Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
Строгое определение параллельного переноса даётся либо через декартовы координаты, либо через вектор.
1) Введём на плоскости декартовы координаты x, y.
Параллельный перенос — это такое преобразование фигуры F, при котором её произвольная точка (x;y) переходит в точку (x+a; y+b), где a и b — некоторые числа, одинаковые для всех точек (x;y) фигуры F.
Формулы параллельного переноса
Если при параллельном переносе точка A(x;y) переходит в точку A1(x1;y1)
то параллельный перенос задаётся формулами:
Говорят также, что A1 является образом точки A при параллельном переносе на вектор (a; b). Точка A называется прообразом.
2) Параллельный перенос на данный вектор ā называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка A отображается в такую точку A1, то вектор AA1 равен вектору ā:
Свойства параллельного переноса
1) Параллельный перенос есть движение (то есть параллельный перенос сохраняет расстояние).
2) При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.
3) При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя).
4) Каковы бы ни были точки A и A1, существует единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A1.
В алгебре параллельный перенос широко используется для построения графиков функций.
Please wait.
We are checking your browser. mathvox.ru
Why do I have to complete a CAPTCHA?
Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.
What can I do to prevent this in the future?
If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.
If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.
Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.
Cloudflare Ray ID: 6d9a8e530c4b90ab • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare
Параллельный перенос и поворот
Вы будете перенаправлены на Автор24
Параллельный перенос
Введем определение параллельного переноса на вектор. Пусть нам дан вектор $overrightarrow$.
Рисунок 1. Параллельный перенос
Введем следующую теорему.
Параллельный перенос является движением.
Доказательство.
Пусть нам даны точки $M и N$. Пусть при их параллельном переносе на вектор $overrightarrow$ эти точки отображаются в точки $M_1$ и $N_1$, соответственно (рис. 2).
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1
Значит четырехугольник $_1N_1N$ — параллелограмм и, следовательно, $MN=M_1N_1$. То есть параллельный перенос сохраняет расстояние между точками. Следовательно, параллельный перенос является движением.
Теорема доказана.
Поворот
Введем определение поворота вокруг точки $O$ на угол $alpha $.
Поворот вокруг точки $O$ на угол $alpha $ — отображение плоскости на себя, при котором любая точка $M$ отображается на точку $M_1$ такую, что $_1=OM, angle M_1=angle alpha $ (Рис. 3).
Рисунок 3. Поворот
Готовые работы на аналогичную тему
Введем следующую теорему.
Поворот является движением.
Доказательство.
Пусть нам даны точки $M и N$. Пусть при их повороте вокруг точки $O$ на угол $alpha $ они отображаются в точки $M_1$ и $N_1$, соответственно (рис. 4).
Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2
Так как, по определению 2, $_1=OM, _1=ON$ и $overrightarrow<_1>=overrightarrow$, а ,$angle MON=angle M_1ON_1$, то
Следовательно, $MN=M_1N_1$. То есть поворот сохраняет расстояние между точками. Следовательно, поворот является движением.
Теорема доказана.
Примеры задач на параллельный перенос и поворот
Построить треугольник $A_1B_1C_1$,образованный поворотом вокруг точки $B$ на угол $^0$ равнобедренного прямоугольного (с прямым углом $B)$ треугольника $ABC$.
Решение.
Очевидно, что точка $B$ перейдет сама в себя, то есть $B_1=B$. Так как поворот производится на угол, равный $^0$, а треугольник $ABC$ равнобедренный, то прямая $BA_1$ проходит через точку $L$ — середины стороны $AC$. По определению, отрезок $BA_1=BA$. Построим его (Рис. 5).
Построим теперь вершину $C_1$ по определению 2:
[angle CBC_1=^0, BC=BC_1]
Соединим все вершины треугольника $A_1B_1C_1$ (Рис. 6).
Решение закончено.
Построить параллельный перенос треугольника $ABC$ на вектор $overrightarrow$.
Решение.
Перенесем каждую вершину треугольника на вектор $overrightarrow$. Получаем треугольник $CA_1C_1$ (рис. 7).
Решение закончено.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 15 04 2021