A множество всех треугольников

A множество всех треугольников

7, то x ∈ A, а если x не делится на 7, то, конечно, x не делится на 14 и поэтому x ∈ B. Итак, Vx ∈ Z обязательно выполнено хотя бы одно из включений x ∈ A, x ∈ B. Поэтому A U B = Z — множество всех целых чисел. Далее, чтобы найти пересечение A ∩ B, рассмотрим числа, которые одновременно и делятся на 7, и не делятся на 14. Это следующие числа: ±7, ±21, ±35. Поэтому

Пусть T — множество всех треугольников на плоскости. Рассмотрим его подмножества: Ti = , T2 = , T3 = . Найти множества Ti ∩ T2, Ti U T2, Ti ∩ T3, T2 Ti, T3 T2, T2 ∩ T3.

Решение. Найдём Ti∩T2. Так как любой равносторонний треугольник является также и равнобедренным, то T2 ⊆ Ti, и поэтому Ti ∩ T2 = T2. По этой же причине Ti U T2 = Ti. Пересечение Ti ∩ T3 состоит из прямоугольных равнобедренных треугольников (с углами 90°, 45°, 45°). Разность T2 Ti = ∅, так как T2 С Ti. Разность T3 T2 состоит из прямоугольных треугольников, которые не являются равносторонними. Однако все прямоугольные треугольники не являются равносторонними. Поэтому T3 T2 = T3 и T2 ∩ T3 = ∅.

С помощью диаграмм Эйлера-Венна проверить, что для любых множеств A, B справедливы соотношения (законы де Моргана): A ∩ B = A U B, A U B = A ∩ B.

Решение. Рассмотрим только первое равенство. Построим диаграмму Эйлера-Венна, изобразив множества A, B кругами. Считаем, что A, B есть подмножества некоторого универсального множества U, изображаемого прямоугольником.

Отметим штриховкой на диаграмме множество A ∩ B — дополнение к пересечению A и B:

Видео:Математика для всех. Алексей Савватеев. Лекция 3.7. Множество всех подмножеств. Теорема КантораСкачать

Математика для всех. Алексей Савватеев. Лекция 3.7. Множество всех подмножеств. Теорема Кантора

Треугольники, множества и алгебра

A множество всех треугольников

Иногда кажется, что некоторые математические темы изучены вдоль и поперек, например, треугольники. Ну что в этих треугольниках может быть нового и интересного? Тем не менее, даже такие, казалось бы, тривиальные объекты могут предстать под неожиданным углом. Давайте возьмем какую-нибудь простенькую задачку и попробуем ее решить. Постараемся найти треугольник с целочисленными сторонами, медианами и площадью. Мало ли, вдруг у нас получится.

Как перечислить все треугольники?

Даже несмотря на то, что некоторые множества содержат бесконечное количество элементов, они являются перечислимыми. Например, множество четных чисел может быть перечислено с помощью очень простого алгоритма — для любого n выдаем 2n и все. Во многом такая простота перечислимости некоторых множеств обусловлена тем, что элементы как-то упорядочены. Фактически, перечислить — значит пронумеровать, например, 2 — это первое четное число, 6 — третье. Но можем ли мы проделать то же самое с треугольниками? Если задавать треугольники с помощью кортежей вида a,b,c, то можем ли мы сказать, что треугольник 1,1,1 является первым, а треугольник 3,2,2 — четвертым или восьмым или еще каким-нибудь номером? Оказывается, можем.

Первое, что нужно придумать — это то как упорядочить множество треугольников. Первое, что приходит в голову — взять треугольник с какой-нибудь одной фиксированной стороной и выписать другие треугольники, стороны которого не меньше заданной. Например, так:

Как видим, первая сторона неизменна, а третья не превосходит суммы двух первых, на графике это будет выглядеть так:

A множество всех треугольников

Перед нами две ступенчатые функции, а значит мы можем задать стороны всех таких треугольников следующим образом:

A множество всех треугольников

Если заменить тройку на A множество всех треугольникова A множество всех треугольниковна A множество всех треугольников, то получим следующее:

A множество всех треугольников

Теперь любой треугольник можно изображать в виде точки на координатной плоскости, преобразуя стороны треугольников в координаты по двум простым формулам:

A множество всех треугольников

Чтобы перейти от координат к номерам достаточно воспользоваться канторовской нумерацией:

A множество всех треугольников

Или, если вместо координат использовать стороны треугольника:

A множество всех треугольников

Не знаю как вы, а я очень удивился, когда понял, что у каждого треугольника с целыми сторонами может быть свой номер. Есть что-то необычное в том, что подмножества треугольников, например, равнобедренные, могут выглядеть вот так:

A множество всех треугольников

Причем тут алгебра?

Очень похоже, что номера равнобедренных треугольников представляют собой множество парабол, нарисованных на одном графике. Так и есть, каждая из них может быть задана уравнением вида:

A множество всех треугольников

То же самое можно сказать и про многие другие подмножества треугольников. Например, вот так будут выглядеть треугольники с целыми, четными сторонами и одной целой медианой, проведенной к стороне A множество всех треугольников:

A множество всех треугольников

На графике с координатами расположено множество кубических функций вида:

A множество всех треугольников

Не знаю, можно ли задать функции A множество всех треугольниковдля всех кубических функций, но некоторые из них могут быть заданы, например, так:

A множество всех треугольников

Можно взять какую-то отдельную из них, например при j=0 и получить следующие формулы для координат треугольников:

A множество всех треугольников

Используя данные координаты можем задать функции для сторон и медианы:

A множество всех треугольников

Мы можем попробовать провернуть то же самое для треугольников, у которых две целые медианы:

A множество всех треугольников

Хоть этого и не видно на графике, но координаты треугольников с двумя целыми медианами задаются кубическими, квадратичными и линейными функциями. К сожалению, не могу привести все выкладки куда−то потерялись записи.

Если мы нарисуем график для треугольников с тремя целыми медианами, то получим следующее:

A множество всех треугольников

Таких треугольников очень мало, они очень сильно разрежены, но любопытно, что если найти хотя бы один такой треугольник, то все последующие могут быть заданы как:

A множество всех треугольников

Например, если взять треугольник 136, 170, 172 и умножить его стороны на 5, то мы снова получим треугольник с целыми сторонами и медианами.

Почему это все бесполезно?

Сначала кажется, что нумерация треугольников это шажок в сторону создания системы диофантовых уравнений, которые определяли бы стороны треугольников с целыми сторонами и медианами. Затем эти уравнения можно было бы подставить в формулу Герона и потом попытаться доказать возможность получения или неполучения треугольников с целой площадью. Но, к сожалению, нумерация треугольников абсолютно бесполезна в этом направлении. Все дело в том, что сама задача поиска треугольников с целыми сторонами и медианами связана с простыми числами. Сначала это кажется не совсем очевидным, но если следующее тождество является верным

A множество всех треугольников

то медиана не может быть целым числом. А это значит, что сама задача поиска треугольников с целыми сторонами и медианами наверняка может быть переведена на язык теории чисел, правда не знаю как.

В заключение

Сама идея того, что можно навести какой-никакой порядок в неупорядоченных множествах, очень любопытна. Например, можно попытаться каким-нибудь образом упорядочить матрицы из натуральных чисел, или графы определенного типа. Можно ли извлечь какую-то пользу от такого упорядочивания, это уже другой вопрос.

Видео:Виды треугольниковСкачать

Виды треугольников

A множество всех треугольников

Вопрос по математике:

Найти пересечение множества всех треугольников с множеством правильных многоугольников .

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Это множество всех равносторонних треугольников

Пусть A- это множество всех правильных многоугольников, а B- множество всех треугольников.
A ∩ B = Z , где Z- множество правильных треугольников

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

  • Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
  • Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
  • Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

  • Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
  • Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
  • Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
  • Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Математика.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.

🔥 Видео

Множество. Элементы множества. 5 класс.Скачать

Множество. Элементы множества. 5 класс.

#237. Великое фрактальное подобие (feat. @vectozavr )Скачать

#237. Великое фрактальное подобие (feat. @vectozavr )

ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минутСкачать

ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минут

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | МатематикаСкачать

Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | Математика

9 класс, 2 урок, Множества и операции над нимиСкачать

9 класс, 2 урок, Множества и операции над ними

Изучаем математику с нуля / Урок № 18 / Подмножества и надмножестваСкачать

Изучаем математику с нуля / Урок № 18 / Подмножества  и надмножества

Основы школьного курса математики. Занятие 2. Тутубалина А. А.Скачать

Основы школьного курса математики. Занятие 2. Тутубалина А. А.

Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

Уравнение, которое меняет взгляд на мир [Veritasium]Скачать

Уравнение, которое меняет взгляд на мир [Veritasium]

🔥 ФОКУС с треугольником #shortsСкачать

🔥 ФОКУС с треугольником #shorts

Урок 48. Множество Элементы множества Пустое множество (6 класс)Скачать

Урок 48.  Множество  Элементы множества  Пустое множество (6 класс)

Разбиение множества на классыСкачать

Разбиение множества на классы

Подобие прямоугольных треугольников и его применениеСкачать

Подобие прямоугольных треугольников и его применение

Математика 5 класс (Урок№28 - Треугольники.)Скачать

Математика 5 класс (Урок№28 - Треугольники.)

Почему геометрия — это красиво?Скачать

Почему геометрия —  это красиво?

Математика. 3 класс. Множества. ПодмножестваСкачать

Математика. 3 класс. Множества. Подмножества

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.
Поделиться или сохранить к себе: