Геометрия 7 класс
1) Смежными углами называют два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой;
2) Вертикальными угламиназываются углы если стороны одного угла являются продолжениями другого.
3) Перпендикулярными прямыминазываются две пересекающиеся прямые, если они образуют четыре прямых угла.
4) Периметром треугольниканазывается сумма длин всех сторон.
5) Первый признак треугольника:Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
6) Перпендикуляр к прямой: Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой и при том только один.
7) Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
8) Биссектрисой треугольника называетсяотрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
9) Высотой треугольника называетсяперпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
10) Замечательное свойство треугольника:В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, биссектрисы пересекаются в одной точке, высоты или их продолжения так же пересекаются в одной точке.
11) Равнобедренным треугольником называется треугольник, если две его стороны равны.
12) Равные стороны равнобедренного треугольниканазываются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.
13) Равносторонним треугольником называется треугольник, все стороны которого равны.
14) 1 свойство равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
15) 2 свойство равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
16) Следствие 1:Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.
17) Следствие 2: Медианаравнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.
18) Второй признак равенства треугольника:Если сторона, и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
19) Третий признак равенства треугольников: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
20) Параллельными прямыми называютсядве прямые, лежащие на плоскости, если они не пересекаются.
21) Признаки параллельности двух прямых: 1)Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 2)Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. 3)Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны.
22) Аксиомами называются исходные положения в геометрии.
23) Аксиомы: 1)Через любые две точки проходит прямая, и при том только одна. 2)На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и при том только один. 3)От любого луча, в заданную сторону можно отложить угол, равный данному, не развёрнутому углу, и при том только один.
24) Аксиомы параллельных прямых:Через точку, не лежащую на данной прямой проходит только одна прямая, параллельная данной.
25) Следствие 1:Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
26) Следствие 2: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
27) Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей:
Теорема 1:Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Следствие 1:Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
Теорема 2: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Теорема 3: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 градусов.
28) Теорема о сумме углов треугольников:Сумма углов треугольников равна 180 градусов.
29) Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
30) В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой, или прямой.
31) Треугольник называется остроугольным,если все три угла острые.
32) Треугольник называется тупоугольным,если один из углов тупой.
33) Треугольник называется прямоугольным,если один из углов прямой.
34) Гипотенуза —это сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла.
35) Катет – это другая сторона прямоугольного треугольника.
36) Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: 1) В треугольнике против большей стороны лежит больший угол; 2) Против большего угла лежит большая сторона.
Следствие 1: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Следствие 2: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
37) Теорема «Неравенство треугольника»:
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон
Следствие:Для любых трёх точек А, В, С не лежащих на одной прямой справедливо неравенство: АВ
Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Повторение. Равнобедренный треугольник и его свойства
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Равнобедренный треугольник.
- Свойства и признак равнобедренного треугольника.
- Биссектрисы, медианы, высоты треугольника.
- Решение задач на нахождение элементов треугольника.
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противопложной стороны.
- Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
- Атанасян Л.С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
- Зив Б.Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. — М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
- Мищенко Т.М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т.М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
- Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. — М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
- Иченская М.А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М.А. — М.: Просвещение, 2019. – 144 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Две равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону – основанием равнобедренного треугольника.
Свойства равнобедренного треугольника:
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны;
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Признак равнобедренного треугольника:
Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.
- В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны 60°.
- В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан совпадают. Эта точка называется центром равностороннего треугольника.
Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противопложной стороны.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№ 1. Периметр равнобедренного треугольника равен 24 см, боковая сторона 10 см. Найдите основание.
Решение: ∆ABC равнобедренный, AB = BC = 10 см.
AC = 24 – 20 = 4 (см).
№ 2. ∆ABC равнобедренный. AM, CM биссектрисы, ∠B = 80°. Найти ∠AMC, который образуют биссектрисы углов при основании.
- ∠A = ∠ B = (180° – 80°) : 2 = 50°
- Так как AM, CM биссектрисы, то ∠MAC = ∠MCA = 50°: 2 = 25°.
- ∠AMC = 180° – 25° – 25° = 130°
Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Видео:Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать
Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
| Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. |
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
Видео:Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.Скачать
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
- Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
- Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
- Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
- Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.
Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать
Примеры решения задач
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.
Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.
Значит, ∠A = ∠C = 80°.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.
∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.
Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.
Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.
А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.
Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.
Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.
📺 Видео
Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать
Признаки равнобедренного треугольника - геометрия 7 классСкачать
ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Свойства и признаки равнобедренного треугольникаСкачать
№171. Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскостиСкачать
Урок 11. Признаки равнобедренного треугольника (7 класс)Скачать
Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать
✓ Свойства и признаки равнобедренного треугольника | Ботай со мной #008 | Борис ТрушинСкачать
ПРИЗНАКИ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА. §10 геометрия 7 классСкачать
Геометрия 7 класс - равнобедренный треугольник и его свойстваСкачать
18. Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
Свойства равнобедренного треугольника #огэ #математика #shortsСкачать
Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать
