = CD и боковые стороны BC = BD равны, но AB = BC, тогда AB = B1D

Т.к. BB1 || AD параллельны и AB Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуB1D не параллельны, следовательно, ABB1D – трапеция (по определению).

Т.к. AB = B1D, то ABB1D – равнобедренная трапеция.

Задача 148.

Дано: Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

вектор Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

окр (O;R) Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуокр (O1;R1)

ΔABC Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуΔA1B1C1

EFPQ Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуE1F1P1Q1

как показано на рисунке.

Видео:Параллельный перенос точки, отрезка, треугольника, четырехугольника. Геометрия 8 классСкачать

Параллельный перенос точки, отрезка, треугольника, четырехугольника. Геометрия 8 класс

Поворот плоскости вокруг точки на угол

Определение:

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуПоворотом плоскости вокруг точки O на угол α называется такое отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M отображается в такую точку M1, что угол поворота

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуMOM1 = α и OM1 = OM.

O – центр поворота

α – угол поворота

Задача 149.

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуДано:

α = 75° (против часовой стрелки)

O – центр поворота

1) A Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуA1;

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAOA1 = 75°

2) B Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуB1;

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуBOB1 = 75°

Теорема:

Поворот является движением.

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуf – поворот

α – угол поворота (против часовой стрелки)

точка O – центр поворота

Тогда треугольники равны ΔOMN = ΔOM1N1 по двум сторонам и углу между ними:

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуMON = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуM1ON1

Тогда MN = M1N1, значит, f – движение.

Задача 150.

точка O – центр поворота

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуα = 180°

1) A Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуA1;

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAOA1 = 180°

2) B Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуB1;

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуBOB1 = 180°

Задача 151.

точка A – центр поворота

α = 160° (против часовой стрелки)

1) B Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуB1;

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуBAB1 = 160°

2) C Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуC1;

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуCAC1 = 160°

Задача 152.

точка O – центр поворота

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуПостроить:

1) A Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуA1;

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAOA1 = 120°

2) B Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуB1;

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуBOB1 = 120°

Задача 153.

точка C – центр окружности (C; R)

точка O – центр поворота

угол поворота α = 60° (против часовой стрелки)

а) точка C и точка O не совпадают

б) точка C и точка O совпадают

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуПостроить:

1) проведем луч CO

2) C Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуC1;

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуCOC1 = 60°

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

Т.к. точка О – центр поворота и точка С – центр окружности совпадают, то окружности (C;R) и (C1;R) будут тоже совпадать.

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

Задача 154.

Δ ABC – равнобедренный, равносторонний

D – точка пересечения биссектрис

D – центр поворота

угол поворота α = 120°

ΔABC Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуΔABC

Т.к. Δ ABC – правильный, то все углы в нем равны 60°.

Т.к. точка D – центр описанной и вписанной окружности, то

Δ ABD = Δ BDC = Δ DAC (по трем сторонам).

Следовательно, что Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуADB = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуBDC = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуCDA

A Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуB

B Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуC

C Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуA

Таким образом, Δ ABC отображается на себя.

Повторение.

Задача 155.

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуABC : Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуBCA : Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуCAB = 3 : 7 : 8

Найти: наибольший угол треугольника

Пусть x – коэффициент пропорциональности. Зная, что сумма углов в треугольнике равна 180°, составим и решим уравнение:

3x + 7x + 8x = 180

Наибольший угол Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуCAB = 8 • 10 = 80°

Задача 156.

треугольник ΔABC – равнобедренный,

один угол больше другого:

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуABC > Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуBAC на 60°

Найти: угол при основании треугольника

Пусть x° – угол при основании треугольника. Зная, что сумма углов в треугольнике составляет 180°, составим и решим уравнение:

(x + 60°) + x + x = 180°

Значит, Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуBAC = 40°.

Задача 157.

треугольник ΔABC – прямоугольный

c = 26 см – гипотенуза

Найти: больший катет b

Пусть x – коэффициент пропорциональности. По теореме Пифагора составим и решим уравнение:

(5x) 2 + (12x) 2 = 26 2

25x 2 + 144x 2 = 676

b = 12 • 2 = 24 (см)

Задача 158.

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуC = 90°

c = 13 – гипотенуза

По теореме Пифагора получаем:

a = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= 12

Тогда площадь треугольника

SΔABC = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуab = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку=

= 30 (квадратных единиц)

Задача 159.

треугольник ΔABC – равнобедренный,

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуC = 90°

c = 4 Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку– гипотенуза

Найти: площадь треугольника SΔABC = ?

SΔABC = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуab

Т.к. Δ ABC – равнобедренный, то углы при основании по 45° и катеты равны a = b.

По теореме Пифагора получаем:

Тогда (4 Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку) 2 = 2a 2

Тогда площадь треугольника

SΔABC = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуab = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку=

= 8 (квадратных единиц)

Задача 160.

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуA = 90°

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуa = 6

Найти: радиус описанной окружности R = ?

Т.к. AH – медиана, то CH = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуc

По теореме Пифагора получаем:

Тогда CH = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуc = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= 5 (ед)

Точка H – центр описанной окружности

Т.к. R = AH, то R = AH = CH = 5 ед.

Задача 161.

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуC = 90°

соотношение острых углов

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуABC : Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуCAB = 1 : 2

AC = 4 Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

Найти: радиус описанной окружности R = ?

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуПусть x – коэффициент пропорциональности. Зная, что сумма углов в треугольнике составляет 180°, составим и решим уравнение:

Тогда Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуCAB = 30°,

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуABC = 2 • 30° = 60°

Следовательно, BC = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAB

По теореме Пифагора получаем:

AC 2 + Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= AB 2

AC 2 = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAB 2

AB 2 = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= 64

R = AD = BD = 8 : 2 = 4 (ед)

Задача 162.

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуC = 90°

радиус описанной окружности

Тогда AB = 2,5 • 2 = 5

По теореме Пифагора получаем:

AC = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= 4 (ед)

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуЗадача 163.

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуC = 90°

tg Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуA = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

0,6 = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку; AC = 3 • Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= 5 (ед)

Задача 164.

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуA = 90°

Найти: Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуABC = ?

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуРешение:

Т.к. AH = AC, то Δ AHC – равнобедренный.

Точка H – радиус вписанной окружности, поэтому AH = CH, но AH = AC, следовательно, AH = CH = AC.

Тогда Δ AHC – равносторонний.

Значит, Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуHAC = AHC = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуHCA = 60°.

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуABC = 180° – (90° + 60°) = 30°.

Задача 165.

треугольник Δ ABC – правильный, равносторонний,

SΔABC = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкукв.ед.

Найти: длину биссектрисы BH = ?

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуТ.к. Δ ABC – правильный, то все углы по 60°.

Рассмотрим Δ ABC – равнобедренный, где

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуBAC = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуBCA = 60°.

Тогда BH – медиана, высота.

Значит, перпендикулярны отрезки BH Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAC.

Рассмотрим треугольники Δ ABH и Δ BHC.

AB = BC, по условию.

AH = CH, BH – медиана.

Значит, треугольники равны Δ ABH = Δ BHC.

Т.е. SΔABH = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуSΔABC = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуПеренос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку(кв.ед.)

SΔABH = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAH • BH

Рассмотрим треугольник Δ ABH.

Т.к. BH – биссектриса, то угол Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуABH = 30°, поэтому

AH = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAB

SΔABH = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAB • BH = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

AB • BH = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку(*)

По теореме Пифагора получаем:

AB 2 = AH 2 + BH 2

AB 2 = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAB 2 + BH 2

BH 2 = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAB 2

BH = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAB (**)

Используя результат (**) в уравнении (*), получаем

AB • Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAB = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

AB 2 = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

AB = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

Тогда AB • BH = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку• BH = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

Задача 166.

треугольник Δ ABC – правильный, равносторонний,

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкурадиус описанной окружности

R = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

Найти: площадь треугольника

Рассмотрим Δ ABO (AO = BO = R) Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуΔ ABO – равнобедренный.

Проведем из вершины O к AB высоту OH.

Рассмотрим Δ AOH, где Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAHO = 90°.

Т.к. Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуHAO = 30°, то OH = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAO Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуOH = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуR

OH = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуПеренос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

По теореме Пифагора получаем:

OH 2 + AH 2 = OA 2

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку+ AH 2 = ( Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку) 2 Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку+ AH 2 =

= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

AH 2 = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуПеренос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAH = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

Тогда площадь треугольника

SΔAOH = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAH • OH = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуПеренос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуПеренос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

Следовательно, SΔABO = 2 • SΔAOH = 2 • Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку(кв.ед.)

Тогда площадь треугольника

SΔABC = 3 • SΔABO = 3 • Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= 2 Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= 2,25 (кв.ед.)

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуЗадача 167.

Площадь ромба SABCD = 384

Соотношение диагоналей ромба:

Найти: сторону ромба AB = ?

SABCD = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAC • BD

Пусть x – коэффициент пропорциональности. Тогда

SABCD = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку3x • 4x

Следовательно, диагональ BD = 4x = 4 • 8 = 32

AC = 3x = 3 • 8 = 24

Поэтому половина диагонали AO = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAC = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку• 24 = 12

BO = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуBD = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку• 32 = 16

По теореме Пифагора получаем:

AO 2 + BO 2 = AB 2

Сторона ромба AB = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= 20

Задача 168.

треугольник Δ ABD – равнобедренный,

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуоснование AD = 16

Найти: площадь треугольника

SΔABD = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAD • BH

Проведем высоту BH к основанию AD.

По свойству равнобедренного треугольника:

BH – медиана, биссектриса, высота.

Т.к. BH – медиана, то AH = DH = 16 : 2 = 8 (ед.)

Рассмотрим треугольник Δ ABH, где угол Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAHB = 90°.

По теореме Пифагора получаем:

AB 2 = AH 2 + BH 2

BH = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= 6 (ед.)

Тогда площадь треугольника

SΔABD = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAD • BH = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку•16 • 6 = 48 (кв.ед.)

Ответ: площадь треугольника SΔABD = 48 кв.ед.

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

Задача 169.

треугольник Δ ABC –равнобедренный,

основание AC больше высоты BH на 15: AC > BH на 15

Найти: основание AC = ?

Т.к. треугольник Δ ABC –равнобедренный, то BH – высота, медиана, биссектриса.

Тогда AC = AH + CH = AH + AH = 2 AH

Рассмотрим Δ ABH – прямоугольный.

Пусть AC = (x) ед. Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAH = ( Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку) ед.

Тогда AB = (x – 15) ед. (по условию).

По теореме Пифагора решим уравнение:

(x – 15) 2 = ( Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку) 2 + 15 2 Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуx 2 – 30x + 225 = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку+ 225

4 (x 2 – 30x) = x 2

4x 2 – 120x = x 2

3x 2 – 120x = 0 | : x

Таким образом, 40 ед. – длина основания.

Ответ: AC = 40 ед.

Видео:Перенос треугольника по векторуСкачать

Перенос треугольника по вектору

Подобные треугольники

Задача 170.

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкутреугольник Δ ABC, два угла

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуA = 54°

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуB = 18°

CH – биссектриса угла Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуC

Доказать: подобие треугольников

Δ BHC Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуΔ ABC

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуC = 180° – ( Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуA + Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуB)

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуC = 180° – (54° + 18°) = 108°

Т.к. CH – биссектриса угла Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуC, то

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуBCH = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуHCA = 108° : 2 = 54°

Рассмотрим Δ BHC

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуHBC = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуB = 18°

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуBCH = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуA = 54°

Тогда Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуCHB = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуC = 108°

Поэтому треугольники подобны Δ BHC Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуΔ ABC.

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуЗадача 171.

верхнее основание BC = 4 см

нижнее основание AD = 10 см

диагональ BD = 8 см

часть диагонали BO = ?

соотношение периметров треугольников

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= ?

Углы равны Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуCBO = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуODA как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.

Углы равны Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуBCO = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуOAD как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.

Тогда треугольники подобны Δ BCO Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуΔ AOD.

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку. Тогда 4AO = 10BO Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуBO = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуAO

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= 0,4 = k

Пусть BO = x, AO = 8 – x. Тогда 10x = 4 • (8 – x)

x = 2 Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку(см)

Следовательно, BO = 2 Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкусм.

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= k = 0,4

Ответ: BO = 2 Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкусм, Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= 0,4.

Задача 172.

ΔABC Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуΔA1B1C1 ,

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкупериметр треугольника:

P (ΔABC) = 12 +16 + 20 = 48 (дм)

Т.к. треугольники подобны, то

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= k (*)

Тогда соотношение периметров треугольников

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= k (**)

Из равенств (*) и (**) следует

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

B1C1 = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= 20 (дм)

Тогда Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

A1B1 = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= 15 (дм)

Задача 173.

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуABCD – трапеция,

стороны трапеции пересекаются в точке M:

Рассмотрим треугольники ΔAMD и ΔBMC:

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуBAD = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуMBC, как соответственные при параллельных прямых BC и AD и секущей AB.

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуMCB = Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуMDA, как соответственные при параллельных прямых BC и AD и секущей CD.

Тогда, по первому признаку подобия треугольников:

треугольники подобны Δ AMD Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точкуΔ BMC.

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку,

но AM = AB + BM = 3,9 + BM

8 • BM = 5 (3,9 + BM)

Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку= Перенос треугольника через точку Перенос треугольника через точку,

Видео:9 класс, 32 урок, Параллельный переносСкачать

9 класс, 32 урок, Параллельный перенос

Параллельный перенос и поворот

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:#192 ПОВОРОТ И ПЕРЕНОС // ТРЕУГОЛЬНИКСкачать

#192 ПОВОРОТ И ПЕРЕНОС // ТРЕУГОЛЬНИК

Параллельный перенос

Введем определение параллельного переноса на вектор. Пусть нам дан вектор $overrightarrow$.

Перенос треугольника через точку

Рисунок 1. Параллельный перенос

Введем следующую теорему.

Параллельный перенос является движением.

Доказательство.

Пусть нам даны точки $M и N$. Пусть при их параллельном переносе на вектор $overrightarrow$ эти точки отображаются в точки $M_1$ и $N_1$, соответственно (рис. 2).

Перенос треугольника через точку

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Значит четырехугольник $_1N_1N$ — параллелограмм и, следовательно, $MN=M_1N_1$. То есть параллельный перенос сохраняет расстояние между точками. Следовательно, параллельный перенос является движением.

Теорема доказана.

Видео:ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ПОВОРОТ 9 класс геометрия АтанасянСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ПОВОРОТ 9 класс геометрия Атанасян

Поворот

Введем определение поворота вокруг точки $O$ на угол $alpha $.

Поворот вокруг точки $O$ на угол $alpha $ — отображение плоскости на себя, при котором любая точка $M$ отображается на точку $M_1$ такую, что $_1=OM, angle M_1=angle alpha $ (Рис. 3).

Перенос треугольника через точку

Рисунок 3. Поворот

Готовые работы на аналогичную тему

Введем следующую теорему.

Поворот является движением.

Доказательство.

Пусть нам даны точки $M и N$. Пусть при их повороте вокруг точки $O$ на угол $alpha $ они отображаются в точки $M_1$ и $N_1$, соответственно (рис. 4).

Перенос треугольника через точку

Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2

Так как, по определению 2, $_1=OM, _1=ON$ и $overrightarrow<_1>=overrightarrow$, а ,$angle MON=angle M_1ON_1$, то

Следовательно, $MN=M_1N_1$. То есть поворот сохраняет расстояние между точками. Следовательно, поворот является движением.

Теорема доказана.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)

Примеры задач на параллельный перенос и поворот

Построить треугольник $A_1B_1C_1$,образованный поворотом вокруг точки $B$ на угол $^0$ равнобедренного прямоугольного (с прямым углом $B)$ треугольника $ABC$.

Решение.

Очевидно, что точка $B$ перейдет сама в себя, то есть $B_1=B$. Так как поворот производится на угол, равный $^0$, а треугольник $ABC$ равнобедренный, то прямая $BA_1$ проходит через точку $L$ — середины стороны $AC$. По определению, отрезок $BA_1=BA$. Построим его (Рис. 5).

Перенос треугольника через точку

Построим теперь вершину $C_1$ по определению 2:

[angle CBC_1=^0, BC=BC_1]

Соединим все вершины треугольника $A_1B_1C_1$ (Рис. 6).

Перенос треугольника через точку

Решение закончено.

Построить параллельный перенос треугольника $ABC$ на вектор $overrightarrow$.

Решение.

Перенесем каждую вершину треугольника на вектор $overrightarrow$. Получаем треугольник $CA_1C_1$ (рис. 7).

Перенос треугольника через точку

Решение закончено.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 15 04 2021

Видео:Параллельный перенос. Симметрия. Поворот | МатематикаСкачать

Параллельный перенос. Симметрия. Поворот | Математика

Метод плоскопараллельного перемещения

В начертательной геометрии метод плоскопараллельного перемещения используется, как правило, для определения натуральных величин плоских фигур, отрезков и углов.

Свойства плоскопараллельного перемещения:

  1. При перемещении любой фигуры параллельно плоскости проекции, проекция фигуры на эту плоскость остается неизменной.
  2. При перемещении точки параллельно горизонтальной плоскости проекции, её фронтальная проекция движется по прямой, параллельной оси X. На рисунке ниже точки C» и D», следуя этому свойству, заняли положение C»1 и D»1.
  3. При перемещении точки параллельно фронтальной плоскости проекции, её горизонтальная проекция движется по прямой, параллельной оси X.

Рассмотрим перевод произвольно расположенного отрезка CD в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций П2.

Перенос треугольника через точку

  • Используя первое свойство параллельного перемещения, на любом свободном месте чертежа строим отрезок C’1D’1 = C’D’.
  • По линиям связи определяем недостающие проекции C»1 и D»1. Стрелками показано перемещение точек C» и D» параллельно оси X в соответствии со вторым свойством рассматриваемого метода.

Следующий рисунок иллюстрирует перевод отрезка MN в проецирующее положение по отношению к фронтальной плоскости проекций П2. В общем случае для решения подобной задачи необходимо дважды воспользоваться методом плоскопараллельного перемещения.

Перенос треугольника через точку

  • После первого преобразования отрезок MN займет положение параллельно плоскости П1. Сначала строится M»11 = M»N» на произвольном месте чертежа, после чего по линиям связи находятся недостающие проекции M’1 и N’1.
  • Второе преобразование заключается в параллельном переносе горизонтальной проекции отрезка M’1N’1 в положение M’2N’2, перпендикулярное оси X. После этого точки M»2 = N»2 определяются по линиям связи.

Видео:Определение истинной величины треугольника АВС. Метод плоско-параллельного перемещенияСкачать

Определение истинной величины треугольника АВС. Метод плоско-параллельного перемещения

Определение натуральной величины треугольника

Рассмотрим порядок плоскопараллельного перемещения треугольника ABC с целью определения его натуральной величины.

Перенос треугольника через точку

  1. Через точку С треугольника ABC проводим горизонталь CD. Находим её недостающие проекции.
  2. Переводим ABC в положение, перпендикулярное фронтальной плоскости проекций. Для этого строим C’1D’1 = C’D’ перпендикулярно оси X. В соответствии с первым свойством плоскопараллельного перемещения достраиваем треугольник A’1B’1C’1 = A’B’C’. По линиям связи определяем точки A»1, B»1, C»1.
  3. Перемещаем проекцию A»111 треугольника ABC в положение A»222, параллельное оси X, соблюдая равенство A»222 = A»111. По линиям связи определяем точки A’2, B’2, C’2. Теперь треугольник ABC расположен параллельно горизонтальной плоскости проекций и проецируется на неё в натуральную величину A’2B’2C’2.

Видео:Параллельный переносСкачать

Параллельный перенос

Определение расстояния между параллельными прямыми

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине перпендикуляра, опущенного из произвольной точки первой прямой на вторую прямую. Рассмотрим, как указанное расстояние определяется на практике с помощью метода плоскопараллельного перемещения.

Перенос треугольника через точку

Путем двух последовательных преобразований прямые a и b переводятся в положение, перпендикулярное горизонтальной плоскости. Таким образом, они проецируются на неё в точки A’2 и B’2, расстояние между которыми является искомым. Показанные на рисунке величины d1 и d2 являются вспомогательными для выполнения построений согласно свойствам плоскопараллельного перемещения.

📽️ Видео

11 класс, 12 урок, Параллельный переносСкачать

11 класс, 12 урок, Параллельный перенос

2 3 проекция точки на конусеСкачать

2 3 проекция точки на конусе

Определение преобразований | Геометрические преобразования и Конгруэнтность | ГеометрияСкачать

Определение преобразований | Геометрические преобразования и Конгруэнтность | Геометрия

Геометрия 9 класс : Параллельный перенос и поворотСкачать

Геометрия 9 класс : Параллельный перенос и поворот

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Построение параллельной плоскости на расстояние 30 мм.Скачать

Построение параллельной плоскости на расстояние 30 мм.

Параллельный перенос. Координаты точек при параллельном переносе. Геометрия 8 классСкачать

Параллельный перенос. Координаты точек при параллельном переносе. Геометрия 8 класс

Урок 8. Параллельный перенос. Декартовы координаты на плоскости.Скачать

Урок 8.  Параллельный перенос. Декартовы координаты на плоскости.

Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать

Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.

8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать

8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольника
Поделиться или сохранить к себе: