Октаэдр 8 правильных треугольников

Содержание:

Существует несколько способов определить площадь поверхности октаэдра. Он представляет собой один из пяти правильных многоугольников или так называемых Платоновых тел. Имеет восемь одинаковых граней (поверхностей) в виде равносторонних треугольников, к каждой из его вершин прилагается по четыре грани. Рассмотрим, что собой представляет тело, где встречается в природе, как вычисляется его площадь и объём.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Что такое октаэдр

Видео:Видеоурок по математике "Понятие правильного многогранника"Скачать

Свойства октаэдра

1. В тело вписывается куб, вершины которого находятся в центрах граней куба.

1. Симметрия куба и вписанного (описанного) октаэдра совпадают.

1. Двойственен кубу.

1. Является полным усечением тетраэдра.

1. Имеет равные ребра и диагонали.

1. Состоит из равносторонних треугольников.

1. Диагонали тела взаимоперпендикулярны, в точке пересечения делятся на равные отрезки.

1. Октаэдр симметричен, причём 3 оси пролегают через противоположные вершины, 6 – через центры ребер.

1. Центр симметрии тела расположен в точке пересечения диагоналей.

1. Ребра равны по длине, поверхности – по площади.

Видео:#203. Правильные многогранники: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдрСкачать

Математические характеристики тела

Как вычислить площадь поверхности октаэдра

Площадь октаэдра равна сумме площадей составляющих его треугольников:

Здесь S_треуг – площадь треугольника.

После подстановки значения получится требуемый результат.

Если известна длина ребра, придётся вычислить площадь треугольников.

Подставляем значение в первое выражение:

Упрощаем: после сокращения дроби на четыре получается формула площади поверхности октаэдра:

2. S = 8 * S_треуг = 2 sqrt a^2.

Существует ещё один способ проведения вычислений. Он менее точный чем предыдущие, однако позволяет обойтись без калькулятора. При приблизительном подсчёте 2 sqrt равняется 3,464 или 3,46.

Здесь a – длина стороны треугольника (равны).

Для примера, имеется фигура октаэдр с длиной стороны 5 см.

S=2sqrt a^2=2*sqrt *5^2=2*sqrt *25=50sqrt approx 86,6 см.

Как вычислить объём правильного октаэдра

Объём показывает размер внутреннего пространства геометрического тела. Объем правильного октаэдра вычисляется, если знаете длину ребра геометрического тела, по формуле:

После проведения приблизительных расчётов frac approx 0,47 формула принимает следующий вид :

Рассчитаем двумя методами на примере правильного многоугольника с гранью, равной 5 см:

V= 0,47 * a^3 = 0,47*125 approx 58,93

Значения совпали, во втором случае нужно выполнять гораздо меньше операций. Подходит он только, если не требуется исключительная точность – при округлении до 4-5 знаков после запятой точность снизится.

Видео:Платоновы тела. Октаэдр. Додекаэдр. Икосаэдр | МатематикаСкачать

Развёртка

Октаэдр, как большинство гомерических тел, имеет развёртку поверхности – это плоская фигура, полученная путём совмещения поверхности модели с одной плоскостью без пересечения либо наложения граней друг на друга.

Рисунок развёртки октаэдра.

В природе насчитывается 11 разновидностей развёртки октаэдра, позволяющих создать его модель из бумаги или картона. Наиболее распространённая выглядит как восемь одинаковых треугольников. Шесть из них размещено в ряд, к третьему и четвёртому основаниям прилегает ещё по одному, их вершины направлены в противоположные стороны.

Видео:Правильные многогранники. Мини-курс по математике от Николая АндрееваСкачать

Октаэдр.

Октаэдр — один из 5-ти выпуклых правильных многогранников — Платоновых тел.

У октаэдра 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, к каждой его вершине сходятся 4 ребра.

На примере октаэдра легко проверить формулу Эйлера 6в+8г-12р=2. В каждой из вершин октаэдра сходятся 4 треугольника, т.о., сумма плоских углов у вершины октаэдра равна 240°. Из понятия правильного многогранника делаем вывод, что каждое ребра октаэдра имеет одинаковую длину, а грань — одинаковую площадь.

Обозначим длину ребра октаэдра как а, значит площадь полной поверхности октаэдра (S) и объём октаэдра (V) найдем из таких формул:

Радиус описанной сферы около октаэдра:

Радиус вписанной сферы около октаэдра:

Сумма длин всех ребер равна 24а.

Двугранный угол: α=2ϕ≈109,47°, где .

Видео:Развертка октаэдра - это легко! Как сделать октаэдр из бумаги?Скачать

Свойства октаэдра.

Октаэдр легко вписывается в тетраэдр, при этом 4 из 8-ми граней октаэдра совместятся с 4-мя гранями тетраэдра, каждая из 6-ти вершин октаэдра совместится с центрами 6-ти ребер тетраэдра.

Октаэдр легко вписывается в куб (гексаэдр), при этом каждая из 6-ти вершин октаэдра совместится с центрами 6-ти граней куба.

В октаэдр легко вписать куб, при этом каждая из 8-ми вершин куба будут располагаться в центрах 8-ми граней октаэдра.

У правильного октаэдра есть симметрия O_h, которая совпадает с симметрией куба.

Видео:Правильные и полуправильные многогранникиСкачать

Развёртка октаэдра.

Видео:Платоновы тела: Тетраэдр, Куб, Октаэдр, Икосаэдр, ДодекаэдрСкачать

Симметрия октаэдра.

3 из девяти осей симметрии октаэдра проходят сквозь противолежащие

вершины, 6 — квозь середины ребер.

Центр симметрии октаэдра — точка пересечения осей симметрии октаэдра.

3 из девяти плоскостей симметрии тетраэдра проходят сквозь все 4 вершины октаэдра, которые лежат в одной плоскости.

6 плоскостей симметрии проходят через 2 вершины, которые не принадлежат одной грани, и середины противолежащих ребер.

Видео:10 класс, 36 урок, Понятие правильного многогранникаСкачать

Октаэдр

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Окто» означает восемь, «хедра» — означает грань (октаэдр – восьмигранник).

Видео:8 причин прокрастинации - советы для студентов и школьников от лектора с физтехаСкачать

Поэтому на вопрос — «что такое октаэдр?», можно дать следующее определение: » Октаэдр это геометрическое тело из восьми граней, каждая их которых — правильный треугольник «.

Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти Платоновых тел .

Октаэдр имеет следующие характеристики:

• Тип грани – правильный треугольник;
• Число сторон у грани – 3;
• Общее число граней – 8;
• Число рёбер, примыкающих к вершине – 4;
• Общее число вершин – 6;
• Общее число рёбер – 12;

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.

Октаэдр имеет центр симметрии — центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Видео:4K Как построить правильный пятиугольник, how to draw a regular pentagonСкачать

Математические характеристики октаэдра

Октаэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.

Радиус описанной сферы октаэдра определяется по формуле:

, где a — длина стороны.

Сфера может быть вписана внутрь октаэдра.

Радиус вписанной сферы октаэдра определяется по формуле:

Площадь поверхности октаэдра

Для наглядности, площадь поверхности октаэдра можно представить в виде площади развёртки. Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон октаэдра (это площадь правильного треугольника) умноженной на 8. Либо воспользоваться формулой:

Объем октаэдра определяется по следующей формуле:

Октаэдр можно представить в виде двух правильных пирамид с четырехугольным основанием, соединенных друг с другом через это основание.

Видео:Многогранники : Тетраэдр, Октаэдр, Икосаэдр, Гексаэдр, ДодекаСкачать

Вариант развертки

Октаэдр можно изготовить самостоятельно. Бумага или картон самый подходящий вариант. Для сборки потребуется бумажная развёртка — единая деталь с линиями сгибов.

Древнегреческий философ Платон ассоциировал октаэдр с «земным» элементом воздух, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали серый цвет.

Заметим, что это не единственный вариант развертки.

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf и распечатать на листе формата А4:
— если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере — цветная развертка
— если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон — развертка

Классический вариант раскраски предполагает окраску октаэдра четырьмя различными цветами, причем таким образом, что каждая грань имеет свой цвет отличный от соседней и только противоположные не соприкасающиеся друг с другом грани окрашиваются в одинаковые цвета.

Вариант окраски представлен на рисунке. Вы можете скачать развертку с соответствующей раскраской граней.

Видео:Развертка тетраэдра - это легко! Как сделать объёмную правильную треугольную пирамиду из бумаги?Скачать

Видео. Октаэдр из набора «Волшебные грани»

Вы можете изготовить модель октаэдра воспользовавшись деталями для сборки из набора «Волшебные грани».

Сборка многогранника из набора:

Подробная сборка от Алексея Жигулева (youtube-канал PRO)

Подробная сборка от Алексея Жигулева (youtube-канал PRO)

вращение готового многогранника:

Видео:ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ: Тетраэдр, Гексаэдр, Октаэдр, Додекаэдр, Икосаэдр // СТЕРЕОМЕТРИЯСкачать

Видео. Вращение правильных многогранников

📺 Видео

8 класс, 22 урок, Первый признак подобия треугольниковСкачать

Икосаэдр из бумаги. Чертёж развертки икосаэдра.Скачать

Математический факт, который не помнят 98 выпускников школСкачать

Правильные многогранникиСкачать

Понятие правильного многогранника'Скачать

Икосаэдр из бумаги/Paper icosahedron/Правильный многогранник/DIYСкачать