Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Момент инерции сечения

Меня часто спрашивают: «…а что такое моменты инерции в сопротивлении материалов и зачем они вообще?» Об этом в сегодняшней теме

Содержание
  1. Моменты инерции сечения из простых фигур
  2. Вывод моментов инерции для простых фигур
  3. Моменты инерции для прямоугольника
  4. #Сопромат, Моменты инерции. Прямоугольник. Вывод моментов инерции для прямоугольника.
  5. Моменты инерции для треугольника
  6. Сопротивление материалов, Моменты инерции для треугольника. Сопромат вывод моментов инерции
  7. Момент инерции круга. Моменты инерции простых фигур. #сопромат
  8. Моменты инерции. Оси центральные и главные. Что это и где. #сопромат
  9. Примеры расчетов моментов инерции для сечений
  10. Пример расчета моментов инерции относительно главных центральных осей для простейших фигур
  11. Пример расчета моментов инерции для сечения состоящего из прямоугольника и треугольника
  12. Расчет моментов инерции сечения составного из стандартных прокатных профилей
  13. Моменты инерции простых сечений
  14. Расчет моментов инерции онлайн
  15. Момент инерции треугольника
  16. Момент инерции кольца
  17. Момент инерции прямоугольника
  18. Момент инерции двутавра
  19. Момент инерции уголка
  20. Момент инерции швеллера
  21. 📹 Видео

Видео:Моменты инерции для треугольника. Вывод моментов инерции для треугольниковСкачать

Моменты инерции для треугольника. Вывод моментов инерции для треугольников

Моменты инерции сечения из простых фигур

Начнем с моментов инерции простых фигур и на их примере выясним для сложных фигур и составных сечений из стандартных профилей.

Начать объяснение о том, что такое моменты инерции нужно с того, что спросить, а что такое площадь?

Обычная площадь квартиры, огорода сечения стержня? Зачем она и почему?

Так вот площадь это характеристика которую придумали и вывели для разных фигур, чтобы была возможность сравнивать земельные наделы. Не всегда они были прямоугольные или квадратные. А сравнить кто сколько получил в надел было нужно. Вот и вывели такую закономерность для прямоугольника, что если перемножить стороны — получим величину, которую можно будет сравнить с перемноженной высотой на основание деленное пополам для треугольника или для круга Пи умножить на эр в квадрате )). Т.е. площади простых фигур

Что касается моментов инерции в сопротивлении материалов, то тут они появились, когда стало понятно, что есть какая то геометрически измеримая величина для разных форм сечения, которая позволит сравнить сопротивляемость этих сечений изгибу.

Проще говоря бревно, которое выполняет роль балки и изгибается может иметь форму прямоугольника, квадрата или круга, а нам нужно сравнить их сопротивляемость изгибу. Вот для этих целей выводили формулу напряжений и оказалось, что в числителе оказался изгибающий момент, а в знаменателе момент инерции:

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

на балке изображены главные центральные оси z y

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

прогибы для таких балок будут разными относительно осей z и y, т.к. моменты инерции будут разные.

Видео:Определение осевых моментов инерции составного несимметричного сечения. СопроматСкачать

Определение осевых моментов инерции составного несимметричного сечения. Сопромат

Вывод моментов инерции для простых фигур

Так вот ниже я приведу видео уроки, плейлист, в котором один за одним выведены моменты инерции для простых фигур, а именно для прямоугольника, треугольника и круга. А затем приводится стандартный расчет моментов инерции для более сложной фигуры, которая состоит из нескольких простых. Всегда сложную фигуру можно разбить на несколько простых. Исходя из этого расчет и ведется.

Моменты инерции измеряются в единицах длины в 4 степени, т.е. см⁴ или м⁴. Чаще всего используется см⁴, т.к. такие единицы измерения приведены в сортаменте прокатной стали.

Момент инерции, это величина, которая показывает сопротивляемость сечения изгибу. На примере линейки хорошо понятно что изгиб в одной плоскости и изгиб в другой плоскости будут сильно отличаться, хотя площадь сечения не меняется. Вот это и было выведено в формуле для напряжений и для прогибов. Что величина, которая сопротивляется изгибающему моменту есть интеграл до координаты центра тяжести площадки в квадрате на площадь элементарной площадки.

Центральными осями называют оси, которые проходят через центр тяжести сечения

Главные оси располагаются в сечении таким образом, что центробежный момент относительно них равен нулю. Т.е. это максимальный и минимальный осевые моменты инерции

Оси, которые проходят через центр тяжести сечения и центробежный момент инерции относительно них равен нулю. При этом данные осевые моменты инерции являются экстремальными, т.е. имеют максимальное и минимальное значение. Именно относительно этих осей ведут расчет и к ним приводят нагрузки. Т.е. если какое нибудь внешнее усилие проходит в стороне от главных центральных осей. Это усилие переносят соблюдая правила переноса к главным центральным осям. Только после этого рассматривают действие сил и находят внутренние усилия относительно главных центральных осей инерции.

При вычислении моментов инерции осевых, при переходе от одних осей к другим появляется центробежный момент инерции, как составляющая пары осевых моментов инерции. И только для главных осей центробежные моменты инерции равны нулю. Именно эти оси мы и отыскиваем в наших расчетах. Поэтому мы ищем величину центробежного момента инерции для не главных осей и из свойства, что главные центральные оси это такие оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, находим положение главных центральных осей.

Видео:Теория (часть 1) осевые моменты инерцииСкачать

Теория (часть 1) осевые моменты инерции

Моменты инерции для прямоугольника

Видео:Геометрические характеристики. Моменты инерции. Радиусы инерции. Сопромат.Скачать

Геометрические характеристики. Моменты инерции. Радиусы инерции. Сопромат.

#Сопромат, Моменты инерции. Прямоугольник. Вывод моментов инерции для прямоугольника.

Сопротивление материалов и Моменты инерции для прямоугольника. Понятие моментов инерции, формулы и вывод для прямоугольника. Осевые центробежный моменты инерции. для треугольника вывод моментов инерции в этом видео: https://www.youtube.com/embed/_pixohVoc-4?vq=hd720 Тема моментов инерции возникла в связи стем, что для определения напряжений при изгибе понадобилась геометрическая характеристика, которая сопротивляется внутреннему усилию (изгибающему моменту). В результате вывода формулы напряжений и появилась эта формула, выраженная через интеграл от квадрата координаты помноженной на площадь элементарной площадки. Эту геометрическую характеристику и назвали моментом инерции. пройти полный курс обучения сопромату и строймеху онлайн, по скайпу. Задать вопросы можно: — через сайт: https://stroymex.online — skype: zabolotnyiAN — email: zabolotnyiAN@gmail.com — комменты к видео — Телеграм https://t.me/AleksanderCrafts Телеграм канал: https://t.me/sroymexOnline Не тратьте время зря, задавайте вопросы. Узнайте стоимость обучения: https://stroymex.online/usloviya-i-tsena-onlayn-obucheniya-sopromat-i-stroymeh Получите первую консультацию бесплатно! Facebook: https://www.facebook.com/SopromatOnline

2018-04-09 Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

моменты инерции для прямоугольника для главных центральных осей равны, формула

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

моменты инерции для прямоугольника для осей проходящих через основные размеры равны, формула

Моменты инерции для треугольника

Видео:Вычисление моментов инерции составного сеченияСкачать

Вычисление моментов инерции составного сечения

Сопротивление материалов, Моменты инерции для треугольника. Сопромат вывод моментов инерции

Сопротивление материалов и Моменты инерции для треугольника. Сопромат вывод моментов инерции для простых фигур. Моменты инерции для треугольника. Моменты инерции для осей в треугольнике, которые проходят через основные размеры. Вывод и пояснение к этой теме сопротивления материалов. для прямоугольника вывод моментов инерции в этом видео: https://www.youtube.com/watch?v=v1TE1UW_sRE&feature=youtu.be‎ Тема моментов инерции возникла в связи стем, что для определения напряжений при изгибе понадобилась геометрическая характеристика, которая сопротивляется внутреннему усилию (изгибающему моменту). В результате вывода формулы напряжений и появилась эта формула, выраженная через интеграл от квадрата координаты помноженной на площадь элементарной площадки. Эту геометрическую характеристику и назвали моментом инерции. пройти полный курс обучения сопромату и строймеху онлайн, по скайпу Задать вопросы можно: — через сайт: https://stroymex.online — skype: zabolotnyiAN — email: zabolotnyiAN@gmail.com — комменты к видео — Телеграм https://t.me/AleksanderCrafts Телеграм канал: https://t.me/sroymexOnline Не тратьте время зря, задавайте вопросы. Узнайте стоимость обучения: https://stroymex.online/usloviya-i-tsena-onlayn-obucheniya-sopromat-i-stroymeh Получите первую консультацию бесплатно! Facebook: https://www.facebook.com/SopromatOnline

2018-04-09 Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Моменты инерции треугольника относительно произвольых осей

Видео:Моменты инерции простейших фигур. Оси центральные и главные. Что это и где. #сопроматСкачать

Моменты инерции простейших фигур. Оси центральные и главные. Что это и где. #сопромат

Момент инерции круга. Моменты инерции простых фигур. #сопромат

Вывод моментов инерции для круга. Видео урок из темы «Моменты инерции простых фигур». В видео приведен вывод момента инерции полярного, в полярной системе координат Ip Затем выведены моменты инерции осевые Iz, Iy. Задать вопросы можно: — через сайт: https://stroymex.online — skype: zabolotnyiAN — email: zabolotnyiAN@gmail.com — комменты к видео — Телеграм https://t.me/AleksanderCrafts Телеграм канал: https://t.me/sroymexOnline Не тратьте время зря, задавайте вопросы. Узнайте стоимость обучения: https://stroymex.online/usloviya-i-tsena-onlayn-obucheniya-sopromat-i-stroymeh Получите первую консультацию бесплатно! Facebook: https://www.facebook.com/SopromatOnline

2019-09-14 Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Видео:Моменты инерции Прямоугольника ► Вывод моментов инерции для прямоугольникаСкачать

Моменты инерции Прямоугольника ► Вывод моментов инерции для прямоугольника

Моменты инерции. Оси центральные и главные. Что это и где. #сопромат

Центральные оси — любая пара взаимно перпендикулярных осей, которые проходят через центр тяжести фигуры Главные оси — оси для которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты имеют максимум и минимум. Об этом и многом другом в видео уроке по моментам инерции в сопротивлении материалов Задать вопросы можно: — через сайт: https://stroymex.online — skype: zabolotnyiAN — email: zabolotnyiAN@gmail.com — комменты к видео — Телеграм https://t.me/AleksanderCrafts Телеграм канал: https://t.me/sroymexOnline Не тратьте время зря, задавайте вопросы. Узнайте стоимость обучения: https://stroymex.online/usloviya-i-tsena-onlayn-obucheniya-sopromat-i-stroymeh Получите первую консультацию бесплатно! Facebook: https://www.facebook.com/SopromatOnline

2019-09-14 Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Видео:Урок 94. Вычисление моментов инерции телСкачать

Урок 94. Вычисление моментов инерции тел

Примеры расчетов моментов инерции для сечений

Ниже приводятся примеры расчетов моментов инерции относительно главных центральных осей, объяснение, что такое центробежный момент инерции и почему оси называются главными центральными для примеров:

  • простейшие фигуры — прямоугольник, треугольник
  • составные сечения из простейших треугольника и прямоугольника
  • составные из прокатных профилей

Пример расчета моментов инерции относительно главных центральных осей для простейших фигур

Подробно объясняется как найти центробежный момент инерции, как найти осевые моменты инерции, как относительно центральных и как относительно главных осей для простых фигур.

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Пример расчета моментов инерции для сечения состоящего из прямоугольника и треугольника

Сечения балок может быть составным, т.е. таким, которое складывается из нескольких фигур. В примере, в видеоуроке ниже рассказыватся как найти моменты инерции относительно главных центральных осей для такого сечения балки

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Расчет моментов инерции сечения составного из стандартных прокатных профилей

В видеоуроке ниже разбирается порядок расчета моментов инерции относительно главных центральных осей для сечения составленого из трех прокатных профилей уголков

Видео:Определение главных осевых моментов инерции составного несимметричного сечения. СопроматСкачать

Определение главных осевых моментов инерции составного несимметричного сечения. Сопромат

Моменты инерции простых сечений

Моменты инерции относительно осей Оx, Оx1, Оy, Оy1:

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника.

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

моменты инерции относительно осей Оx, О1x1 и О2x2,:

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольникаОсевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Прямоугольный и равнобедренный треугольники.

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника определим центробежный момент инерции Jxy относительно центральных осей Ox и Oy, параллельных катетам:

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Момент инерции равнобедренного треугольника относительно оси

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольникаОсевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Круг. Полярный момент инерции круга:

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольникаОсевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Учитывая, что для круга Jx = Jy и полярный момент согласно равен сумме двух осевых моментов, получим:

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольникаОсевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Кольцевое сечение. Моменты инерции кольца находятся как разность моментов инерции двух кругов с радиусами R2 и R1 :

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольникаОсевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Относительно осей O1x1 и O1y1, которые являются главными осями для полукруга, осевые моменты инерции равны половине момента инерции круга:

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольникаОсевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Момент инерции относительно главной центральной оси определяется с помощью первой формулы:

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольникаОсевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Геометрические характеристики сечений прокатных профилей (двутавры, швеллеры, уголки) приведены в таблицах сортамента прокатной стали.

Моменты инерции составных сечений. При определении моментов инерции составного сечения последнее разбивают на простые фигуры, у которых известны положения центров тяжести и моменты инерции относительно собственных центральных осей. По формулам (4.6) находят координаты центра тяжести всего сечения в системе произвольно выбранных вспомогательных осей. Параллельно этим осям проводят центральные оси, относительно которых определяют осевые и центробежный моменты инерции по формулам (4.7). Моменты инерции относительно главных центральных осей определяются по формуле (4.11), а положение главных центральных осей – по формулам (4.10).

Далее рассмотрены примеры задач.

5. Примеры решения задач

Пример 1. Определим положение центра тяжести и моменты инерции относительно главных центральных осей сечения, состоящего из полукруга и прямоугольника с вырезом. Размеры сечения на рисунке даны в сантиметрах. Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Разобьем сечение на три простые фигуры: полукруг с радиусом R=5 см, прямоугольник с размерами сторон 6×10 см, прямоугольный вырез с размерами 3×6 см и определим площади и моменты инерции этих фигур относительно собственных центральных осей.

Для полукруга по формулам (2.21) и (2.22) имеем:

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Положение центра тяжести О1 полукруга определяется по формуле (2.20) и равно 0,424·5 = 2,12 см (рис.2.15).

Для прямоугольника и прямоугольного выреза по формулам (2.13) получим

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Площадь всего сечения равна F = 39,2 + 60 – 18 = 81,2 см 2 .

Центр тяжести О сечения лежит на горизонтальной оси симметрии. Для определения его положения выберем в качестве вспомогательной оси центральную ось прямоугольника O2y2 . Тогда получим

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника.

Отложим эту величину от оси О2y2 вправо и проведем ось Оy, которая вместе с осью Ох составит пару главных центральных осей всего сечения. Определим координаты центров тяжести отдельных фигур в системе координат Оxy: а1 = 2,32 см, а2 = – 2,80 см, а3 = – 4,30 см .

По формулам (2.6) найдем моменты инерции сечения относительно осей Ох и Оy:

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Пример 2.Для стержня несимметричного сечения, составленного из швеллера [ 30 и неравнобокого уголка L180х110х12, определим центр тяжести сечения, моменты инерции относительно главных центральных осей и положение этих осей. На рисунке размеры даны в сантиметрах.

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Выпишем геометрические характеристики сечения швеллера:

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Геометрические характеристики сечения неравнобокого уголка:

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Величину центробежного момента инерции уголка Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника(в сортаменте она не приведена) определим по второй из формул (2.11):

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника,

где tga = 0,374 – тангенс угла наклона главной оси u к оси Ох2 , величина которого приведена в сортаменте.

Площадь всего сечения равна F = 40,5 + 33,7 = 74,2 см 2 .

Для определения положения центра тяжести выберем в качестве вспомогательных осей оси швеллера О1x1 и О1y1. Тогда по формулам (2.5) получим

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Эти величины и координаты центров тяжести швеллера и уголка в системе координат Охy показаны на рисунке и соответственно равны:

Определим по формулам (2.6) моменты инерции сечения относительно центральных осей Ох и Оy.

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

По формулам (2.12) и (2.11) найдем величины главных моментов инерции и углы наклона главных осей 1 и 2 к оси Ох :

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Пример 3. Для статически определимого стержня ступенчато постоянного сечения при заданных осевых нагрузках и геометрических размерах по строке требуется:

1.Определить опорную реакцию в месте закрепления стержня.

2.Вычислить значения продольных сил и нормальных напряжений в характерных сечениях и построить эпюры этих величин.

3.Найти величины абсолютных удлинений (укорочений) участков стержня и величину общего удлинения (укорочения) стержня в целом.

4.Определить значения осевых перемещений характерных сечений и построить эпюру осевых перемещений.

a, мF, см 2Р1, кНР2, кНq1, кН/мq2, кН/мЕ, МПа
0,82,0·10 5

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

1. Составим уравнение равновесия: Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

2. Вычислим значения продольных сил:

Участок 1: Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

При Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника; Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

При Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника; Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Значение продольной силы линейно уменьшается

Участок 2: Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

При Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника; Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

При Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника; Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Значение продольной силы не изменяется

Участок 3: Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

При Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника; Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

При Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника; Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Значение продольной силы линейно уменьшается.

Найдем величины нормальных напряжений в характерных сечениях:

Участок 1: Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

При Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника; Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

При Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника; Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Участок 2: Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

При Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника; Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Участок 3: Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

При Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника; Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

При Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника; Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Величины абсолютных удлинений каждого их участков стержней найдем по формуле:

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника, где Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника— площадь под эпюрой продольных сил на каждом участке.

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Определим величины осевых перемещений характерных сечений.

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

На участках 1 и 3 эпюра осевых перемещений имеет вид квадратичной параболы, на участке 2 изменяется линейно.

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Пример 4. Для статически неопределимой стержневой системы, состоящей из абсолютно жесткой балки AB и поддерживающих ее стальных стержней 1 и 2 по схеме №…. при геометрических размерах, соотношениях площадей поперечных сечений стержней F2/F1 и величине нормативной нагрузки Р, указанных в строке № …. табл.2, требуется:

1.Определить расчетное значение нагрузки, приняв коэффициент надежности по нагрузке γf = 1,2.

2.Определить усилия в стержнях системы. Собственную массу элементов стержневой системы не учитывать.

3.Подобрать сечения стрежней в виде двух стальных прокатных равнобоких уголков, используя метод расчета по предельным состояниям. При подборе сечений обеспечить заданное соотношение площадей F2/F1. Расчетное сопротивление по пределу текучести стали марки ВСТ3 принять равным 210 МПа, коэффициент условий работы γс = 0,9.

4.Определить величины нормальных напряжений в поперечных сечениях стержней и проверить выполнение условий прочности.

5.Определить величины удлинений стержней, приняв Е=2,1·10 5 МПа.

6.Определить нагрузку Рт, при которой в системе возникают первые пластические деформации, считая, что материал стержней следует диаграмме Прандтля и имеет предел текучести σт = 240 МПа.

7.Определить разрушающую нагрузку Рразр, при которой система полностью исчерпывает свою несущую способность.

a, мb, мh, мF2/F1Р, кН
1,40,81,31,3

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника1. Определим расчетные значения нагрузки:

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольникаОсевые моменты инерции прямоугольного треугольника

2. Определим усилия в стержнях. Система является статически неопределимой. Представим систему в деформированном виде. Рассмотрим:

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника, где

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника, где Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника-256kH

Отрицательные знаки говорят о том, что действительные направления сил противоположны указанным на чертеже.

Вычисляем напряжения в стержнях 1 и 2

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника, Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Определяем требуемые по условию прочности площади поперечных сечений

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Проверим соотношение Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника, условие выполняется.

Принимаем по сортаменту сечения стержней в виде двух стальных прокатных равнобоких уголков.

Стержень 1: профиль №7, Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника, Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Стержень 2: профиль №10, Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника, Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Определим удлинения стержней при Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Определим нагрузку Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника, σт = 240 МПа

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Находим из уравнения равновесия величину Рразр:

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Пример 5. Для рамы с шарнирными опорами построим эпюры N,Q, и M.

Определяем величины опорных реакций.

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

SX = 0 ,– 4·3 + HА = 0 ,HА = 12 кН ;
SMА = 06 – 36·1 + 4·3·1,5 + 2RВ = 0 ,RВ = 6 кН ;
SMВ = 0 ,6 + 36 + 4·3·1,5 – 2RА = 0 ,RА = 30 кН ;
SU = 0 (проверка) ,– 36 + 30 + 6= – 36 + 36 = 0 .

Определяем внутренние усилия в характерных сечениях каждого участка рамы.

Участок АD
Сечение А:N = – RА = – 30 кН (сжатие),Q = – HА= – 12 кН , M = 0
Сечение D:N = – 30 кН , Q = – 12 кН ,M = – 12*3 = – 36 кНм
(растянуты левые волокна).
Участок ВЕ
Сечение В:N = – RА = – 6 кН ,Q = 0 , M = 0 ,
Сечение E:N = – 6 кН , Q = 4·3 = 12 кН ,M = – 4·3·1,5 = – 18 кНм
(растянуты правые волокна).
Участок CE
Сечение C:N = 0 , Q = 0 ,M = – 6 кНм
(растянуты верхние волокна) .
Сечение D (слева):N = 0 , Q = 0 ,M = – 6 кНм .
Сечение D (справа):N = – HА = – 12 кН , Q = RА = 30 кН ,M = – 6 – 12·3= – 42 кНм
Сечение F (слева):N = – 12 кН , Q = 30 кН ,M= –42+30·1= – 12 кНм .
Сечение F (справа):N = – 12 кН , Q = 30 – 36 = – 6 кН ,M = – 12 кНм .
Сечение Е:N = – 12 кН , Q = – RВ = – 6 кН ,M = – 18 кНм .

Построим эпюры N , Q , и M:

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника Осевые моменты инерции прямоугольного треугольникаОсевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Вырежем мысленно узел D и покажем его равновесие под действием внутренних усилий в стержнях, сходящихся в узле. Нетрудно видеть, что узел находится в равновесии:

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Пример 6. Рассчитать на прочность по методу предельных состояний двутавровую прокатную балку.

Материал балки сталь ВСт 3. Предел текучести σт = 240 МПа, расчетное сопротивление по пределу текучести R= 210 МПа, расчетное сопротивление при сдвиге Rs = 130 МПа. Коэффициент условий работы γс = 0,9. В табл. 2 приведены нормативные значения нагрузок. Коэффициент надежности по нагрузке γf = 1,2.

1.Определить опорные реакции;

2.Вычислить величины внутренних усилий в характерных сечениях и построить эпюры внутренних усилий.

3.Подобрать сечение балки из двутавра, используя условие прочности по первой группе предельных состояний.

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

1. Определим опорные реакции.

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

2. Проверка: Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника, получаем

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Реакции найдены правильно.

3. Построим эпюры Q и M.

Разобьем нашу балку на три участка и найдем суммы сил и моментов, действующих на каждом участке.

I участок: Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

II участок: Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

III участок: Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника,

В конце балки Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

I участок: Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника; где Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

II участок: Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника, где Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника;

III участок: Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника, где Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника;

На участке 1 эпюра М имеет вид квадратичной параболы, ветви которых направлены вверх.

Построим схему конструкции и эпюры Q и M:

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника Осевые моменты инерции прямоугольного треугольникаОсевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника Осевые моменты инерции прямоугольного треугольникаОсевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Значения М и Q в характерных сечениях балки указаны на эпюрах.

Опасным является сечение в точке с координатой Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника, где Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника. Расчетное значение Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Требуемый момент сопротивления равен

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

По сортаменту прокатной стали принимаем двутавровый профиль № 22

h=220мм, b=110мм, d=5.4мм, t=8.7мм, Jx=2550см 4 , W=232см 3 , Sx=131см 3

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Вычислим значения наибольших нормальных напряжений в опасном сечении балки:

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Прочность балки обеспечена.

6. Задания для контрольной работы

Для сечений, имеющих одну ось симметрии, по схемам №1-16 при размерах, указанных в таблице 2, требуется определить:

1) положение центра тяжести;

2) положение главных центральных осей инерции и величины главных моментов инерции.

Первая буква фамилии студентаа, см
АП
БР
ВС
ГТ
ДУ
ЕФ
ЖХ
ЗЦ
ИЧ
КШ
ЛЩ
МЭ
НЮ
ОЯ

Схемы сечений стержней:

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Для несимметричных сечений по схемам №1-16 при размерах, указанных в таблице 3, требуется:

1) определить положение центра тяжести;

2) вычислить осевые и центробежные моменты инерции относительно центральных осей;

3) определить положение главных центральных осей инерции и величины главных моментов инерции;

4) построить круг инерции и определить графически величины главных моментов инерции и направления главных центральных осей;

5) сравнить результаты аналитического и графического расчетов.

Видео:Сопротивление материалов. Лекция: геометрические характеристики сечений - моменты инерцииСкачать

Сопротивление материалов. Лекция: геометрические характеристики сечений - моменты инерции

Расчет моментов инерции онлайн

При выполнении расчетов часто приходится вычислять моменты инерции сложных сечений относительно различных осей, лежащих в плоскости фигуры. Для стандартных поперечных сечений стержней моменты инерции даны в таблицах ГОСТ 8509-93, ГОСТ 8510-86, ГОСТ 57837-2017, ГОСТ 8240-97. В остальных случаях, для выполнения онлайн расчета момента инерции круга, кольца, треугольника, прямоугольного контура, нестандартных сварных швеллера, уголка и двутавра можно воспользоваться данной страницей нашего сайта.

Видео:Расчёт момента инерции тела относительно оси вращения. Момент инерции однородного стержняСкачать

Расчёт момента инерции тела относительно оси вращения. Момент инерции однородного стержня

Момент инерции треугольника

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Момент инерции Ix0, м 4

Момент инерции Ix1, м 4

Момент инерции Ix2, м 4

Площадь сечения F, м 2

©Copyright Кайтек 2020

Момент инерции треугольника относительно центральной оси, параллельной одной из его сторон вычисляется по формуле:
Ix0 = b×h 3 / 36;
Момент инерции треугольника относительно оси, совпадающей с одной из его сторон:
Ix1 = b×h 3 / 12;
Момент инерции треугольника относительно оси, параллельной одной из его сторон и проходящей через противоположную вершину:
Ix2 = b×h 3 / 4.

Видео:Момент инерцииСкачать

Момент инерции

Момент инерции кольца

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ КОЛЬЦА

Момент инерции Ix, м 4

Полярный момент инерции Ip, м 4

Площадь сечения F, м 2

©Copyright Кайтек 2020

Момент инерции кольца относительно главной центральной оси:
Ix = π×D 4 /64 — π×d 4 /64;
Полярный момент инерции кольца:
Ip = π×D 4 /32 — π×d 4 /32.

Видео:Моменты инерции сечения из простых фигурСкачать

Моменты инерции сечения из простых фигур

Момент инерции прямоугольника

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА

Момент инерции Ix, м 4

Момент инерции Iy, м 4

Площадь сечения F, м 2

©Copyright Кайтек 2020

Момент инерции прямоугольника относительно главных центральных осей:
Ix = (b×h 3 — b1×h1 3 )/12;
Iy = (h×b 3 — h1×b1 3 )/12.

Видео:Основы Сопромата. Геометрические характеристики поперечного сеченияСкачать

Основы Сопромата. Геометрические характеристики поперечного сечения

Момент инерции двутавра

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ДВУТАВРА

Толщина полки t, мм

Толщина стенки s, мм

Момент инерции Ix, м 4

Момент инерции Iy, м 4

Площадь сечения F, м 2

©Copyright Кайтек 2020

Моменты инерции двутавра относительно главных центральных осей:
Ix = (B×H 3 — (B — s)×(H — 2t) 3 ) / 12;
Iy = (2t×B 3 + (H — 2t)×s 3 ) / 12.

Видео:1.256Скачать

1.256

Момент инерции уголка

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ УГОЛКА

Момент инерции Ix, м 4

Момент инерции Iy, м 4

Площадь сечения F, м 2

©Copyright Кайтек 2020

Моменты инерции уголка относительно центральных осей:
Ix = (d×(H — y) 3 + B×y 3 — (B — d)×(y — d) 3 ) / 3;
Iy = (d×(B — x) 3 + H×x 3 — (H — d)×(x — d) 3 ) / 3,
где x и y — расстояния от наружных сторон уголка до центральных осей Y и X соответственно.

Видео:Моменты инерции относительно Главных Центральных осей для простых фигурСкачать

Моменты инерции относительно Главных Центральных осей для простых фигур

Момент инерции швеллера

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ШВЕЛЛЕРА

Толщина полки d, мм

Толщина стенки s, мм

Момент инерции Ix, м 4

Момент инерции Iy, м 4

Площадь сечения F, м 2

©Copyright Кайтек 2020

Моменты инерции швеллера относительно главных центральных осей:
Ix = (B×H 3 — (B — s)×(H-2d) 3 ) / 12;
Iy = (H×x 3 — (H — 2d)×(x — s) 3 + d×(B — x) 3 )/3,
где x — расстояния от наружной сторон швеллера до центральной оси Y.

Расчеты моментов инерции по умолчанию выполнены относительно центральных и главных центральных осей сечения. Моменты инерции относительно осей, параллельных главным центральным осям можно вычислить, прибавив к полученному результату произведение квадрата расстояния между соответствующими осями на площадь сечения.

📹 Видео

Основы сопромата. Задача 4. Момент инерции сложного сеченияСкачать

Основы сопромата. Задача 4. Момент инерции сложного сечения

7. Момент инерции треугольника и конусаСкачать

7.  Момент инерции треугольника и конуса

Урок 98. Задачи на вычисление моментов инерции (ч.1)Скачать

Урок 98. Задачи на вычисление моментов инерции (ч.1)
Поделиться или сохранить к себе: