Основание призмы прямоугольный треугольник

Призма

Видео:№230. Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом, равным 120Скачать

№230. Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом, равным 120

Призма

Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и $n$-го количества параллелограммов.

Многоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ – называются основаниями призмы.

Параллелограммы $АА_1В_1В, ВВ_1С_1С$ и т.д.- боковыми гранями.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$P_$ — периметр основания;

$S_$ — площадь основания;

$S_$ — площадь боковой поверхности;

$S_$ — площадь полной поверхности;

$h$ — высота призмы.

В основании призмы могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

  1. $S=/$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
  2. $S=/$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
  3. Формула Герона $S=√

    $, где $р$ — это полупериметр $p=/$

  4. $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
  5. $S=/$, где $R$ — радиус описанной окружности
  6. Для прямоугольного треугольника $S=/$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.

В основании лежит четырехугольник

1. Прямоугольник

$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.

2. Ромб

$S=/$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба

$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.

3. Трапеция

$S=/$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.

Рассмотрим площади правильных многоугольников:

1. Для равностороннего треугольника $S=/$, где $а$ — длина стороны.

$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

3. Правильный шестиугольник

Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными $10$ и $24$, а её боковое ребро равно $20$.

Построим прямую призму, в основании которой лежит ромб.

Распишем формулу площади полной поверхности:

В прямой призме высота равна боковому ребру, следовательно, $h=С_1С=20$

Чтобы найти периметр основания, надо узнать сторону ромба. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, получившихся, при пересечении диагоналей и воспользуемся теоремой Пифагора.

Диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $12$.

Теперь найдем площадь основания: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Далее подставим все найденные величины в формулу полной поверхности и вычислим ее:

Цилиндр — это та же призма, в основании которой лежит круг.

Подобные призмы: при увеличении всех линейных размеров призмы в $k$ раз, её объём увеличится в $k^3$ раз.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

$MN$ — средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

  1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
  2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Прямоугольный треугольник и его свойства:

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

  1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
  2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

  1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
  4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
  5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
  6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
  7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$$30$$45$$60$
$sinα$$/$$/$$/$
$cosα$$/$$/$$/$
$tgα$$/$$1$$√3$
$ctgα$$√3$$1$$/$

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Основание призмы прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12, высота призмы равна 8. Найдите площадь ее поверхности.

Третья сторона треугольника в основании равна 13 и его площадь Основание призмы прямоугольный треугольникПлощадь боковой поверхности призмы с периметром основания P равна

Основание призмы прямоугольный треугольник

Полная площадь поверхности:

Основание призмы прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

Третья сторона треугольника в основании равна 10 и его площадь Основание призмы прямоугольный треугольникПлощадь боковой поверхности призмы с периметром основания P равна

Основание призмы прямоугольный треугольник

Полная площадь поверхности:

Основание призмы прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 7 и 24, высота призмы равна 15. Найдите площадь ее поверхности.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

Третья сторона треугольника в основании равна 10 и его площадь Основание призмы прямоугольный треугольникПлощадь боковой поверхности призмы с периметром основания P равна

Основание призмы прямоугольный треугольник

Полная площадь поверхности:

Основание призмы прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, высота призмы равна 8. Найдите площадь ее поверхности.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

Третья сторона треугольника в основании равна 10 и его площадь Основание призмы прямоугольный треугольникПлощадь боковой поверхности призмы с периметром основания P равна

Основание призмы прямоугольный треугольник

Полная площадь поверхности:

Основание призмы прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12, высота призмы равна 14. Найдите площадь ее поверхности.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

Третья сторона треугольника в основании равна 10 и его площадь Основание призмы прямоугольный треугольникПлощадь боковой поверхности призмы с периметром основания P равна

Основание призмы прямоугольный треугольник

Полная площадь поверхности:

Основание призмы прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 8. Найдите площадь ее поверхности.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

Третья сторона треугольника в основании равна 10 и его площадь Основание призмы прямоугольный треугольникПлощадь боковой поверхности призмы с периметром основания P равна

Основание призмы прямоугольный треугольник

Полная площадь поверхности:

Основание призмы прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, высота призмы равна 7. Найдите площадь ее поверхности.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

Третья сторона треугольника в основании равна 10 и его площадь Основание призмы прямоугольный треугольникПлощадь боковой поверхности призмы с периметром основания P равна

Основание призмы прямоугольный треугольник

Полная площадь поверхности:

Основание призмы прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12, высота призмы равна 13. Найдите площадь ее поверхности.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

Третья сторона треугольника в основании равна 10 и его площадь Основание призмы прямоугольный треугольникПлощадь боковой поверхности призмы с периметром основания P равна

Основание призмы прямоугольный треугольник

Полная площадь поверхности:

Основание призмы прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12, высота призмы равна 8. Найдите площадь ее поверхности.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

Третья сторона треугольника в основании равна 10 и его площадь Основание призмы прямоугольный треугольникПлощадь боковой поверхности призмы с периметром основания P равна

Основание призмы прямоугольный треугольник

Полная площадь поверхности:

Основание призмы прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12, высота призмы равна 14. Найдите площадь ее поверхности.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

Третья сторона треугольника в основании равна 10 и его площадь Основание призмы прямоугольный треугольникПлощадь боковой поверхности призмы с периметром основания P равна

Основание призмы прямоугольный треугольник

Полная площадь поверхности:

Основание призмы прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12, высота призмы равна 5. Найдите площадь ее поверхности.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

Третья сторона треугольника в основании равна 10 и его площадь Основание призмы прямоугольный треугольникПлощадь боковой поверхности призмы с периметром основания P равна

Основание призмы прямоугольный треугольник

Полная площадь поверхности:

Основание призмы прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12, высота призмы равна 15. Найдите площадь ее поверхности.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

Третья сторона треугольника в основании равна 10 и его площадь Основание призмы прямоугольный треугольникПлощадь боковой поверхности призмы с периметром основания P равна

Основание призмы прямоугольный треугольник

Полная площадь поверхности:

Основание призмы прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12, высота призмы равна 12. Найдите площадь ее поверхности.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

Третья сторона треугольника в основании равна 10 и его площадь Основание призмы прямоугольный треугольникПлощадь боковой поверхности призмы с периметром основания P равна

Основание призмы прямоугольный треугольник

Полная площадь поверхности:

Основание призмы прямоугольный треугольник

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 15 и 20, высота призмы равна 21. Найдите площадь ее поверхности.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

Третья сторона треугольника в основании равна 10 и его площадь Основание призмы прямоугольный треугольникПлощадь боковой поверхности призмы с периметром основания P равна

Видео:№233. Основанием прямой призмы АВСA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABCСкачать

№233. Основанием прямой призмы АВСA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC

Треугольная призма все формулы и примеры задач

Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.

Видео:Геометрия Основание прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12Скачать

Геометрия Основание прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12

Определение

Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.

Основание призмы прямоугольный треугольник

Видео:🔴 В основании прямой призмы лежит ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 В основании прямой призмы лежит ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Элементы треугольной призмы

Треугольники ABC и A1B1C1 являются основаниями призмы .

Четырехугольники A1B1BA, B1BCC1 и A1C1CA являются боковыми гранями призмы .

Стороны граней являются ребрами призмы (A1B1, A1C1, C1B1, AA1, CC1, BB1, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).

Основание призмы прямоугольный треугольник

Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.

Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.

Видео:№235. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с острым углом φ. ЧерезСкачать

№235. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с острым углом φ. Через

Виды треугольных призм

Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.

У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)

Прямая треугольная призма

Основание призмы прямоугольный треугольник

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.

Наклонная треугольная призма

Основание призмы прямоугольный треугольник

Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.

Видео:🔴 В основании прямой призмы лежит прямоугольный ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 В основании прямой призмы лежит прямоугольный ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Основные формулы для расчета треугольной призмы

Объем треугольной призмы

Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.

Объем призмы = площадь основания х высота

Площадь боковой поверхности призмы

Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.

Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота

Площадь полной поверхности призмы

Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.

Основание призмы прямоугольный треугольник

так как Sбок=Pосн . h, то получим:

Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Свойства призмы :

Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
Боковые ребра призмы параллельные и равны.

Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см 2 , то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см 3 . Если площадь основания в мм 2 , то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм 3 и т. д.

Видео:Геометрия Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 смСкачать

Геометрия Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см

Пример призмы

Основание призмы прямоугольный треугольник

В этом примере:
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.

Видео:№251. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС. БоковыеСкачать

№251. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС. Боковые

Задачи на расчет треугольной призмы

Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:

V = 1/2 · 6 · 8 · 5 = 120.

Задача 2.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Основание призмы прямоугольный треугольник

Решение:

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = Sосн ·h.

Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S2 = S1k 2 = S12 2 = 4S1.

Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.

🌟 Видео

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 6. Боковые ребра призмы...Скачать

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 6. Боковые ребра призмы...

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник 8 ЗАДАНИЕ ЕГЭ МАТЕМАТИКА ПРОФИСкачать

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник 8 ЗАДАНИЕ ЕГЭ МАТЕМАТИКА ПРОФИ

Геометрия Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC, угол C = 90Скачать

Геометрия Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC, угол C = 90

№244. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник ABC, у которого гипотенузаСкачать

№244. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник ABC, у которого гипотенуза

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекции

Геометрия Основание прямой призмы служит прямоугольный треугольник с острым углом 15. НаибольшаяСкачать

Геометрия Основание прямой призмы служит прямоугольный треугольник с острым углом 15. Наибольшая

Треугольная призма. Ортогональные и изометрическая проекции. Урок 10.(Часть2. ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ)Скачать

Треугольная призма. Ортогональные и изометрическая проекции. Урок 10.(Часть2. ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ)

Найдите объем треугольной призмыСкачать

Найдите объем треугольной призмы

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Г: Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 40 боковоеСкачать

Г: Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 40 боковое

Геометрия В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребраСкачать

Геометрия В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра
Поделиться или сохранить к себе: