Отношение площадей вписанной и описанной окружности правильного треугольника

Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника

Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.

Отношение площадей вписанной и описанной окружности правильного треугольника

Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Пусть сторона правильного треугольника равна .

Высота правильного треугольника:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: .
Радиус описанной окружности в два раза больше: .
Площадь правильного треугольника: .

Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части — докажите их самостоятельно.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности .

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна .

Отношение площадей вписанной и описанной окружности правильного треугольника

Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен высоты.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Отношение площадей вписанной и описанной окружности правильного треугольника

Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен .

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Окружность, описанная около правильного треугольника

Окружность, описанная около правильного треугольника, обладает всеми свойствами описанной около произвольного треугольника окружности и, кроме того, имеет свои собственные свойства.

1) Центр описанной около треугольника окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Поскольку в равностороннем треугольнике медианы, высоты и биссектрисы совпадают, центр описанной около правильного треугольника окружности лежит в точке пересечения его медиан, высот и биссектрис.

Отношение площадей вписанной и описанной окружности правильного треугольникаНапример, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a

точка O — центр описанной окружности.

AK, BF и CD — медианы, высоты и биссектрисы треугольника ABC.

Отношение площадей вписанной и описанной окружности правильного треугольника

Отношение площадей вписанной и описанной окружности правильного треугольника

2) Расстояние от центра описанной окружности до вершин треугольника равно радиусу. Так как центр описанной около равностороннего треугольника окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус описанной окружности составляет две трети от длины медианы:

Отношение площадей вписанной и описанной окружности правильного треугольника

Отношение площадей вписанной и описанной окружности правильного треугольника

Таким образом, формула радиуса описанной около правильного треугольника окружности

Отношение площадей вписанной и описанной окружности правильного треугольника

И обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Отношение площадей вписанной и описанной окружности правильного треугольника

3) Формула для нахождения площади правильного треугольника по его стороне —

Отношение площадей вписанной и описанной окружности правильного треугольника

Отсюда можем найти площадь через радиус описанной окружности:

Отношение площадей вписанной и описанной окружности правильного треугольника

Таким образом, формула площади площади правильного треугольника через радиус описанной окружности

Отношение площадей вписанной и описанной окружности правильного треугольника

4) Центр описанной около правильного треугольника окружности совпадает с центром вписанной в него окружности.

5) Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

№ 57. Найдите отношение площади круга, вписанного в правильный треугольник, к площади круга, описанного около него.

Отношение площадей вписанной и описанной окружности правильного треугольника

Отношение площадей вписанной и описанной окружности правильного треугольника

Отношение площадей вписанной и описанной окружности правильного треугольника Решебник по геометрии за 9 класс (А.В.Погорелов, 2001 год),
задача №57
к главе «§14. Площади фигур».

Выделите её мышкой и нажмите CTRL + ENTER

Большое спасибо всем, кто помогает делать сайт лучше! =)

Нажмите на значок глаза возле рекламного блока, и блоки станут менее заметны. Работает до перезагрузки страницы.

🔍 Видео

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольников

КАК НАЙТИ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО ПРАВИЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА? Примеры | ГЕОМЕТРИЯ 9 классСкачать

КАК НАЙТИ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО ПРАВИЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА? Примеры | ГЕОМЕТРИЯ 9 класс

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Отношение площадей треугольниковСкачать

Отношение площадей треугольников

Задание 24 Отношение площадей 3 способа решенияСкачать

Задание 24 Отношение площадей 3 способа решения

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Геометрия Найдите отношение площадей правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольникаСкачать

Геометрия Найдите отношение площадей правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника

Найдите отношение площадейСкачать

Найдите отношение площадей

Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

Запомни: все формулы для площади треугольника

Геометрия 8 класс : Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Геометрия 8 класс : Отношение площадей подобных треугольников

60. Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

60. Отношение площадей подобных треугольников

Геометрия 9 класс (Урок№22 - Формулы площади правильного многоугольника,стороны и радиуса впис.окр.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№22 - Формулы площади правильного многоугольника,стороны и радиуса впис.окр.)
Поделиться или сохранить к себе: