Видео:Окружности касаются внешним образом #егэ2023 #математика #егэ #школа #shorts #fypСкачать
Окружности o1 и o2 касаются внешним образом
2021-11-14
Окружности с центрами $O_$ и $O_$ касаются внешним образом. В точках $A$ и $B$ их касается внешним образом третья окружность. Докажите, что прямая $AB$ проходит через точку пересечения общих внешних касательных к первым двум окружностям.
Пусть $r$ и $R$ — радиусы окружностей с центрами $O_$ и $O_$ соответственно. Предположим, что $rlt R$. Общие касательные к этим окружностям пересекаются на линии центров, т.е. на прямой $O_O_$, в некоторой точке $Q$. Пусть прямая $AB$ пересекает эту прямую в точке $P$. Докажем, что $O_P=O_Q$. Отсюда будет следовать утверждение задачи.
Пусть прямая, проходящая через точку $Q$, касается окружностей с центрами $O_$ и $O_$ в точках $C$ и $D$ соответственно. Опустим перпендикуляр $O_F$ на $O_D$. Тогда
Прямоугольные треугольники $O_CQ$ и $O_FO_$ подобны, поэтому $frac<O_C><O_Q>=frac<O_F><O_O_>$. Следовательно,
Пусть $O$ — центр третьей окружности, $x$ — её радиус. Применив теорему Менелая (см. 5231) к треугольнику $OO_O_$ и прямой $AB$, получим, что
Значит, $frac<O_P><O_P+R+r>=frac$. Отсюда $O_P=frac=O_Q$. Следовательно, прямые $CD$ и $AB$ пересекают линию центров $O_O_$ в одной и той же точке. Что и требовалось доказать.
Видео:Геометрия Две окружности с центрами O1 и O3 и радиусами 4,5 и 2,5 касаются друг с другом внешнимСкачать
Задание №1003
Видео:ОГЭ № 25. "Окружности касаются внешним образом... "Скачать
Условие
Две окружности, с центрами O_ и O_ соответственно касаются внешним образом. Из точки O_ проведена касательная O_K ко второй окружности ( K — точка касания ) , а из точки O_ проведена касательная O_L к первой окружности ( L — точка касания ) , точки касания K и L лежат по разные стороны от прямой O_O_.
а) Докажите, что angle O_KL=angle O_O_L.
б) Найдите радиус меньшей окружности, если дополнительно известно, что он в 4 раза меньше радиуса большей окружности, а площадь четырёхугольника O_KO_L равна 54+9sqrt.
Видео:ОГЭ. Понятный разбор задачи №26. Две окружности радиусов 44 и 77 касаются внешним образом...Скачать
Решение
а) По свойству касательной к окружности O_L perp O_L и O_K perp O_K. Прямоугольный bigtriangleup O_O_K вписан в некоторую окружность с диаметром O_O_.
Аналогично прямоугольный bigtriangleup O_O_L вписан в некоторую окружность с тем же диаметром. Следовательно, bigtriangleup O_O_K и O_O_L вписаны в одну и ту же окружность, то есть точки O_, O_, K , L лежат на окружности с диаметром O_O_. Значит, angle O_O_L и angle O_KL — вписанные и опираются на одну и ту же дугу O_L. Отсюда, angle O_KL=angle O_O_L.
б) Пусть O_L — радиус меньшей окружности. Обозначим его через r . Следовательно, O_K=4r. Тогда O_O_=r+4r=5r. Отсюда из bigtriangleup O_LO_ по теореме Пифагора O_L=sqrt=2sqrtr. Из bigtriangleup O_KO_ по теореме Пифагора O_K=sqrt=3r.
Из условия следует, что S_<O_KO_L>=54+9sqrt. Тогда (6+sqrt)r^2=54+9sqrt, (6+sqrt)r^2=9(6+sqrt), r=3.
Видео:Геометрия Две окружности радиуса R с центрами O1 и O2 касаются друг друга. Их пересекает прямаяСкачать
Окружности касаются внешним образом
Окружности радиусов 44 и 77 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Соединим центры окружностей — точки O1 и O2 — с точками A и C соответственно.
Обозначим O1A=r, O2C=R.
Проведём перпендикуляр AF к прямой CD и перпендикуляр O1N к прямой CO2.
AF — искомое расстояние между прямыми AB и CD.
Четырёхугольник AO1NC — прямоугольник (так как у него три угла прямые).
Рассмотрим прямоугольный треугольник O1O2N.
Продлим касательные AC и BD до пересечения в точке M. Проведём луч MO2.
Окружности с центрами в точках O1 и O2 вписаны в угол CMD, значит MP — биссектриса угла CMD.
MC=MD (как отрезки касательных, проведённых из одной точки). Значит треугольник CMD — равнобедренный с основанием CD. Следовательно, биссектриса MP является также его высотой.
В прямоугольном треугольнике CMP ∠MCP=90°-∠CMP.
В прямоугольном треугольнике CMO2 ∠CO2M=90°-∠CMP.
Отсюда ∠MCP=∠CO2M. Следовательно, прямоугольные треугольники AFC и O1NO2 подобны (по острому углу).
📹 Видео
Геометрия Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружСкачать
Три окружности касаются прямой и друг друга внешним образомСкачать
ОГЭ по математике. 9 класс. Задача 26. Вариант 5.Скачать
ОГЭ Задание 26 Внешнее касание двух окружностейСкачать
Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать
две окружности касаются внешним образом в точке КСкачать
Геометрия Окружности с центрами в точках O1 и O2 не имеют общих точек. Внутренняя общая касательнаяСкачать
ЕГЭ задание 16Скачать
Геометрия. Задача. Окружности.Скачать
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке КСкачать
ЕГЭ Задание 16 Три окружностиСкачать
ОГЭ по математике. Задача 26Скачать
Две окружности касаются внешним образом. ЕГЭ Задача 16Скачать
ОГЭ задание 26Скачать
Геометрия Две окружности радиусом R = 3 см и r = 1 см касаются внешним образом. Найти расстояние отСкачать