Отношение биссектрис равнобедренного треугольника

Биссектриса в равнобедренном треугольнике — свойства, теоремы и формулы

Отношение биссектрис равнобедренного треугольника

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Общие сведения

Геометрическая фигура является треугольником, если она состоит из трех точек, лежащих в одной плоскости и не лежащих на одной прямой. Она изучается в пятом классе. В геометрии принято сокращенное обозначение при помощи символа Δ, после которого следует писать произвольные три литеры (вершины) в алфавитном порядке. Например, ТUV.

Вершина — точка, из которой исходят два отрезка и образуют две стороны. Отрезок является элементом луча. Обозначается он двумя заглавными литерами (ТU, UV и т. д. ). Луч — часть прямой, имеющая только начало. Он необходим для построения отрезков, из которых состоят все фигуры геометрии.

Отношение биссектрис равнобедренного треугольника

Прямая — линия, проходящая в бесконечном пространстве. У нее не существует начала и конца. Математики обозначают ее произвольной маленькой латинской буквой (например, m). Кроме того, у равнобедренного Δ существуют и дополнительные параметры — биссектриса, медиана и высота. Первая делит любой угол (сокращенное обозначение — ∠) при вершине, из которой она исходит, на два ∠ с эквивалентной градусной мерой, т. е. пополам.

Медиана соединяет вершину и середину противоположной стороны, а высота — простой перпендикуляр. Он начинается в вершине и находится внутри треугольника, опускаясь на противолежащую сторону.

Равнобедренный Δ — фигура, имеющая две равные боковые стороны. Следует отметить, что любая биссектриса равнобедренного треугольника является медианой. Это правило выполняется, когда она проведена к основанию фигуры. Существует еще один вид Δ. Он называется правильным или равносторонним. Для него справедливо такое утверждение, сформулированное учеными-математиками: любая высота является медианой и биссектрисой. Для решения задач по геометрии рекомендуется знать теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника и ее свойства.

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Теоремы о биссектрисах

Теорема о биссектрисах треугольника звучит таким образом: точка пересечения биссектрис — инцентр ΔTUV. Доказывается теорема по такому алгоритму:

Отношение биссектрис равнобедренного треугольника

  1. Из вершин T и U нужно провести биссектрисы TT’ и UU’ на противоположные стороны UV и TV соответственно.
  2. На чертеже видно, что они пересекаются в некоторой точке. Последнюю следует обозначить Z.
  3. Если предположить, что TT’ и UU’ не пересекаются, а параллельны (||), то секущей является сторона TU. В этом случае должно выполняться тождество: ∠(Т/2)+∠(U/2)=180.
  4. Однако утверждение в третьем пункте противоречит сумме градусных мер ∠ треугольника, поскольку ∠Т+∠U+∠V=180. Из выражения, полученного на третьем шаге алгоритма, следует, что ∠Т+∠U=360.
  5. На основании рассуждений можно сделать вывод, что Z — точка пересечения биссектрис.
  6. Таким же образом доказывается случай для вершины V и биссектрисы VV’.
  7. Точка Z — центр описанной окружности. Чтобы это доказать, нужно просто провести круг. На рисунке все вершины ΔTUV будут лежать на нем. Теорема полностью доказана.

Кроме того, существует еще одно утверждение, имеющее такой вид: любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой и медианой.

Доказать его можно посредством такой методики:

  1. Начертить равнобедренный ΔTUV. У него стороны TU=UV, а TV — основание.
  2. Провести высоту UU’ на основание.
  3. Рассмотреть два прямоугольный Δ: TUU’ и UVU’. Они равны между собой, поскольку UU’ — общая, TU=UV и углы (∠Т=∠V) при основании — по определению равнобедренного Δ, а ∠ТU’U=∠UU’V — по построению.
  4. На основании третьего пункта можно сделать вывод о равенстве сторон TU’ и VU’, а также ∠U’UТ=∠VU’U. Следовательно, в первом случае UU’ — медиана, а во втором — биссектриса.
  5. На основании четвертого утверждения теорема доказана.

Кроме того, существуют определенные свойства, которые могут быть полезными при решении задач. Их получают из теорем и других тождеств, доказываемые математиками.

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Полезные свойства

Математики вывели пять полезных свойств для биссектрисы в равнобедренном Δ.

К ним относятся следующие:

Отношение биссектрис равнобедренного треугольника

  1. Свойство биссектрисы, проведенной к основанию равнобедренного треугольника: она есть медиана и высота.
  2. При проведении из вершин, образующих основание, углы, образованные ими, эквивалентны между собой.
  3. Если провести биссектрису TT’ из вершины при основании, то будет выполняться следующее тождество: TU/TV=UT’/T’V (отношение стороны к основанию эквивалентно частному из двух отрезков, полученных при построении).
  4. Длина биссектрисы, проведенной к основанию, эквивалентна корню второй степени из квадрата боковой стороны без четвертой части квадрата основания: UU’=[m 2 — (¼)*n 2 ](^½), где m и n — длина боковой стороны и основания.
  5. Через точку пересечения проходит круг, касающийся вершин основания.

Следует отметить, что в равностороннем треугольнике каждая биссектриса будет отсекать равные углы из каждой вершины.

В нем можно провести их всего три, а в равнобедренном — 2 высоты, 2 медианы, 2 биссектрисы, а также одну к основанию.

Видео:Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольникаСкачать

Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольника

Пример решения

Чтобы усвоить материал, необходимо решить задачу по геометрии. Ее условие имеет такой вид:

  1. Периметр равнобедренного Δ равен 40 см.
  2. Основание больше боковой стороны на 10 см.

Необходимо найти значение высоты. Решать нужно по такому алгоритму:

  1. Составить уравнение: 40=2*t+(t+10), где t — боковая сторона, а (t+10) — основание.
  2. Раскрыть скобки: 40=2*t+t+10.
  3. Привести подобные коэффициенты:3t=30.
  4. Найти неизвестную: t=10 (см).
  5. Вычислить основание: 10+10=20 (см).
  6. Определить высоту: h= [100+((¼)*20)^2]^(½)=5[5]^(½) (см).

Следовательно, высота равнобедренного Δ со сторонами 10 и 20 см эквивалентна 5[5]^(½) см. Существуют и более сложные задачи, в которых требуется составлять уравнения. Например, условие одной из них имеет такой вид:

Отношение биссектрис равнобедренного треугольника

  1. Высота, опущенная из вершины на основание (ТТ’), равна 20 см.
  2. Основание больше стороны на 5 см.

Необходимо найти периметр треугольника. Для решения задачи необходимо составить определенный алгоритм:

  1. Обозначить стороны: основание — n, сторона — m и высота — h.
  2. Периметр P: Р=2m+n.
  3. Записать формулу, руководствуясь первым и четвертым свойствами биссектрисы: h=[m 2 -(¼)*n 2 ]^(½).
  4. Записать связь сторон, обозначив боковую сторону переменной t: t=t+5.
  5. Подставить в соотношение во втором пункте: 20=[t 2 -(¼)*(t+5)^2]^(½).
  6. Возвести обе части в квадрат: 400=t 2 -(¼)*(t+5)^2.
  7. Раскрыть скобки: 400=t 2 -(¼)*(t 2 +10+25)=t 2 -(¼)t 2 −10/4−25/4=(¾)t 2 -(10/4)-25/4=(¼)*(3t 2 -10−25).
  8. Решить квадратное уравнение, сократив на ¼ обе части: (3t 2 -10t-25)=200.
  9. Первый корень равен -7, а второй — +25. Второе значение подходит, поскольку является положительным числом.
  10. Основание вычисляется таким образом: n=25+5=30 (см).
  11. Если подставить полученное значение для проверки в соотношение h=[t 2 -(¼)*(t+5)^2]^(½), то получится такое выражение: 20=[25 2 -(¼)*30 2 ]^(½)=[625−900/4]^(½)=[625−225]^(½)=20. Значение найдено верно.
  12. Периметр находится по формуле: P=25*2+30=80 (см).

Задача решена в полном объеме. Из методики решения видно, что сначала нужно записать основную формулу, а затем найти неизвестные в ней величины по другим вспомогательным тождествам.

Таким образом, при решении задач по геометрии необходимо знать основные определения, формулы, свойства и теоремы, которые также могут быть полезны.

Видео:Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.

Свойства биссектрисы равнобедренного треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства биссектрисы равнобедренного треугольника (внутренней и внешней), а также разберем пример решения задачи по данной теме.

Примечание: напомним, что равнобедренным называется треугольник, в котором две стороны равны (боковые), а третья является основание фигуры.

Видео:Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Свойства биссектрисы равнобедренного треугольника

Свойство 1

В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, равны между собой.

Отношение биссектрис равнобедренного треугольника

  • AB = BC, т.к. являются боковыми сторонами равнобедренного △ABC;
  • AF = CG, т.к. это биссектрисы, проведенные к боковым сторонам треугольника (или биссектрисы углов BAC и ACB, которые также равны между собой).

Обратная формулировка: если две из трех биссектрис в треугольнике равны, значит он является равнобедренным.

Свойство 2

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, одновременно является и медианой и высотой.

Отношение биссектрис равнобедренного треугольника

  • BH – биссектриса угла ABC, проведенная к основанию AC;
  • BH – медиана, значит она делит AC пополам, т.е. AH = HC;
  • BH – высота, следовательно, она перпендикулярна AC.

Свойство 3

Если известны стороны равнобедренного треугольника, то длину биссектрисы, проведенную к основанию, можно посчитать по формуле:

Отношение биссектрис равнобедренного треугольника

Примечание: данная формула следует из теоремы Пифагора ( l и a – катеты прямоугольного треугольника, b – его гипотенуза).

Свойство 4

Внешняя биссектриса угла равнобедренного треугольника, расположенного напротив его основания, параллельна этому основанию.

Отношение биссектрис равнобедренного треугольника

  • BD – внешняя биссектриса ∠ABC треугольника;
  • BD параллельна основанию AC.

Примечание: к равнобедренному треугольнику применимы и другие свойства биссектрисы, приведенные в нашей публикации – “Определение и свойства биссектрисы угла треугольника”.

Видео:Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Пример задачи

Биссектриса равнобедренного треугольника с боковой стороной 25 см равняется 20 см. Найдите периметр фигуры.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в Свойстве 3, чтобы найти длину основания.
a 2 = b 2 – l 2 = 25 2 – 20 2 = 225 .

Извлекаем квадратный корень из найденного значения и получаем 15 см.
Следовательно, основание треугольника равно 30 см (15 см ⋅ 2).

Периметр фигуры равен сумме всех ее сторон, т.е.: 25 см + 25 см + 30 см = 80 см.

Видео:Свойство биссектрисы равнобедренного треугольникаСкачать

Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника

Элементы треугольника. Биссектриса

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной треугольника и противолежащей ей стороной.

Отношение биссектрис равнобедренного треугольника

Видео:ТОП-5 ОШИБОК в математике | Математика | TutorOnlineСкачать

ТОП-5 ОШИБОК в математике | Математика | TutorOnline

Свойства биссектрисы

1. Биссектриса треугольника делит угол пополам.

2. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон (Отношение биссектрис равнобедренного треугольника)

3. Точки биссектрисы угла треугольника равноудалены от сторон этого угла.

4. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности.

Видео:Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Некоторые формулы, связанные с биссектрисой треугольника

Отношение биссектрис равнобедренного треугольника(доказательство формулы – здесь)
Отношение биссектрис равнобедренного треугольника, где
Отношение биссектрис равнобедренного треугольника— длина биссектрисы, проведённой к стороне Отношение биссектрис равнобедренного треугольника,
Отношение биссектрис равнобедренного треугольника— стороны треугольника против вершин Отношение биссектрис равнобедренного треугольникасоответственно,
Отношение биссектрис равнобедренного треугольника— длины отрезков, на которые биссектриса Отношение биссектрис равнобедренного треугольникаделит сторону Отношение биссектрис равнобедренного треугольника,

Приглашаю посмотреть видеоурок, в котором демонстрируется применение всех указанных выше свойств биссектрисы.

Задачи, рассматриваемые в видеоролике:
1.В треугольнике АВС со сторонами АВ=2 см, ВС=3 см, АС=3 см проведена биссектриса ВМ. Найти длины отрезков АМ и МС
2. Биссектриса внутреннего угла при вершине А и биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите угол BMC, если угол В равен 40, угол С – 80 градусов
3. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, считая стороны квадратных клеток равными 1

Отношение биссектрис равнобедренного треугольника

Возможно, вам будет интересен и этот небольшой видеоурок, где применяется одно из свойств биссектрисы

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

📸 Видео

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)

Биссектриса равнобедренного треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Биссектриса равнобедренного треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

№420. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольникаСкачать

№420. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника

Биссектриса равнобедренного треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Биссектриса равнобедренного треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т6. Второе свойство равнобедренного треугольника.Скачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т6. Второе свойство равнобедренного треугольника.

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Свойства биссектрисы и свойство углов при основании равнобедренного треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать

Свойства биссектрисы и свойство углов при основании равнобедренного треугольника. Геометрия 7 класс.

Любая биссектриса равнобедренного треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Любая биссектриса равнобедренного треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать

Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16
Поделиться или сохранить к себе: