В элементарной математике, самыми трудными считаются геометрические задачи. Как научиться решать геометрические задачи, особенно сложные, конкурсные? При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, и выбирать наиболее подходящую к данному случаю теорему не просто. Поэтому, желательно в каждой теме выработать какие-то общие положения, которые полезно знать всякому решающему геометрические задачи. Предлагаем один из алгоритмов решения многих геометрических задач – метод площадей, т.е. решение задач с использованием свойств площадей.
Основные свойства площадей.
Свойство №1
Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не измениться.
Доказательство: Рассмотрим ▲ ABC и ▲ ADC. Они имеют общее основание и равные высоты, так как прямые AC и BD параллельные, то расстояние между ними равно h — высоте ▲ ABC и ▲ ADC . Если площадь треугольника находится по формуле $$S = frac cdot a cdot h$$, то $$S_ = S_ = frac cdot AC cdot h$$.
Свойство №2
Доказательство: Пусть h1 = h2 в двух треугольниках с основаниями a и b. Рассмотрим отношение площадей этих треугольников $$frac<S_><S_>= frac<frac cdot a cdot h_><frac cdot b cdot h_>$$. Упростив, получим $$frac<S_><S_>= frac$$.
Свойство №3
Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих этот угол.
Доказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲MBN с общим углом B , где AB = a, BC = b, MB = a1и NB = b1. Пусть S1 = SMBN и S2 = SABC . Используя формулу площади треугольника вида $$S = frac cdot a cdot b cdot singamma$$, рассмотрим отношение площадей ▲ABC и ▲MBN .
Свойство №4
Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия.
Доказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲MBN . Пусть AB = k MB, BC = k NB и $$angle ABC = angle MBN$$. Используя формулу площади треугольника вида $$S = frac cdot a cdot b cdot singamma$$ , рассмотрим отношение подобных площадей ▲ABC и ▲MBN . Тогда $$frac<S_><S_> = frac<frac cdot AB cdot BC cdot sin B><frac cdot MB cdot NB cdot sin B>= frac = k^$$ .
Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.
Доказательство: Рассмотрим ▲ABC . Пусть медиана BM , тогда $$AM = MC = fracAC$$. Медиана делит треугольник на два с одинаковой высотой. Найдем площади треугольников ▲ABM и ▲MBC по формуле $$S = fraccdot a cdot h$$. Получим $$S_ = fraccdot AM cdot h$$ и $$S_ = fraccdot MC cdot h$$. Значит $$S_ = S_$$.
Свойство №6
Медианы треугольника делят его на три равновеликие части.
Доказательство: Рассмотрим ▲ABC . Проведем медианы из всех вершин, которые пересекаются в точке O. Получим треугольники ▲AOB , ▲BOC , ▲AOC . Пусть их площади равны соответственно S1, S2, S3. А площадь ▲ABC равна S. Рассмотрим ▲ABK и ▲CBK , они равной площади, т.к. BK медиана. В треугольнике ▲AOC OK — медиана, значит площади треугольников ▲AOK и ▲COK равны. Отсюда следует, что S1 = S2 . Аналогично можно доказать, что S2 = S3 и S3 = S1 .
Средние линии треугольника площади S отсекают от него треугольники площади .
Доказательство: Рассмотрим ▲ABC . NM — средняя линия в треугольнике и она равна половине основания AC. Если SABC = S , то $$S_ = frac cdot NM cdot h_= frac(frac cdot AC)(fraccdot h) = fraccdot S$$. Аналогично можно доказать, что площади всех треугольников равны одной четвертой части площади ▲ABC .
Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.
Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать
Отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту (основание)
Разделы: Математика
Цели урока:
Сформировать умение использовать формулу площади треугольника при решении задач;
Рассмотреть ключевые задачи об отношении площадей треугольников, имеющих общую высоту (основание). Познакомить учащихся с методами решения задач по теме.
Оборудование урока:
Компьютер.
Мультимедийный проектор.
Экран.
Раздаточный материал.
карточки с вопросами для опроса по домашнему заданию;
презентация к уроку (Приложение 1);
карточки для выполнения самостоятельной работы.
Этапы урока
Организационный момент.
Проверка домашнего задания (усвоение материала предыдущего урока)
Закрепление ранее изученного материала
Самостоятельная работа обучающего характера
Постановка домашнего задания.
Подведение итогов урока.
Ход урока
1. Организационный момент
Сообщаем тему урока. Поясняем важность рассматриваемого на уроке материала, говорим о том, что сведения последних уроков по площадям имеют широкое применение, сегодня на уроке используем их при решении задач.
Для эффективности работы в начале проверим домашнее задание и повторим изученный теоретический материал.
2. Проверка домашнего задания
Опрос учащихся у доски:
доказательство теоремы о площади ?.
доказательство следствий из неё
решение номеров домашнего задания.
В это время с классом работаем устно, по слайдам заранее подготовленной презентации.
3) Если AM=MC, то сравните площади этих треугольников.
Записать вывод в тетрадь:
Медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника, и площадь каждого из которых равна половине площади данного треугольника.
ВМ – медиана АВC
ВК – медиана АВМ
Найдите отношение площадей
5) Известно, что SABС=20см 2 (по условию предыдущего задания)
Чему равно отношение площадей двух треугольников, имеющих общее основание?
Записываем вывод в тетради:
Площади треугольников, имеющих общее основание, относятся как высоты, проведенные к основанию.
Далее заслушиваем и обсуждаем теоретические ответы учащихся по ДЗ.
3. Закрепление ранее изученного материала.
1. Выполняем задание №40 стр. 18-19 рабочей тетради по геометрии для 8 кл.
На рисунке точка М делит сторону АС АВС в отношении АМ : МС = 2 : 3
Площадь АВС равна 180 см 2 . Найдите площадь треугольника АВМ.
2. Решаем задачу №475 учебника.
Начертите АВС. Через вершину А проведите две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на три треугольника, имеющие равные площади.
Обсуждаем решение, используя слайды презентации
4. н/о (если позволяет время)
Данный параллелограмм разделите на три равновеликие части прямыми, выходящими из одной вершины.
Аналогично, ВВ2 делит DВС на треугольники, имеющие одну высоту, их площади относятся как основания DB2 : B2C = 1 : 2 => Алгоритм построения: разделить каждую из сторон AD и DC параллелограмма в отношении 2 :1, считая от вершин А и С.
4. Самостоятельная работа обучающего характера
Вариант -1
1) СК – медиана АВС
SСКВ = 32 см 2 . Найти SABС
2) SКDM = 40 см 2
На стороне КМ отмечена точка А так, что КА : АМ = 2 :3
Вариант — 2
1) АМ – медиана АВС, площадь которого 48 см 2
Найти площадь АМС
2) SDРК = 60 см 2
На стороне DК отмечена точка А так, что DА : АK = 3 :1
5. Постановка домашнего задания
Д.З. по учебнику стр. 124-125 № 473; 506; 511(а)
6. Подведение итогов урока
Литература
1. Геометрия 7-9. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др./ “ Просвещение”, ОАО “Московский учебник”,М., 2008;
2. Рабочая тетрадь для 8 кл. об/об учреждений. Геометрия. / Атанасян Л.С. и др. / “Просвещение”, М, 2005;
2. Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. / Геометрия: Задачник к школьному курсу М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр-S, 1998.
Видео:Отношение площадей треугольников с равным угломСкачать
Основные свойства площадей треугольников
Факт 1. (bullet) Средние линии треугольника разбивают его на 4 равных треугольника. Соответственно, площади этих треугольников равны.
Факт 2. (bullet) Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади (равновеликих).
Факт 3. (bullet) Все 3 медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников.
Факт 4. (bullet) Площади треугольников, имеющих одинаковый угол, относятся как произведения сторон, образующих этот угол.
Факт 5. (bullet) Площади треугольников, имеющих одинаковое основание, относятся как высоты, проведенные к этим основаниям.
Факт 6. (bullet) Площади треугольников, имеющих одинаковую высоту, относятся как основания, к которым проведена эта высота.
Факт 7. (bullet) Если прямые (p) и (q) параллельны, то
Факт 8. (bullet) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. (bullet) Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
АВC
