Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Окружность

Окружность — это геометрическая фигура, образованная замкнутой кривой линией, все точки которой одинаково удалены от одной и той же точки.

Точка, от которой одинаково удалены все точки окружности, называется центром окружности. Центр окружности обычно обозначают большой латинской буквой O:

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Окружность делит плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю. Геометрическая фигура, ограниченная окружностью, — это круг:

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Построение окружности циркулем

Для построения окружности используют специальный прибор — циркуль:

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Установим циркулю произвольный раствор (расстояние между ножками циркуля) и, поставив его ножку с остриём в какую-нибудь точку плоскости (например, на листе бумаги), станем вращать циркуль вокруг этой точки. Другая его ножка, снабжённая карандашом или грифелем, прикасающимся к плоскости, начертит на плоскости замкнутую линию — окружность:

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Радиус, хорда и диаметр

Радиус — это отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром. Радиусом также называется расстояние от точки окружности до её центра:

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Все радиусы окружности имеют одну и ту же длину, то есть они равны между собой. Радиус обозначается буквой R или r.

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром окружности.

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Диаметр обозначается буквой D. Диаметр окружности в два раза больше её радиуса:

Дуга — это часть окружности, ограниченная двумя точками. Любые две точки делят окружность на две дуги:

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Чтобы различать дуги, на которые две точки разделяют окружность, на каждую из дуг ставят дополнительную точку:

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Для обозначения дуг используется символ Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая:

  • Окружность радиус диаметр хорда касательная секущаяAFB — дуга с концами в точках A и B, содержащая точку F;
  • Окружность радиус диаметр хорда касательная секущаяAJB — дуга с концами в точках A и B, содержащая точку J.

О хорде, которая соединяет концы дуги, говорят, что она стягивает дугу.

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Хорда AB стягивает дуги Окружность радиус диаметр хорда касательная секущаяAFB и Окружность радиус диаметр хорда касательная секущаяAJB.

Видео:Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

Окружность, касательная, секущая и хорда | Математика

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущаяОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Окружность радиус диаметр хорда касательная секущаяСвойства хорд и дуг окружности
Окружность радиус диаметр хорда касательная секущаяТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Окружность радиус диаметр хорда касательная секущаяДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Окружность радиус диаметр хорда касательная секущаяТеорема о бабочке

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Видео:Окружность / Касательная, хорда, секущая / задача из ЕГЭ #27858Скачать

Окружность / Касательная, хорда, секущая / задача из ЕГЭ #27858

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая
КругОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая
РадиусОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая
ХордаОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая
ДиаметрОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая
КасательнаяОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая
СекущаяОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая
Окружность
Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Окружность / Касательная, хорда, секущая / задача из ЕГЭ #27862Скачать

Окружность / Касательная, хорда, секущая / задача из ЕГЭ #27862

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеОкружность радиус диаметр хорда касательная секущаяДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыОкружность радиус диаметр хорда касательная секущаяЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныОкружность радиус диаметр хорда касательная секущаяБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиОкружность радиус диаметр хорда касательная секущаяУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыОкружность радиус диаметр хорда касательная секущаяДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Решу ОГЭ по математике. 16 задание. Окружность, радиус ,касательная ,секущая, хордаСкачать

Решу ОГЭ по математике. 16 задание. Окружность, радиус ,касательная ,секущая, хорда

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Пересекающиеся хорды
Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая
Пересекающиеся хорды
Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Тогда справедливо равенство

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Радиус Хорда ДиаметрСкачать

Радиус Хорда Диаметр

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:16_2. Касательная, хорда, секущая, радиус. Готовимся к ОГЭ легко!Скачать

16_2. Касательная, хорда, секущая, радиус. Готовимся к ОГЭ легко!

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки (центра).

Равные отрезки, соединяющие центр с точками окружности, называются радиусами.

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущаяОкружность радиус диаметр хорда касательная секущаяОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Круг — часть плоскости, лежащая внутри окружности.

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Видео:ЗАДАНИЕ 1 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). ХОРДА, КАСАТЕЛЬНАЯ И СЕКУЩАЯ.Скачать

ЗАДАНИЕ 1 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). ХОРДА, КАСАТЕЛЬНАЯ И СЕКУЩАЯ.

Хорда, дуга, диаметр

Прямая, проходящая через две точки окружности, называется секущей, а ее отрезок, лежащий внутри окружности, — хордой. Хорда, проходящая через центр О, называется диаметром. Диаметр равен двум радиусам.

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущаяОкружность радиус диаметр хорда касательная секущаяОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Часть окружности называется дугой.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности.

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущаяОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущаяОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

Касательная к окружности

Касательная — прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущаяОкружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Обратная теорема (признак касательной). Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Видео:Секущая и касательная. 9 класс.Скачать

Секущая и касательная. 9 класс.

Определение сегмента, сектора*

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Перпендикуляр, проведенный из середины хорды до пересечения с дугой называется стрелкой дуги. Длина стрелки называется высотой сегмента.

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, проведенными к концам дуги.

Окружность радиус диаметр хорда касательная секущая

Сектор, отсекаемый радиусами, образующими угол 90 0 , называется квадрантом.

📸 Видео

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

ОГЭ 2022. Задание 16. Касательная, хорда, секущая. Основные теоремы для решения задач + много задачСкачать

ОГЭ 2022. Задание 16. Касательная, хорда, секущая. Основные теоремы для решения задач + много задач

БЕСПЛАТНЫЙ КУРС: ОКРУЖНОСТИ. УРОК 2: ПРАКТИКА. ОГЭ: КАСАТЕЛЬНАЯ, ХОРДА, СЕКУЩАЯ, РАДИУС.Скачать

БЕСПЛАТНЫЙ КУРС: ОКРУЖНОСТИ. УРОК 2: ПРАКТИКА. ОГЭ: КАСАТЕЛЬНАЯ, ХОРДА, СЕКУЩАЯ, РАДИУС.

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

ОГЭ математика 10 минут на подготовку. Задание 16 касательная хорда секущаяСкачать

ОГЭ математика 10 минут на подготовку. Задание 16 касательная хорда секущая

РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?Скачать

РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?

Окружность / Касательная, хорда, секущая / задача из ЕГЭ #27859Скачать

Окружность / Касательная, хорда, секущая / задача из ЕГЭ #27859
Поделиться или сохранить к себе: