Окружность концентрическая с заданной есть множество точек плоскости (3 видео)

Метод осевой симметрии

Две точки плоскости М и Мґ называются симметричными относительно прямой s, если они расположены на одном перпендикуляре к прямой s и прямая s делит отрезок ММґ пополам. Преобразование, при котором каждой точке данной фигуры ставится в соответствие точка, симметричная ей относительно прямой s, называется осевой симметрией или отражением в прямой s. Прямая s называется при этом осью симметрии.

Метод симметрии состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются также фигуры, симметричные некоторым из них относительно некоторой оси. При удачном выборе оси и преобразуемой фигуры решение задачи может значительно облегчиться, а в иных случаях симметрия непосредственно даёт искомые точки. [4]

Содержание

Метод геометрических мест точек
Решение задач на построение методом пересечений
СТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ
Метод геометрических мест (пересечения фигур)
Задачи для самостоятельного решения
🔥 Видео

Видео:Построение областей по заданным условиямСкачать

Метод геометрических мест точек

Геометрическая фигура может быть задана различными способами: как пересечение или соединение данных фигур, путём указания определяющего её свойства, путём указания свойства, которым обладает каждая её точка, и т.п. Если фигура задана путём указания свойства, которым обладают все точки этой фигуры и только они, то такую фигуру называют геометрическим местом точек, обладающих указанным свойством (ГМТ).

Таким образом, геометрическим местом точек плоскости, обладающих указанным свойством, называется фигура, состоящая из всех тех и только тех точек плоскости, которые обладают этим свойством.

Свойство, при помощи которого характеризуется то или иное геометрическое место точек, называется характеристическим свойством точек этого геометрического места.

Часто новые фигуры вводятся в геометрию именно как геометрические места, например, окружность — в школьном курсе геометрии, эллипс, гипербола и парабола — в курсе аналитической геометрии. При составлении уравнений линий в аналитической геометрии их рассматривают именно как ГМТ.

ГМТ может быть не только линией или совокупностью нескольких линий, но также конечной совокупностью точек, областью плоскости и др. Может оказаться также, что ГМТ, обладающих некоторым указанным свойством, вовсе не существует.

Не следует смешивать нахождение ГМТ с его построением: первое само по себе не предполагает второго; иногда найденное ГМТ и не может быть построено с данным набором инструментов.

В анализе решения задачи на нахождение ГМТ обычно начинают с того, что на чертеже изображают данную фигуру и рассматривают какую-либо точку, принадлежащую по предположению искомому ГМТ. Устанавливают некоторые связи этой точки с данными элементами, вытекающими из определения ГМТ и помогающие определить его форму и положение. Анализу способствует рассмотрение какого-либо частного случая или же непосредственное построение нескольких точек, принадлежащих ГМТ. В результате анализа приходим к предположительному решению задачи, которое требует ещё обоснование, т.е. доказательства.

В ходе доказательства устанавливается справедливость двух взаимно обратных предположений: 1) что всякая точка найденной (в анализе) фигуры обладает характеристическим свойством точек искомого ГМТ и 2) что каждая точка, обладающая указанным характеристическим свойством, принадлежит найденной при анализе фигуре. Полезно иметь в виду, что доказательство предположения 2) может быть заменено доказательством следующего предположения 2ґ): если какая-либо точка не принадлежит найденной фигуре, то она не обладает указанным характеристическим свойством.

Исследование заключается в рассмотрении различных случаев, которые могут представиться при решении задачи в зависимости от того или иного выбора данных.

Многие ГМ точек удобно использовать в процессе решения задач на построение. Для этого необходимо знать эти множества и уметь их строить. ГМТ могут иметь несколько характеристических свойств, каждое из которых можно использовать для определения и построения самого множества. Рассмотрим наиболее часто используемые геометрические места точек плоскости:

1. ГМ точек, удаленных от некоторой точки О на расстоянии r, есть окружность с центром в точке О и радиусом r.
2. ГМ точек, равноудаленных от двух данных точек А и В, есть серединный перпендикуляр отрезка АВ.
3. ГМ точек, удаленных от данной прямой на расстояние a, есть совокупность точек двух прямых, параллельных данной прямой и отстоящих от неё на расстоянии а.
4. ГМ точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых, есть прямая, параллельная данным прямым и отстоящая от них на одинаковом расстоянии.
5. ГМ точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, есть совокупность точек двух прямых, содержащих биссектрисы четырёх углов, образованных при пересечении данных прямых.
6. ГМ точек, равноудалённых от сторон угла АОВ, указано на рис. 8. Оно состоит из точек биссектрисы ОМ и точек плоского угла LON, где луч OL перпендикулярен стороне ОА, а луч ON перпендикулярен стороне ОВ.
7. ГМ точек, из которых данный отрезок АВ виден под данным углом б, состоит из двух дуг с концами в точках А и В, симметричных относительно прямой АВ, причем точки А и В этому ГМ точек не принадлежат. Способ построения этого множества указан на рис. 9.

8. ГМ точек, из которых данная окружность радиуса r видна под данным углом б, является окружностью, концентрической с данной окружностью, и с радиусом R (Рис. 30):

9. ГМ середин равных хорд данной окружности есть окружность, концентрическая с данной окружностью и касающаяся этих хорд (рис. 31).
10. ГМ середин хорд, проведенных в данной окружности из одной точки, есть окружность, построенная на соответствующем радиусе как на диаметре (рис. 32).
11. ГМ точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек А и В есть величина постоянная, равная кІ, является окружностью. Центром этой окружности служит середина отрезка АВ, а диаметр равен v2кІ-а, где а — длина отрезка АВ.

12. ГМ точек, для которых разность квадратов их расстояний от двух данных точек А и В есть величина постоянная, равная аІ, есть прямая, перпендикулярная прямой АВ и проходящая через точку прямой, для которой это соотношение выполняется (рис. 33).
13. ГМ точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек равно m:n=л, где л>0, л=const и л?1, есть окружность (окружность Аполлония) (рис 34).

14. ГМ точек, отношение расстояний которых до данной точки А и данной прямой h есть величина постоянная, является коническим сечением.
15. Пусть а-данная прямая, S-центр пучка лучей, исходящих из этой точки. На каждом луче отметим точки, находящиеся на одинаковом расстоянии s от прямой, а вдоль по лучу пучка. Множество этих точек называется конхоидой Никомеда.
16. Рассмотрим окружность, касательную к окружности в некоторой её точке А, пучок лучей с центром в точке окружности S, диаметрально противоположной к точке А. На каждом луче пучка SQ отложим отрезок SМ, равный отрезку РQ, где Р-точка пересечения луча с окружностью, а Q- с касательной в точке В. Множество полученных точек М называется циссоидой Диоклеса.

Известны многие другие множества точек, обладающие интересными геометрическими свойствами. [1]

Видео:ГМТ // ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕКСкачать

Решение задач на построение методом пересечений

Суть метода: задачу сводят к построению одной точки X (основного элемента построения), которая удовлетворяет двум условиям а) и b) вытекающим из постановки задачи. Пусть ₁ — множество точек, удовлетворяющих условию а), ₂ — множество точек, удовлетворяющих условию b). Тогда X=₁₂. При этом, предполагается, что и должны допускать построение с помощью циркуля и линейки.

Примеры наиболее часто применяемых множеств при построении.

1. Множество точек плоскости, равноудалённых от точек A и B, есть серединный перпендикуляр к отрезку AB.
2. Множество точек плоскости, находящихся на данном расстоянии d от данной прямой l, есть две прямые l₁l₂ параллельные к l.
3. Множество точек плоскости, равноудалённых от двух данных параллельных прямых l₁ и l₂, есть прямая, являющаяся их осью симметрии.
4. Множество точек плоскости, равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых l₁ и l₂, есть две взаимно перпендикулярные прямые, содержащие биссектрисы углов, образованных l₁ и l₂.
5. Множество точек плоскости, из которых отрезок AB виден под прямым углом, есть окружность (без самих точек A и B), построенная на AB, как на диаметре.
46
6. Множество точек плоскости, из которых отрезок AB виден под углом (0,90)(90,180), есть две дуги окружностей с общими концами A и B (без самих точек A и B), симметричные относительно прямой AB.
46
46
46
7. Множество точек плоскости, из которых данная окружность видна под углом 180, есть окружность 1, концентрическая с и имеющая бульший радиус.
46
8. Множество точек, делящих всевозможные хорды окружности =(O, OA), исходящие из точки A, в положительном отношении , есть окружность 1=(O1, O1A) с центром на прямой OA и проходящая через A (на рисунке изображён случай деления пополам (=1)).
46
9. есть прямая перпендикулярная AB.
46
10. есть окружность с центром в середине отрезка AB, если a 2 >AB 2 /2, середина отрезка AB, если a 2 =AB 2 /2, и пустое множество, если a 2 2 /2.
11. есть окружность с центром на прямой AB (окружность Апполония).

Пример задачи, решаемой методом пересечений.

Построение 15. Построить окружность, касательную к двум данным параллельным прямым a и b, проходящую через данную точку M.

Анализ. Пусть — искомая окружность с центром O. Если мы построим O, то =(O, OM). Точка должна удовлетворять двум условиям:

a) она равноудалена от двух параллельных прямых a и b;

b) OM=r=d/2, где d — расстояние между прямыми a и b.

Пусть ₁ — множество точек, удовлетворяющих условию a), ₂ — множество точек, удовлетворяющих условию b). Тогда ₁ есть ось симметрии для ab, ₂ есть окружность (M, d/2). Значит, O=₁₂.

Построение. 1. Любой общий перпендикуляр AB к a и b;

2. ₁ — серединный перпендикуляр к AB, C — середина к AB;
3. ₂=(M, d/2);
4. O=₁₂;
5. =(O, OM) — искомая окружность.

Доказательство. Согласно построению проходит через точку M и касается прямых a и b, т.к. её радиус равен OM=r=d/2.

Исследование. Данная задача имеет решение ₁ и ₂ имеют общие точки, а число решений равно количеству этих точек. Возможны три случая.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

СТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ

Основными являются три: метод геометрических мест точек (ГМТ), метод геометрических преобразований, алгебраический метод.

Видео:Линии и области на комплексной плоскостиСкачать

Метод геометрических мест (пересечения фигур)

Сущность метода-, решение задачи сводят к построению некоторой точки (основного элемента построения), подчиненной двум условиям. Отбрасывают одно из этих условий и строят сначала ГМТ Ф_р удовлетворяющих первому условию, потом Ф₂ — ГМТ, удовлетворяющих второму условию. По соответствующей аксиоме конструктивной геометрии можем сказать Ф₍ пФ₂ = 0 или нет и если Ф 0, то считать построенным пересечение Ф] пФ₂. Точки Ф, пФ, и только они удовлетворяют обоим условиям одновременно. Точки пересечения и только они дают решение задачи.

Заметим, что успех от применения этого метода полностью зависит от знания конкретных ГМТ. Наиболее часто применяются следующие геометрические места:

ГМТ 1. Множество точек плоскости, каждая из которых равноудалена от двух данных точек А и В, есть серединный перпендикуляр отрезка АВ.

ГМТ 2. Множество точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой, есть две прямые, параллельные данной и отстоящие от нее на данном расстоянии.

ГМТ 3. Множество точек, каждая из которых равноудалена от двух данных параллельных прямых, есть прямая, являющаяся их осью симметрии.

ГМТ 4. Множество точек, каждая из которых равноудалена от двух пересекающихся прямых, есть две взаимно перпендикулярные прямые, содержащие биссектрисы углов, образованных данными прямыми.

ГМТ 5. Множество точек плоскости, из которых отрезок АВ виден под прямым углом, есть окружность (без точек А и В), построенная на отрезке А В как на диаметре.

ГМТ 6. Множество точек плоскости, из которых отрезок АВ виден под углом а, где 0° 0, есть окружность (без точки А) с центром на прямой ОА, проходящей через точку А. Если Z = 1, то эта окружность построена на отрезке ОА как на диаметре.

ГМТ 9. Множество точек плоскости, для каждой из которых разность квадратов расстояний от двух данных точек А и В постоянна, есть прямая, перпендикулярная прямой АВ.

ГМТ 10. Множество точек плоскости, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до двух данных точек А и В равна а 2 , есть окружность с центром в середине отрезка АВ, если 2а 2 > АВ 2 , середина отрезка АВ, если 2а 2 = АВ 2 ; и пустое множество, если 2а 2 2 .

ГМТ 11. Множество точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных точек А и В постоянно и отлично от единицы, есть окружность с центром на прямой АВ (окружность Аполлония).

Для иллюстрации метода ГМТ рассмотрим следующий пример.

Пример 4. Построить треугольник, если известны: длина основания а, угол при вершине а и отношение боковых сторон X, X Ф 1.

Решим методом ГМТ.

Анализ. Две вершины А и В искомого треугольника легко построить.

Задача сводится к построению точки С. Точка С должна удовлетворять следующим двум условиям: 1) точка С принадлежит дуге сег-

мента, построенной на [АВ] и вмещающей данный угол а; 2) точка С принадлежит окружности Аполлония (см. рис. Ь.

Решение. Анализ. Построим точку D в треугольнике АВС такую, что AD = АС = Ь. Тогда BD = с — Ь.

Вычислим угол BCD’.

=—Треугольник BCD можно построить по ВС = а, BD = с — b, BCD = |(C-b). Точку А можно получить методом ГМТ: как пересечение серединного перпендикуляра к стороне DC с продолжением стороны BD построенного треугольника BDC. Заметим, что можно начать построение и с кВ СЕ , где BE || DC (см. рис. a sin а из двух точек Dn D’

(см. рис. б)) подходит только точка D. Поэтому задача имеет единственное решение, если с — b > a sin а; нет решений при с — b а.

Решение. Анализ. Построим точку Е на основании AD трапеции

ABCD такую, что DE= а. Тогда в треугольнике АВЕ даны АВ : BE =

= т: п, АВЕ = а,АЕ = Ь-а(см.рис.а)).

По этим данным треугольник АВЕ можно построить.

Построение. Строим последовательно:

1) отрезок АК= b — а;
2) дугу сегмента Ф_х, вмещающую угол а (см. рис. б));

3) окружность Аполлония Ф₂, диаметром которой служит отрезок MN, точки М и N удовлетворяют условиям:

ABCD — искомая трапеция.

Доказательство и исследование предлагаем провести самостоятельно.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти геометрическое место точек М, если касательные, проведенные из точки М к двум пересекающимся окружностям, равны между собой.
2. Даны две неравные окружности со и W, лежащие одна вне другой.

Найти геометрическое место точек М таких, что МА- МВ = МС-MD, где = 7псо, = lcCW, М е I.

3. Даны две параллельные прямые. Провести третью параллельную прямую так, чтобы данный N4BD можно было поместить вершинами на всех трех параллелях.
4. Даны две параллельные прямые. Провести две прямые, параллельные данным, так, чтобы данную фигуру ABCD можно было поместить вершинами на всех четырех параллелях.
5. Даны две концентрические окружности. Начертить еще две концентрические окружности так, чтобы данный четырехугольник можно было поместить вершинами на всех окружностях.
6. Построить четырехугольник, зная три стороны и радиус описанной окружности.
7. а) Построить треугольник по данным а, Ь, А.
б) Построить параллелограмм по данным: стороне, углу и диагонали.

8. Построить четырехугольник ABCD, зная АВ, ВС и расстояния вершин Л и В от центра вписанной окружности.
9. Построить ромб по данным: высоте и диагонали.
10. Построить четырехугольник ABCD, зная: А, АВ, ВС, CD, AD.
11. Построить четырехугольник ABCD, зная: АВ, ВС, BD, AD, АС.
12. Даны две концентрические окружности и точка. Через эту точку провести окружность, касательную к данным окружностям.
13. Провести радиусом R окружность, проходящую через две данные точки А и В.
14. Данным радиусом R провести окружность, проходящую через данную точку М и касательную к данной окружности О.
15. Провести радиусом R окружность, касательную к данной окружности О, если центр искомой окружности должен лежать или на другой окружности С, или на данной прямой MN.
16. Данным радиусом R провести окружность, касательную к двум данным окружностям О_> и О_г