Отношение высот в равнобедренном треугольнике

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты равнобедренного треугольника, а также разберем примеры решения задач по данной теме.

Примечание: треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны (боковые). Третья сторона называется основанием.

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

Свойства высоты в равнобедренном треугольнике

Свойство 1

В равнобедренном треугольнике две высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.

Обратная формулировка: Если в треугольнике две высоты равны, значит он является равнобедренным.

Свойство 2

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, одновременно является и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром.

• BD – высота, проведенная к основанию AC;
• BD – медиана, следовательно, AD = DC;
• BD – биссектриса, следовательно, угол α равен углу β.
• BD – серединный перпендикуляр к стороне AC.

Свойство 3

Если известны стороны/углы равнобедренного треугольника, то:

1. Длина высоты h_a, опущенной на основание a, вычисляется по формуле:

2. Длина высоты h_b, проведенной к боковой стороне b, равняется:

p – это полупериметр треугольника, рассчитывается таким образом:

3. Высоту к боковой стороне можно найти через синус угла и длину стороны треугольника:

Примечание: к равнобедренному треугольнику, также, применимы общие свойства высоты, представленные в нашей публикации – “Высота в треугольнике abc: определение, виды, свойства”.

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Пример задачи

Задача 1
Дан равнобедренный треугольник, основание которого равно 15 см, а боковая сторона – 12 см. Найдите длину высоты, опущенной к основанию.

Решение
Воспользуемся первой формулой, представленной в Свойстве 3:

Задача 2
Найдите высоту, проведенную к боковой стороне равнобедренного треугольника длиной 13 см. Основание фигуры равняется 10 см.

Решение
Для начала вычислим полупериметр треугольника:

Теперь применим соответствующую формулу для нахождения высоты (представлена в Свойстве 3):

Видео:№255. В равнобедренном треугольнике CDE с основанием СЕ проведена высота CF.Скачать

Свойства высот треугольника

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

свойства высоты в треугольнике

Свойство 1

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке — ортоцентре треугольника.

Свойство 2

Если AD, BE, CF — высоты треугольника ABC, O — точка пересечения этих высот или их продолжений, то:

Свойство 3

Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, подобных между собой и подобных исходному треугольнику:

Высота на сторону c вычисляется по формулам:

Видео:№261. Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные из вершин основания, равны.Скачать

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Давайте посмотрим на такой треугольник:

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Видео:Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

🎦 Видео

№263. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольникаСкачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Свойства равнобедренного треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать

8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать

ВЫСОТА через СИНУС / равнобедренный треугольник / #планиметрия #27327Скачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

✓ Свойства и признаки равнобедренного треугольника | Ботай со мной #008 | Борис ТрушинСкачать

№259. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведеннаяСкачать