Окружность разделена параболой на две части найти площади обеих частей

§ 50. Геометрическое приложение определённого интеграла

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Вычислить площадь параболического сегмента, отсечённого от параболы у2 = ах (о > 0) прямой х — Ь (см. рис. %>-

-Параболический сегмент ограничен сверху графиком кривой У2 = — ¦/ах, снизу графином кривой у = —fax и справа прямой х — Ь. Имеем:

Пример 2. Найти площадь, ограниченную параболой у — х2 и прямой х 4- у — 2 — 0 (см. рис. 97).

Решение. Найдём абсциссы xi и х^ точек пересечения Ли В пря-мой аг-Ьу — 2 = 0и параболы у ¦ решая совместно эти уравнения. Имеем: х^ + х — 2 = 0, т.е. х: — -2, хч — I. Тогда

Пример 3. Вычислить площадь, ограниченную параболами у = = 4 — х2, у = X2 — 2х (см. рис, 98),

Решение. Найдем абсциссы Яі и точек А и В пересечения параОол: 4-х7 — х2 — 2х х2 — х — 2 = Os = 2, Тогда

2 ^ ,2 = J (4-2®a + 2ar) неза штрихованной — причём S2 — 7tR2 — Si = Sir — Si. Найдём Si. На отрез ках OD и DC соответствующие криволинейные трапеции ограничены сверху и снизу кривыми, имеющими разные уравнения.

S = SOADBO + SQACBD

= j [v^ — + j [ye xa — ^—/8-л2^] dx.

Абсциссу хп найдём совместным решением уравнений окружности и параболы: у — & — ху2 = 2х отсюда 2х = 8 — х2 ИЛИІ1 + 2Ї-8 = 0, X> = —4> Х2

Точка С есть пересечение окружности а:2 4- j/2 ¦=? 6 с осью Ох, поэтому — 8, хс (Зс > 0). Следовательно,

= 2 dx + 2 у/&-х2 + 2J.

Для вычисления / воспользуемся результатом примера Имеем

i ф-ііу)) и прямыми у = 0 при а где ,2 і a — « где с»5 = ¦ 72 .

Длина дуги синусоиды у — с cose, 0 ^ я ^ 2тг равна

= J yf+liF ^ = 4 j Vl + c2^2®

-4- с2 cos2 f fit —

= «j* VTT^- с2sin2tdt — (fc,ї), fc= ) = [ fT

k2 зіи21 dt нааыпается эллиптическим интегралом

и через элементарные функции не выражается; для ник составлены таблицы при различных значениях к и tp.

Пример 12. Найти длину линии у = 1па- от Xi = л/3 до x 3 (см. рис. П1);

a) S, — | j (6stat-3)(-2eint)A =

У („а + со» И +ЛК)Л = 6 + ^ — V^) =

Пределы интегрирования (ij и І2) найдены из уравнения Gsinfc 3

и равны ti ¦= гц-. ?з =

6) & = j [у — 4) dx = 4 I [4(1 — cost) — 4](1 — cost) dt —

Пределы интегрирования ti = t^ = ^ найдены из уравнения 4 =

— 4(1 — cosi)» COS4 = 0.

b)Sb = 2 f 2/2 sin11 12/2 cos2 isiai) dt

= -24 j Sin2 t sina 2t dt = -12 J (1 — co$2?) sin2 21 dt

= -6 (t — і sin — I siti3 2t

Пример 14, Найти длину дуги кривой. заданной параметрическн.

а) х я= 4fa>s? +t sin t)r у = Длина дуги в этом случае

определяется формулой (х[ > 0)

х = R він t, dx = Л cos ? dx, S = ii — I2 — Ц — l).

Пример 18. Найти объём тела, ограниченного поверхностями х2 4- + у2 ^ н s2 + у2 4- z2 ^ 2Дат.

Решение. Совместное решен не уравнения конуса а;2 + = 3-z2

и шара г2 4* ї/3 ™ (г — — R2 да?т г — 0, г — — R (см. рис, 117). Искомый объём равен V = V2 — V]., где

Kl = | 5К ds = j + dz — j 3itz2dz = 0 0 0

SK — площадь поперечного сечения конуса,

j j ir(x2+y2)dz = І x(2zR

— площадь поперечного сечении шара. Искомый объём равен 1/ — Я11.

Пример 19. Найти объём тела, ограниченного поверхностями х2 + у2 — 5 — г н х2 4- у2 = 4z <см, рис, 118), 2. 5 Н

/ ч 1 0 X у Рис I1S

Решение. Совместное решение уравнений двух параболоидов даёт 5 — z = 4z, z 1, Иском мй объём равен

4zdz + Jtt(5 — z)dz— Ютг,

Пример 20. Найти объём тела, ограниченного поверхностями х2 + у2 = и х2+у

=2г2 -1 (см, рис. П9). Z

Решение, Совместное решение уравнения конуса х^ у* = z1 и двухполостного гиперболоида х

— 2z2 — 1 даёт z = 1, = —1.

Искомый объём равен V — 2(УК — Vf), где объём конуса irR2h —

h = 1, Я = 1, a Vr — j тг(2z* — 1) dz = | (л/2 — 1) ,

тогда V Щ- (2 — у/2) .

Пример 21« Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями = + уг = — 1 и і = 0, а также площадь этой фигуры (см,рис.

К — 7Г | (у?» 1/1) da * | (Зс

S — | (fft — = Йх — -h

Пример 22, Фигура ограничена линиями у = /(a:)t у = 0, х — х = Ь, В какой точке Мі(?ьуі) графика фуЕікцнн у = f(x) нужно провести касательную к нему так, чтобы она отсекала от фигуры трапеиню наибольшей площади? (см. §36),

Решение, Уравнение касательной в точке Afi(asi,j/x) графика функции у = f(x) есть у — Дяі) — — ^i), а площадь трапеции

Из условия ^^ = 0 находим (xi — /»C^i) = далее см. § 36,

Ответ: її — jft =в /(®i).

Пример 23. Прн как ил значениях параметра А» площади ограни-ченная линиями,

]) у = х 4- 2х — 4 и у = kx 2) у

Решение. Площадь фигуры, ограниченной линиями у =; аз2 + 4- Ьх н- с и у = кх +¦ bi, определяется формулой

S | | (уг — yi) dx j = J J (foe + fci — ax2 —

(fc — 6)(»1 + sa) — | (a? + ЦХ2 +®a)] J ‘

Предполагается, постоянные a, c, f>i такие, что прямая и парабола пересекаются, тогда точки пересечения находятся из уравнения ах2 -Ь + bx -h с ^ кх + bi или ах2 + х(Ь — fc) + с — Ец = 0. Отсюда

При ?> > О парабола и прямая пересекаются, D =0 парабола касается прямой а при D i), решение которой определяется условиями задачи.

1) Пусть ух = х2 + 2а: — 4 н у2 = кх, Тогда S<k) —

2) Пусть = ж2 — 4 и у2 ^ кх + 3, тогда S(k) = і (Л2 + 28)3’*

54*) = о при Аг — 0, тогда S(0) = Щvf,

Пример 24- Через данную точку М0(:со51/о). лежащей внутри параболы у — ах2 4- 4- с, дровссти прямую, отсекающую от параболы сегмент наименьшей площади.

Решение. Зап ишем прямую в виде I/ — 2/о — — ^о) » тогда площадь сегмента есть

где xi и лг^ абсциссы точек пересечения прямой и параболы определи ЕОТСЯ из уравнения у0 4- к(х — = ах2 toe -i- с или ах1, 4- — Л)4 + ? — Уо 4* fc^O — О И равны

(Ь- к)2 — 4а(с -уо+ кх0).

Подставляя xi и х2 в формулу для площади сегмента, получим

Из условия S'(k) — 0 находим к = Ь 4- 2oxq.

(уо — axj — йхо — с)’? .

Заметим, что прямая с угловым коэффициентом к

Ь—2ахо, про ходящая через точку Mo(z0)i/0), параллельна касательной к параболе у — ах2 4- Ьх 4-с в точке А1г(х0; org 4- Ьх0 + с). Если точка А/п(яо,!Л>) лежит на параболе, то у0 = ах^ 4- 4- с н Snijn = 0.

Пример 25. Прямая, проходящая чере^ точку Аґ0(я0іуо) образует с положи тельными полуосями координат треугольник. Найти мини 390

Таким образом, площадь сегмента будет иметь наименьшее значе-ние при угловом коэффициенте к = Ь + 2аго, при этом

дельное значение площади треугольника н написать уравнение этой прямой (см. задачу 3 §4),

Решение. Площадь треугольника S = ^ аб, а уравнение прямой

& отрезках (-7 = 1 Тогда — -Е- ^ = 1, а =

Аз уравнения -г- = 0 нашшм b— 2уа Искомая площадь Smin —

а — уравнение прямой есть — + = 1.

Пример 26. Фигура ограничена линиями у’^ (зс+2)2, у = О, О- Под каким углом к оси Ох надо провести прямые через точку (0,4), чтобы они разбивали фигуру на три равновеликие части (см. рис, 121). Решение.

(я + З)2da; = і (л + 2)а|° — |.

Так как Soon = Scbd *= Sbad> tbOD-OC= OD(OB — ОС) = = I — OD-OB или ОС = ВО — ОС т І — OB. Отсюда ОС —

ОБ —- Тогда искомые углы равны а і « arctg ^^ — arctg 9, аг = f OD , &

Пример 27, Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми;

О У = |2 — |a?|j, у = 0f х = я = 4;

2) у — -ь х — 2|, у = 0, я = -2h ж — 2. у j j j D< 0,4) УН А ВС О х Рнс. 121

Решение, I) График функция у = |2 — |z| f показан з §38, Величина искомой площади равна сумме трех треуголыгикоа

3 = ^ ¦ 2 ¦ 2 -Ь ^ ¦ 4 ¦ 2 Н- ^ ¦ 2 * 2 — &

2) График функции у = ^х’2 4 — 2f изображён в §ЗЙ. Искомая площадь с учётам того, что данная функция является чётной функцией, равна

S = 2 | (і3 + х — 2) dx 4 2 f + .г — 2) сіх = | 4 у — 6.

Пример 28, Найти площадь фигур, ограниченной графиком функции у = $ 4 5 н касательными, проведёнными к этому графику в точках с абсциссами я = 0, х = 2 (см. рис. 122).

Решение. Так как уравнения касательных к графику функции у = X2 + 5 есть: у

5; 4х — у 4- 1 = 0, то искомая площадь равна (см, рис.)

5 = ^ЛЛ- Злэсго — Sbcd = j (з2 + 5) das — AC — CF —

Пример 29, Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и делящей криволинейный треугольник с вершиной в начале коорлинат, ограниченный линиями у = 2х — х2, у = О, х — 1, на две равновеликие части (см. рис. 123). У1 и О z^iq іс «7 1 А г Рис. 123

Решение. Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид у = кх.

Зове = ОС-СБ = і Сії ^ I fc, так как ОС = 1, tga= fc =

So ас =| (2а- — = 2 Socb или — — к, отсюда к — -.

Уравнен не искомой прямой есть у = » х.

Пример 30. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной графиками функция аг 4* (у — а)* == = 1 (а > 1),

Решение. Искомый объём определяется го формуле

Ух = т J (у? — УІ) dx, где == О. ± /l — X2 ,

так как у — = 4а/1 — х2 „ то

Vx = it J 4а V* — я2 = 8їга j Vl — x2 dx = — J = 2тг2а,

Пусть кривая задагіа в полярной системе координат г = /¦( ) (см. § 7). В этом случае площадь сектора, ограниченного кривой г и ра

диусами-векторами if — Of и у — Т&п г

ЕСЛИ кривая есть окружность г = R, 0 ^ tp ^ 2тг, то

Ь = | + dtp = = 2тгR. о

Пример 31. Найти в полярной системе координат площадь и длину лунки, ограниченной дугами окружностей х1 у2 — 2Rx и х2 + у2

Решение. Уравнения заданных окружностей в полярной системе координат есть: т — 2Ясо5 ) dp ^ *r/4

Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.

Площадь фигуры в декартовой системе координат. Примеры

Уравнение верхней и нижней границы:

Окружность разделена параболой на две части найти площади обеих частей

Окружность разделена параболой на две части найти площади обеих частей

Окружность разделена параболой на две части найти площади обеих частей

Пример 2

В каком отношении парабола y 2 = 2 x делит площадь круга x 2 + y 2 = 8 ?

Точки пересечения: x 2 + 2 x – 8 = 0 → x 1 = –4, x 2 = 2 ( x > 0) .

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Упражнения

1. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = sin 4 φ .

2. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = cos φ .

3. Для параболы x 2 = 4 ay выберем в качестве полярной оси луч, идущий по оси Oy с началом в фокусе F (0, a ) параболы. Переходя от де­картовых к полярным координатам, покажите, что парабола с выколотой вершиной задается уравнением

Окружность разделена параболой на две части найти площади обеих частей .

4. Докажите, что уравнение

Окружность разделена параболой на две части найти площади обеих частей

задает эллипс, если 0 Окружность разделена параболой на две части найти площади обеих частей Окружность разделена параболой на две части найти площади обеих частей > 1.

5. Нарисуйте спираль Архимеда, заданную уравнением r = — φ . Чему равно расстояние между соседними витками этой спирали?

6. Человек идет с постоянной скоростью вдоль радиуса вращающейся карусели. Какой будет траектория его движения относительно земли?

7. Нарисуйте гиперболическую спираль , задаваемую уравнением r = Окружность разделена параболой на две части найти площади обеих частей .

8. Нарисуйте спираль Галилея , которая задается уравнением r = a Окружность разделена параболой на две части найти площади обеих частей 2 ( a > 0). Она вошла в историю математики в XVII веке в связи с задачей нахождения формы кривой, по которой двигается свободно падающая в области экватора точка, не обладающая начальной скоростью, сообщаемой ей вращением земного шара.

9. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = | Окружность разделена параболой на две части найти площади обеих частей |.

10. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = Окружность разделена параболой на две части найти площади обеих частей .

11. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = Окружность разделена параболой на две части найти площади обеих частей .

12. Найдите параметрические уравнения: а) спирали Архимеда; б) логарифмической спирали.

1. Березин В. Кардиоида //Квант. – 1977. № 12.

2. Березин В. Лемниската Бернулли //Квант. – 1977. № 1.

3. Берман Г.Н. Циклоида. – М.: Наука, 1975.

4. Бронштейн И. Эллипс. Гипербола. Парабола / Такая разная геометрия. Составитель А.А. Егоров. – М.: Бюро Квантум, 2001. — / Приложение к журналу «Квант» № 2/2001.

5. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые. – 3-е изд. – М.: МЦНМО, 2000.

6. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. – М.- Л.: Гос. изд. течн. – теор. лит., 1951. — / Популярные лекции по математике, выпуск 4.

7. Савелов А.А. Плоские кривые. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960.

8. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Кривые. Курс по выбору. 9 класс. – М.: Мнемозина, 2007.

9. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2011.

10. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Компьютер помогает геометрии. – М.: Дрофа, 2003.

🎦 Видео

Задачи с окружностью на ОГЭ, тестовая частьСкачать

Задачи с окружностью на ОГЭ, тестовая часть

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математика

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!

Понятный разбор Ященко вариант 1 ОГЭ по математике 2023 | УмскулСкачать

Понятный разбор Ященко вариант 1 ОГЭ по математике 2023 | Умскул

Задачи из ОГЭ. Задания 1-5. Вебинар | МатематикаСкачать

Задачи из ОГЭ. Задания 1-5. Вебинар | Математика

Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать

Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131

Графики №11. Парабола(ОГЭ)Скачать

Графики №11. Парабола(ОГЭ)

ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

Удалили с экзамена ОГЭ Устное Собеседование shorts #shortsСкачать

Удалили с экзамена ОГЭ Устное Собеседование shorts #shorts

Профильный ЕГЭ 2023 математика Ященко вариант 1Скачать

Профильный ЕГЭ 2023 математика Ященко вариант 1

Разбор варианта ОГЭ Статград от 12 ноября 2019Скачать

Разбор варианта ОГЭ Статград от 12 ноября 2019

6 вариант ЕГЭ Ященко 2023 математика профильный уровень 🔴Скачать

6 вариант ЕГЭ Ященко 2023 математика профильный уровень 🔴

ПОЛНЫЙ РАЗБОР ДЕМОВЕРСИИ ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2024Скачать

ПОЛНЫЙ РАЗБОР ДЕМОВЕРСИИ ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2024

Задача про соотношение сторон. Геометрия 7 класс.Скачать

Задача про соотношение сторон. Геометрия 7 класс.

№578. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением: а) х2+y2+z2 = 49; б) (x — 3)2Скачать

№578. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением: а) х2+y2+z2 = 49; б) (x — 3)2
Поделиться или сохранить к себе: