Опишите взаимное расположение прямой и окружности

Взаимное расположение прямой и окружности

Выясним количество общих точек прямой и окружности в зависимости от их взаимного расположения. Если прямая l проходит через центр O окружности (Рис.1), то она пересекает окружность в двух точках, которые являются концами диаметра окружности.

Пусть прямая не проходит через центр окружности. Проведем перпендикуляр OH к прямой l (Рис.2, Рис.3, Рис.4). Обозначим расстояние от центра окружности до прямой l буквой d. Рассмотрим сколько общих точек будут иметь прямая и окружность в зависимости от соотношения d и r.

Опишите взаимное расположение прямой и окружностиОпишите взаимное расположение прямой и окружности

Теорема 1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.

В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.

Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности: d Теорема 2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют одну общую точку.

Опишите взаимное расположение прямой и окружности

Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности: d=r (Рис.3). В этом случае OH=r, т.е. точка H лежит на окружности и является общей точкой прямой l и окружности. Возьмем на прямой l любую точку M отличной от H. Тогда расстояние от OM больше расстояния OH=r, поскольку наклонная OM больше перпендикуляра OH к прямой l. Следовательно точка M не лежит на окружности. Получили, что точка H единственная общая точка прямой l и окружности.Опишите взаимное расположение прямой и окружности

Теорема 3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общую точку.

Опишите взаимное расположение прямой и окружности

Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности:d>r (Рис.4). Тогда ( small OH > r). Возьмем на прямой l любую точку M отличной от H. Тогда ( small OM > OH>r). Следовательно точка M не лежит на окружности. Таким образом, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общую точку.Опишите взаимное расположение прямой и окружности

Видео:8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружности

Взаимное расположение прямой и окружности

Существует 3 случая взаимного расположения прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом r окружности и расстоянием d прямой от центра окружности.

1. d r. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.

Теоремы о касательных и секущих

  1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Опишите взаимное расположение прямой и окружности

  1. Если из данной точки проведены к окружности две касательные, то отрезки касательных равны между собой и центр окружности лежит на биссектрисе угла с вершиной в этой точке: (AB=AC) .

Опишите взаимное расположение прямой и окружности

  1. Если из данной точки проведены к окружности касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть: (AC^2=CDcdot BC) .

Опишите взаимное расположение прямой и окружности

  1. Произведение всего отрезка одной секущей на его внешнюю часть равно произведению всего отрезка другой секущей на его внешнюю часть: (ACcdot BC=ECcdot DC) .

Видео:Урок по геометрии ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИСкачать

Урок по геометрии ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ

Взаимное расположение прямой и окружности

Разделы: Математика

Дидактическая цель: формирование новых знаний.

Обучающие:

  • сформировать математические понятия: касательная к окружности, взаимное расположение прямой и окружности, добиться понимания и воспроизведения учащимися данных понятий через выполнение практической работы исследовательского характера.

Здоровьесберегающие:

  • создание благоприятного психологического климата на уроке;

Развивающие:

  • развивать у учащихся познавательный интерес, умение объяснять, обобщать полученные результаты, сравнивать, сопоставлять, делать выводы.

Воспитательные:

  • воспитание средствами математики культуры личности.

Формы обучения:

  • по содержанию – беседа, практическая работа;
  • по организации деятельности – индивидуальная, фронтальная.
БлокиЭтапы урока
1 блокОрганизационный момент.
Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.
2 блокПостановка цели.
3 блокОзнакомление с новым материалом.
Практическая работа исследовательского характера.
4 блокЗакрепление нового материала через решение задач
5 блокРефлексия. Выполнение работы по готовому чертежу.
6 блокПодведение итогов урока. Постановка домашнего задания.

Оборудование:

  • компьютер, экран, проектор;
  • раздаточный материал.
  • 1. Математика. Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений; / Г.В.Дорофеев, М., Просвещение, 2009 г.

    2. Маркова В.И. Особенности преподавания геометрии в условиях реализации государственного образовательного стандарта: методические рекомендации, Киров, 2010 г.

    3. Атанасян Л.С. Учебник “Геометрия 7-9”.

    1. Организационный момент.

    Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.Приветствие учеников.

    Сообщает тему урока.

    Выясняет, какие ассоциации возникают со словом “окружность”Записывают в тетради число и тему урока.

    Отвечают на вопрос учителя.2. Постановка цели урокаОбобщает цели, сформулированные учащимися, ставит цели урокаФормулируют цели урока.3. Ознакомление с новым материалом.Организует беседу, на моделях просит показать, как могут располагаться окружность и прямая.

    Организует практическую работу.

    Организует работу с учебником.Отвечают на вопросы учителя.

    Выполняют практическую работу, делают вывод.

    Работают с учебником, находят вывод и сравнивают со своим.4. Первичное осмысление, закрепление через решение задач.Организует работу по готовым чертежам.

    Работа с учебником: с. 103 № 498, №499.

    Решение задачУстно решают задачи и комментируют решение.

    Выполняют решение задач, комментируют.5. Рефлексия. Выполнение работы по готовому чертежуИнструктирует выполнение работы.Самостоятельно выполняют задание. Самопроверка. Подводят итоги.6. Подведение итогов. Постановка домашнего заданияУчащимся предлагается проанализировать кластер, составленный в начале урока, доработать его с учетом полученных знаний.Подводят итоги.

    Учащиеся обращаются к целям, которые были поставлены, анализируют результаты: что нового узнали, чему научились на уроке

    1. Организационный момент. Актуализация знаний.

    Учитель сообщает тему урока. Выясняет, какие ассоциации возникают со словом “окружность”.

    Опишите взаимное расположение прямой и окружности

    Чему равен диаметр окружности, если радиус равен 2,4 см?

    Чему равен радиус, если диаметр равен 6,8 см?

    Учащиеся ставят свои цели на урок, учитель обобщает их и ставит цели урока.

    Составляется программа деятельности на уроке.

    3. Ознакомление с новым материалом.

    1) Работа с моделями: “Покажите на моделях, как могут располагаться прямая и окружность на плоскости”.

    Опишите взаимное расположение прямой и окружности

    Сколько они имеют общих точек?

    2) Выполнение практической работы исследовательского характера.

    Цель. Установить свойство взаимного расположения прямой и окружности.

    Оборудование: окружность, нарисованная на листе бумаги и палочка в качестве прямой, линейка.

    Задание.

    1. На рисунке (на листе бумаги) установить взаимное расположение окружности и прямой.
    2. Измерьте радиус окружности R и расстояние от центра окружности до прямой d.
    3. Результаты исследования запишите в таблицу.
    РисунокВзаимное расположениеЧисло общих точекРадиус окружности RРасстояние от центра окружности до прямой dСравните R и d

    4. Сделайте вывод о взаимном расположении прямой и окружности в зависимости от соотношения R и d.

    Вывод: Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, прямая касается окружности и имеет одну общую т очку с окружностью. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, окружность и прямая не имеют общих точек. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, прямая пересекает окружность и имеет с ней две общих точки.

    5. Первичное осмысление, закрепление через решение задач.

    1) Задания учебника: №498, № 499.

    2) Определить взаимное расположении прямой и окружности, если:

    • 1. R=16cм, d=12см
    • 2. R=5см, d=4,2см
    • 3. R=7,2дм, d=3,7дм
    • 4. R=8 см, d=1,2дм
    • 5. R=5 см, d=50мм

    а) прямая и окружность не имеют общих точек;

    б) прямая является касательной к окружности;

    в) прямая пересекает окружность.

    • d-расстояние от центра окружности до прямой, R- радиус окружности.

    3) Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности, если диаметр окружности равен 10,3 см, а расстояние от центра окружности до прямой равно 4,15 см; 2 дм; 103 мм; 5,15 см, 1 дм 3 см.

    4) Даны окружность с центром О и точка А. Где находится точка А, если радиус окружности равен 7 см, а длина отрезка ОА равна: а) 4 см; б) 10 см; в) 70 мм.

    Чему научились на уроке?

    Какую закономерность установили?

    Выполнить на карточках следующее задание:

    Проведите прямые через каждые две точки. Сколько общих точек имеет каждая из прямых с окружностью.

    Опишите взаимное расположение прямой и окружности

    Прямая ______ и окружность не имеют общих точек.

    Прямая ______ и окружность имеют только одну ___________ точку.

    Прямые ______, _______, ________, _______ и окружность имеют две общие точки.

    7. Подведение итогов. Постановка домашнего задания:

    1) проанализировать кластер, составленный в начале урока, доработать его с учетом полученных знаний;

    📹 Видео

    Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.Скачать

    Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.

    Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

    Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.

    Взаимное расположение окружностей. 7 класс.Скачать

    Взаимное расположение окружностей. 7 класс.

    Взаимное расположение и точки пересечения прямой и окружностиСкачать

    Взаимное расположение и точки пересечения прямой и окружности

    Взаимное расположение прямой и окружности, математика 6 классСкачать

    Взаимное расположение прямой и окружности, математика 6 класс

    Окружность и прямая: варианты взаимного расположенияСкачать

    Окружность и прямая: варианты взаимного расположения

    11 класс, 21 урок, Взаимное расположение сферы и плоскостиСкачать

    11 класс, 21 урок, Взаимное расположение сферы и плоскости

    Лекция Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

    Лекция Взаимное расположение прямой и окружности

    Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

    Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

    11 класс, 24 урок, Взаимное расположение сферы и прямойСкачать

    11 класс, 24 урок, Взаимное расположение сферы и прямой

    Взаимное расположение окружностей. Практическая часть. 7 класс.Скачать

    Взаимное расположение окружностей. Практическая часть. 7 класс.

    Геометрия, 8 класс. Тема: "Взаимное расположение прямой и окружности".Скачать

    Геометрия, 8 класс. Тема: "Взаимное расположение прямой и окружности".

    Окружность. 7 класс.Скачать

    Окружность. 7 класс.

    Геометрия 8 класс. Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

    Геометрия 8 класс. Взаимное расположение прямой и окружности

    Окружность и круг, 6 классСкачать

    Окружность и круг, 6 класс

    9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностейСкачать

    9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностей

    Прямая и окружность. Математика. 6 класс.Скачать

    Прямая и  окружность. Математика. 6 класс.

    Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

    Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи
    Поделиться или сохранить к себе: