Один треугольник внутри другого

Треугольник. Формулы определения и свойства треугольников.

В данной статье мы расскажем о классификаци и свойствах основной геометрической фигуры — треугольника. А также разберем некоторе примеры решения задач на треугольники.

Содержание:

Содержание
  1. Определение треугольника
  2. Классификация треугольников
  3. 1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.
  4. 2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β
  5. 3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.
  6. 4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°
  7. 5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.
  8. 6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).
  9. Свойства треугольника
  10. 1.Свойства углов и сторон треугольника.
  11. 2.Теорема синусов.
  12. 3. Теорема косинусов.
  13. 4. Теорема о проекциях
  14. Медианы треугольника
  15. Свойства медиан треугольника:
  16. Формулы медиан треугольника
  17. math4school.ru
  18. Треугольники
  19. Основные свойства
  20. Равенство треугольников
  21. Подобие треугольников
  22. Медианы треугольника
  23. Биссектрисы треугольника
  24. Высоты треугольника
  25. Серединные перпендикуляры
  26. Окружность, вписанная в треугольник
  27. Окружность, описанная около треугольника
  28. Расположение центра описанной окружности
  29. Равнобедренный треугольник
  30. Равносторонний треугольник
  31. Прямоугольный треугольник
  32. Вневписанные окружности
  33. Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде
  34. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  35. Типы треугольников
  36. По величине углов
  37. По числу равных сторон
  38. Вершины углы и стороны треугольника
  39. Свойства углов и сторон треугольника
  40. Теорема синусов
  41. Теорема косинусов
  42. Теорема о проекциях
  43. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  44. Медианы треугольника
  45. Свойства медиан треугольника:
  46. Формулы медиан треугольника
  47. Биссектрисы треугольника
  48. Свойства биссектрис треугольника:
  49. Формулы биссектрис треугольника
  50. Высоты треугольника
  51. Свойства высот треугольника
  52. Формулы высот треугольника
  53. Окружность вписанная в треугольник
  54. Свойства окружности вписанной в треугольник
  55. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  56. Окружность описанная вокруг треугольника
  57. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  58. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  59. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  60. Средняя линия треугольника
  61. Свойства средней линии треугольника
  62. Периметр треугольника
  63. Формулы площади треугольника
  64. Формула Герона
  65. Равенство треугольников
  66. Признаки равенства треугольников
  67. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  68. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  69. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  70. Подобие треугольников
  71. Признаки подобия треугольников
  72. Первый признак подобия треугольников
  73. Второй признак подобия треугольников
  74. Третий признак подобия треугольников

Видео:Выживший летчик рассказал, что он увидел в Бермудском треугольникеСкачать

Выживший летчик рассказал, что он увидел в Бермудском треугольнике

Определение треугольника

Треугольник — это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. В геометрических задачах треугольник обычно изображают специальным симовлом — △, после которго пишут названия вершин треугольника напр. △ABC.

Один треугольник внутри другого

Треугольник ABC (△ABC)

  • Точки A, B и C — вершины треугольника. Принято писать их большими буквами.
  • Отрезки AB, BC и СА — стороны треугольника. Обычно сторонам присваивают свои названия маленькими буквами. Имя выбирают по первой вершине каждой стороны. Напр. у стороны AB первая вершина А поэтому эта сторона называется а. Тоесть AB = a, BC = b, CА = c.
  • Стороны треугольника в местах соединения образуют три угла, которым обычно дают названия буквами греческого алфавита α, β, γ. Причем напротив стороны a лежит угол α, b — β, с — γ.

Углы треугольника, также, можно обозначать специальным символом — . После которого пишут вершины треугольника в таком порядке чтобы вершина обозначающегося угла была в серединке. Например:

Видео:Геометрия Подобны ли два треугольника, если стороны одного относятся как 3:8:9, а стороны другогоСкачать

Геометрия Подобны ли два треугольника, если стороны одного относятся как 3:8:9, а стороны другого

Классификация треугольников

Все треугольники можно разделить на несколько видов, различающихся между собой величиной углов или длинами сторон. Такая классификация позволяет выделить особенности каждого из них.

1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

Один треугольник внутри другого

2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β

Один треугольник внутри другого

3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.

Один треугольник внутри другого

4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°

Один треугольник внутри другого

5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.

Один треугольник внутри другого

6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).

Один треугольник внутри другого

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Свойства треугольника

1.Свойства углов и сторон треугольника.

Один треугольник внутри другого

  • Сумма всех углов треугольника равна 180°:
  • Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:
  • В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

2.Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c
sin αsin βsin γ

3. Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

4. Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

Видео:8 класс, 22 урок, Первый признак подобия треугольниковСкачать

8 класс, 22 урок, Первый признак подобия треугольников

Медианы треугольника

Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Один треугольник внутри другого

Свойства медиан треугольника:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке O. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

AO=BO=CO=2
ODOEOF1

3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие по площади части

4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Один треугольник внутри другого

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны:

Видео:МАЛЬЧИК СТЁР СЕБЕ ЛИЦО ГРЯЗЬЮ И ЗА НИМ НАЧИЛ ОЗОТИТЬСЯ МОНСТР!!! #shortsСкачать

МАЛЬЧИК СТЁР СЕБЕ ЛИЦО ГРЯЗЬЮ И ЗА НИМ НАЧИЛ ОЗОТИТЬСЯ МОНСТР!!! #shorts

math4school.ru

Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольников

Треугольники

Видео:7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольников

Основные свойства

Один треугольник внутри другого

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°:

Один треугольник внутри другого

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного:

Один треугольник внутри другого

Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон:

Один треугольник внутри другого

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:

Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:

Один треугольник внутри другого

Видео:Что такое Треугольник Карпмана?Скачать

Что такое Треугольник Карпмана?

Равенство треугольников

Один треугольник внутри другого

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны:

Один треугольник внутри другого

У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.)

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.

Один треугольник внутри другого

Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:

Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Один треугольник внутри другого

Видео:Этот парень вытащил свой глаз!😱 #shorts #глаза #пареньСкачать

Этот парень вытащил свой глаз!😱 #shorts #глаза #парень

Подобие треугольников

Один треугольник внутри другого

Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия:

Один треугольник внутри другого

Два треугольника подобны, если:

  • Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  • Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, образованные этими сторонами, равны.
  • Стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны:

Один треугольник внутри другого

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Один треугольник внутри другого

Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:

Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:

Один треугольник внутри другого

Видео:Средняя линия треугольникаСкачать

Средняя линия треугольника

Медианы треугольника

Один треугольник внутри другого

Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины:

Один треугольник внутри другого

  • Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника.
  • Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников:

Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:

Один треугольник внутри другого

Видео:Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие Треугольников

Биссектрисы треугольника

Один треугольник внутри другого

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Один треугольник внутри другого

Длина биссектрисы угла А :

Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны.

Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

BL – биссектриса угла В ;

ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК :

Один треугольник внутри другого

Видео:Подобные треугольникиСкачать

Подобные треугольники

Высоты треугольника

Один треугольник внутри другого

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Один треугольник внутри другого

Длина высоты, проведённой к стороне а :

Один треугольник внутри другого

Видео:Самый крутой фокус с пальцамиСкачать

Самый крутой фокус с пальцами

Серединные перпендикуляры

Один треугольник внутри другого

Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней.

Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника.

Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника.

Видео:Мужчина проснулся на дне колодца, но когда вылез еще больше разочаровалсяСкачать

Мужчина проснулся на дне колодца, но когда вылез еще больше разочаровался

Окружность, вписанная в треугольник

Один треугольник внутри другого

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков:

Один треугольник внутри другого

Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:

Один треугольник внутри другого

Видео:Подобные треугольникиСкачать

Подобные треугольники

Окружность, описанная около треугольника

Один треугольник внутри другого

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Радиус описанной окружности:

Один треугольник внутри другого

Видео:На Берег Вынесло Гигантское Существо, Которое Стало Местной ДостопримечательностьюСкачать

На Берег Вынесло Гигантское Существо, Которое Стало Местной Достопримечательностью

Расположение центра описанной окружности

Один треугольник внутри другогоОдин треугольник внутри другогоОдин треугольник внутри другогоЦентр описанной окружности остроугольного треугольника расположен внутри треугольника.Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой его гипотенузы.Центр описанной окружности тупоугольного треугольника расположен вне треугольника.

Видео:Отношение площадей треугольников с равным угломСкачать

Отношение площадей треугольников с равным углом

Равнобедренный треугольник

Один треугольник внутри другого

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ A = ∠ C.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.

Один треугольник внутри другого

Основные формулы для равнобедренного треугольника:

Один треугольник внутри другого

Видео:Если две стороны и угол одного треугольника равны ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Если две стороны и угол одного треугольника равны ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Равносторонний треугольник

Один треугольник внутри другого

Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним или правильным треугольником.

Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Все углы равностороннего треугольника равны:

Один треугольник внутри другого

Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины:

Один треугольник внутри другого

Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника

Один треугольник внутри другого

Видео:Площади треугольников с равным углом.Скачать

Площади треугольников с равным углом.

Прямоугольный треугольник

Один треугольник внутри другого

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.

Прямоугольные треугольники равны если у них равны:

  • два катета;
  • катет и гипотенуза;
  • катет и прилежащий острый угол;
  • катет и противолежащий острый угол;
  • гипотенуза и острый угол.
  • одному острому углу;
  • из пропорциональности двух катетов;
  • из пропорциональности катета и гипотенузы.

Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

Один треугольник внутри другого

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

Один треугольник внутри другого

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, может быть определена через катеты и их проекции на гипотенузу:

Один треугольник внутри другого

Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:

Один треугольник внутри другого

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит данный треугольник на два треугольника, подобные данному:

Один треугольник внутри другого

Площадь прямоугольного треугольника можно определить

через катеты: Один треугольник внутри другого

через катет и острый угол: Один треугольник внутри другого

через гипотенузу и острый угол: Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Радиус описанной окружности:

Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

Радиус вписанной окружности:

Один треугольник внутри другого

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

Вневписанные окружности

Один треугольник внутри другого

Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными.

Центр вневписанной окружности лежит не пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.

Так точка О1 , центр одной из вневписанных окружностей Δ ABC , лежит на пересечении биссектрисы ∠ A треугольника ABC и биссектрис BО1 и C О1 внешних углов Δ ABC при вершинах B и C .

Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей.

Δ ABC является ортоцентричным в Δ О1О2О3 (точки A , B и C – основания высот в Δ О1О2О3 ).

В Δ ABC углы равны 180°–2 О1 , 180°–2 О2 , 180°–2 О3 .

Радиус окружности, описанной около Δ О1О2О3 , равен 2 R , где R – радиус окружности, описанной около Δ ABC .

Δ ABC имеет наименьший периметр среди всех треугольников, вписанных в Δ О1О2О3 .

Если ra , rb , rс – радиусы вневписанных окружностей в Δ ABC , то в Δ ABC верно:

для rОдин треугольник внутри другого

для R – Один треугольник внутри другого

для S – Один треугольник внутри другого

для самих ra , rb , rсОдин треугольник внутри другого

Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде

Один треугольник внутри другого

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

  • если c 2 > a 2 +b 2 , то угол γ – тупой ( cos γ
  • если c 2 2 +b 2 , то угол γ – острый ( cos γ > 0 );
  • если c 2 = a 2 +b 2 , то угол γ – прямой ( cos γ = 0 ).

Один треугольник внутри другого

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:

Один треугольник внутри другого

Теорема тангенсов (формула Региомонтана):

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

По числу равных сторон

Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

Один треугольник внутри другого

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Один треугольник внутри другого

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Один треугольник внутри другого

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Биссектрисы треугольника

Один треугольник внутри другого

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Один треугольник внутри другого

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Один треугольник внутри другого

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Один треугольник внутри другого

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Один треугольник внутри другого

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Один треугольник внутри другого

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Один треугольник внутри другого

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Один треугольник внутри другого

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Поделиться или сохранить к себе: