Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Прямоугольник. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Можно дать и другое определение прямоугольника.

Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Содержание
  1. Свойства прямоугольника
  2. Диагональ прямоугольника
  3. Окружность, описанная около прямоугольника
  4. Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника
  5. Периметр прямоугольника
  6. Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр
  7. Признаки прямоугольника
  8. Четырехугольники
  9. теория по математике 📈 планиметрия
  10. Выпуклый четырехугольник
  11. Виды и свойства выпуклых четырехугольников
  12. Прямоугольник
  13. Квадрат
  14. Параллелограмм
  15. Трапеция
  16. Виды трапеций
  17. Средняя линия трапеции
  18. Как найти площадь прямоугольника – 9 способов с формулами и примерами
  19. По диагонали и стороне
  20. По стороне и диаметру описанной окружности
  21. По радиусу описанной окружности и стороне
  22. По стороне и периметру – 1 способ
  23. По стороне и периметру – 2 способ
  24. По диагонали и углу между диагоналями
  25. По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – первый способ
  26. По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – второй способ
  27. 🌟 Видео

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Свойства прямоугольника

Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.

  • 1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
  • 2. Все углы прямоугольника прямые.
  • 3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
  • 4. Диагонали прямоугольника равны.
  • 5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.

Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.

Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.

Видео:Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148

Диагональ прямоугольника

Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см
Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см.(2)

Пример 1. Стороны прямоугольника равны Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см. Найти диагональ прямоугольника.

Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 смв (2), получим:

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Ответ: Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Окружность, описанная около прямоугольника

Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Видео:Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 46Скачать

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 46

Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.

Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть

( small R=frac )(3)

Подставляя (3) в (2), получим:

( small R=frac<large sqrt> )(4)

Пример 2. Стороны прямоугольника равны Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см. Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 смв (4), получим:

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см
Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Ответ: Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Периметр прямоугольника

Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Периметр прямоугольника вычисляется формулой:

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см(5)

где ( small a ) и ( small b ) − стороны прямоугольника.

Пример 3. Стороны прямоугольника равны Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см. Найти периметр прямоугольника.

Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 смв (5), получим:

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Ответ: Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Видео:2047 радиус окружности описанной около правильного треугольника равна 36 корней из 3Скачать

2047 радиус окружности описанной около правильного треугольника равна 36 корней из 3

Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр

Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ ( small d ) и периметр ( small P ) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие ( small frac P2>d ) (это следует из неравенства треугольника).

Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см(6)
Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см(7)

Из формулы (7) найдем ( small b ) и подставим в (6):

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см(8)
Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см(9)

Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной ( small a ):

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см(10)

Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 смОкружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см(11)

Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см(12)

После вычисления ( small a ), сторона ( small b ) вычисляется или из формулы (12), или из (8).

Примечание. Легко можно доказать, что

( frac

>d ; ⇒ ; P>2cdot d ; ⇒ ) ( small P^2>4 cdot d^2 ; ⇒ ; 4d^2-P^2 2d .) Следовательно выполняется неравенство (*).

Пример 4. Диагональ прямоугольника равна Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см, а периметр равен Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см. Найти стороны прямоугольника.

Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант ( small D ) из формулы (11). Для этого подставим Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см, Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 смв (11):

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Подставляя значения Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 сми Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 смв первую формулу (12), получим:

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Найдем другую сторону ( small b ) из формулы (8). Подставляя значения Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 сми Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 смв формулу, получим:

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Ответ: Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см, Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Видео:Вся геометрия 7-9 класса в 5 задачах | Математика | TutorOnlineСкачать

Вся геометрия 7-9 класса в 5 задачах | Математика | TutorOnline

Признаки прямоугольника

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Видео:Три окружности в прямоугольнике.Скачать

Три окружности в прямоугольнике.

Четырехугольники

теория по математике 📈 планиметрия

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Выпуклый четырехугольник

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 смОпределение

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Прямоугольник

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 смНа рисунке видно, что углы А, В, C и D прямые, то есть равны 90 градусов. Свойства прямоугольника, его периметр и площадь Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

  1. Противоположные стороны прямоугольника равны (АВ=CD, ВС=АD).
  2. Диагонали прямоугольника равны (АС=ВD).
  3. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  4. Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон: Р=(а + b) × 2, где а и b соседние (смежные) стороны прямоугольника
  5. Площадь прямоугольника – это произведение длин соседних (смежных) сторон, формула для нахождения площади прямоугольника:

S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 смСвойства квадрата

  1. Диагонали квадрата равны (BD=AC).
  2. Диагонали квадрата пересекаются под углом 90 градусов.
  3. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам (BO=OD, AO=OC).
  4. Периметр квадрата – это сумма длин всех сторон. Так как все стороны квадрата равны, то его можно найти по формуле Р=4×а, где а — длина стороны квадрата.
  5. Площадь квадрата – это произведение длин соседних сторон, формула для нахождения площади прямоугольника S=a 2 , где a — длина стороны квадрата.

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Виды трапеций

Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

углы А и С равны по 90 градусов

Средняя линия трапеции

Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.

Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.

По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30 0 и 135 0 , а СD =17

Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=90 0 , следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 135 0 – 90 0 =45 0 (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=45 0 , так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов).

Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а √ 2 , где с=17. Следовательно, CН = 17 √ 2 . . = 17 √ 2 2 . . .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН= 17 √ 2 2 . . . Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2 × 17 √ 2 2 . . =17 √ 2

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула

S = a + b 2 . . h , для которой у нас известны и основания, и высота. Подставим в неё эти значения и вычислим: S = 7 + 11 2 . . ∙ 7 = 18 2 . . ∙ 7 = 9 ∙ 7 = 63

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22 √ 2 . Найти диагональ этого квадрата.

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 22 √ 2 , то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 44 √ 2 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 44 √ 2 . Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а √ 2 , где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные:

с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле S= d 1 d 2 s i n a 2 . . , где d 1 и d 2 длины диагоналей четырехугольника, а – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 1 , если d 2 =16, sin a= 2 5 . . , a S=12,8

Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:

12,8= d 1 × 16 × 2 5 . . 2 . .

В правой части можно сократить 16 и 2 на 2: 12,8= d 1 × 8 × 2 5 . . 1 . .

Теперь умножим 8 на дробь 2 5 . . , получим 3,2: 12,8= d 1 × 3 , 2

Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Объектыяблонитеплицасарайжилой дом
Цифры

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Объектыяблонитеплицасарайжилой дом
Цифры3517

Записываем ответ: 3517

Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Номер магазинаРасход краскиМасса краски в одной банкеСтоимость одной банки краскиСтоимость доставки заказа
10,25 кг/кв.м6 кг3000 руб.500 руб.
20,4 кг/кв.м5 кг1900 руб.800 руб.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Видео:2089 Найдите диагональ прямоугольника вписанного в окружность радиус которой равен 5Скачать

2089 Найдите диагональ прямоугольника вписанного в окружность радиус которой равен 5

Как найти площадь прямоугольника – 9 способов с формулами и примерами

Самый простой способ – перемножить две стороны. Но иногда эти две стороны неизвестны.

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Умножьте его ширину на высоту. Это самый простой способ найти площадь прямоугольника. Например, если ширина прямоугольника равна 4 см, а высота – 2 см, то площадь будет равна 4*2 = 8 см.

Видео:Задача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128Скачать

Задача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128

По диагонали и стороне

Должна быть известна диагональ и любая из сторон. Действия:

  1. Найти квадрат диагонали, то есть умножить ее на саму себя.
  2. Найти квадрат известной стороны.
  3. Из квадрата диагонали вычесть квадрат стороны.
  4. Найти квадратный корень получившейся разности.
  5. Умножить его на известную сторону.

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Пример. Сторона прямоугольника равна 3 см, а диагональ – 5 см. Найдите площадь.

  1. Квадрат стороны = 3*3 = 9 см.
  2. Квадрат диагонали = 5*5 = 25 см.
  3. Вычитаю из квадрата диагонали квадрат стороны: 25-9 = 16 см.
  4. Нахожу квадратный корень получившейся разности. Корень из 16 = 4 см.
  5. Умножаю корень разности на известную сторону: 16*9 = 144 см.

Диагональ в прямоугольнике – это гипотенуза, потому что она всегда находится напротив угла в 90 градусов. Найти диагональ можно по формуле нахождения гипотенузы, например, поделив катет угла A на синус угла A.

Видео:Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математикаСкачать

Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математика

По стороне и диаметру описанной окружности

Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Вам надо знать диаметр этой окружности и любую из сторон прямоугольника.

  1. Найдите квадрат диаметра – умножьте диаметр на диаметр.
  2. Найдите квадрат известной стороны.
  3. Отнимите от квадрата диаметра квадрат стороны.
  4. Найдите квадратный корень разности.
  5. Умножьте квадратный корень на известную сторону.

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если диаметр описанной окружности равен 10 см, а одна из сторон равна 8 см.

  1. Квадрат диаметра: 10*10 = 100 см.
  2. Квадрат стороны: 8*8 = 64 см.
  3. Отнимаю от квадрата диаметра квадрат стороны: 100-64 = 36 см.
  4. Квадратный корень из 36 равен 6 см (потому что 6*6 = 36).
  5. Умножаю сторону на корень из разности: 8*6 = 48 см.

Диаметр описанной окружности всегда равен диагонали прямоугольника. Смотрите:

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

А найти диагональ можно по формуле гипотенузы прямоугольного треугольника.

Диаметр равен двум радиусам, потому что радиус – это половина диаметра.

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Видео:9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольник

По радиусу описанной окружности и стороне

Можно просто найти диаметр (умножить радиус на два) и использовать формулу выше.

  1. Найти квадрат радиуса (умножьте радиус на радиус).
  2. Умножить квадрат радиуса на 4.
  3. Найти квадрат известной стороны.
  4. Отнять от четырех радиусов в квадрате квадрат известной стороны (из второго отнять третье).
  5. Найти квадратный корень разности.
  6. Умножить корень на известную сторону.

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 5 см, а одна из сторон равна 6 см.

  1. Квадрат радиуса: 5*5=25 см.
  2. Четыре квадрата радиуса: 4*25 = 100 см.
  3. Квадрат стороны: 6*6 = 36 см.
  4. Отнимаю от четырех радиусов в квадрате квадрат стороны: 100-36 = 64 см.
  5. Нахожу квадратный корень разности. Корень из 64 равен 8 см.
  6. Умножаю корень на сторону: 8*6 = 48 см.

Радиус = половине диаметра.

Радиус = половине гипотенузы прямоугольного треугольника, вокруг которого описана окружность. Потому что эта гипотенуза = диагонали прямоугольника = диаметру.

Видео:Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?

По стороне и периметру – 1 способ

Периметр – это сумма всех сторон прямоугольника. P=a+b+a+b. Другая формула периметра: P=2(a+b).

Если известен периметр и одна сторона, надо найти вторую сторону и перемножить их.

Пример. Периметр прямоугольника равен 14 см, а одна из сторон равна 3 см. Найдите площадь.

  1. Нахожу вторую сторону прямоугольника:
    1. P=2(a+b).
    2. P=2a+2b.
    3. 14= 2*3+2b.
    4. 14 = 6+2b.
    5. 2b = 14-6 = 8.
    6. b = 8/2.
    7. b = 4.
  2. Нахожу площадь по основной формуле. S = 3*4 = 12 см.

Видео:Задача.Окружность и прямоугольник вписаны в квадрат.Скачать

Задача.Окружность и прямоугольник вписаны в квадрат.

По стороне и периметру – 2 способ

  1. Умножьте периметр на сторону.
  2. Найдите квадрат стороны.
  3. Умножьте квадрат стороны на 2.
  4. Отнимите от произведения периметра и стороны два квадрата стороны (от первого отнимите третье).
  5. Поделите на 2.

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Пример. Сторона прямоугольника равна 8, а периметр равен 28. Найдите площадь.

  1. Умножаю периметр на сторону: 8*28 = 224 см.
  2. Нахожу квадрат стороны: 8*8 = 64 см.
  3. Умножаю квадрат стороны на два: 64*2 = 84 см.
  4. Отнимаю из первого третье: 224-84 = 140 см.
  5. Делю разность на два: 140/2 = 70 см.

Видео:Математика ОГЭ Задание 26 Прямоугольный треугольник Описанная и вписанная окружностиСкачать

Математика ОГЭ  Задание 26 Прямоугольный треугольник Описанная и вписанная окружности

По диагонали и углу между диагоналями

Диагонали прямоугольника всегда равны.

  1. Найти квадрат диагонали (умножить диагональ на саму себя).
  2. Найти половину этого квадрата – умножить его на 0,5.
  3. Найти синус угла между диагоналями.
  4. Умножить половину квадрата диагонали на синус угла между диагоналями.

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Пример. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями – 30 градусов.

  1. Квадрат диагонали: 10*10 = 100 см.
  2. Половина этого квадрата: 0,5*100 = 50 см.
  3. Синус угла между диагоналями: sin 30 градусов = 0,5.
  4. Перемножаю половину квадрата и синус угла, чтобы найти площадь: 50*0,5 = 25 см.

Вот еще вам таблица основных значений из тригонометрии. Там как раз отмечено, что синус 30 градусов всегда равен 0,5 (1/2).

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Видео:ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – первый способ

Радиус описанной окружности равен половине ее диаметра, а диаметр равен диагонали прямоугольника. Надо найти диаметр и посчитать площадь по формуле выше.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 6 см, а угол между диагоналями – 30 градусов.

  1. Находим длину диагонали: 6*2 =12 см.
  2. Квадрат диагонали равен 144 см.
  3. Половина квадрата: 72 см.
  4. Синус 30 градусов равен 0,5.
  5. Умножаем половину квадрата на синус: 72*0,5 = 36 см.

Видео:Задача.Окружность и прямоугольник вписаны в квадрат.Скачать

Задача.Окружность и прямоугольник вписаны в квадрат.

По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – второй способ

  1. Найти квадрат радиуса (умножить радиус на радиус).
  2. Умножить квадрат радиуса на два.
  3. Найти синус угла между диагоналями.
  4. Умножить синус угла на два радиуса в квадрате.

Окружность вписанная в прямоугольник сторона прямоугольника равна 5 см

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 6, а угол между диагоналями – 30 градусов.

  1. Квадрат радиуса: 6*6 = 36.
  2. Два радиуса в квадрате: 36*2 = 72.
  3. Синус 30 градусов равен 0,5.
  4. Произведение синуса и двух радиусов в квадрате: 72*0,5 = 36 см.

Покритикуйте статью и стиль подачи материала в комментариях, я внесу правки. Это моя вторая статья по математике, я хочу, чтобы они все были образцовыми.

🌟 Видео

Прямоугольник и окружностьСкачать

Прямоугольник и окружность

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16
Поделиться или сохранить к себе: