Общее распределение прямоугольного треугольника

Прямоугольное (равномерное) распределение

Прямоугольное (равномерное) распределение — простейший тип непрерывных распределений. Если случайная переменная X может принимать любое действительное значение в интервале (а, b), где а и b – действительные числа, и если каждому значению случайной переменной соответствует одинаковая плотность вероятности, то переменная X имеет прямоугольное распределение. Иногда пользуются термином «равномерное распределение».

Из приведенного определения следует, что плотность распределения вероятностей этой случайной переменной должна быть постоянной, т. е. что в интервале (a, b) f(x) = с. Отсюда, а также из условия, что интеграл от функции f(x), взятый в интервале (а, b), должен равняться единице, нетрудно найти функцию плотности вероятности f(x). Имеем:

Общее распределение прямоугольного треугольника(4.1)

откуда cb – са = 1 и, следовательно, получим Общее распределение прямоугольного треугольника. Таким образом, функция плотности вероятности для прямоугольного распределения:

Общее распределение прямоугольного треугольникадля a ≤ x ≥ b. (4.2)

Для х > b и х 2 (X) равняется:

Общее распределение прямоугольного треугольника(4.5)

Прямоугольное распределение находит широкое применение в математической статистике. Оно имеет основополагающее значение для так называемых непараметрических методов – одного из новейших разделов статистики, находящего все более широкое применение. Понятием прямоугольного распределения иногда пользуются и в теории статистических оценок – в том разделе статистики, где изучаются методы построения выводов о значениях параметров в генеральной совокупности на основании случайной выборки. В некоторых теориях статистического вывода за исходный пункт принимается правило: что, если нам ничего неизвестно о значении оцениваемого параметра, то следует принять, что каждое его значение равновозможно. Это ведет к истолкованию оцениваемого параметра как случайной переменной, характеризующейся прямоугольным распределением.

Нормальное распределение

Нормальное распределение играет основную роль в математической статистике. Это ни в малейшей степени не является случайным: в объективной действительности весьма часто встречаются различные признаки, значения которых распределяются по нормальному закону.

Если число дискретных событий возрастает, график на рисунке 3.2, представляющий разложение бинома (p+q) n , все более приближается к плавной кривой. Это приближение имеет место и для p = q, и для
p Общее распределение прямоугольного треугольникаq. В последнем случае скошенность кривой при возрастании n уменьшается. При приближении n к бесконечности график кривой приближается к симметричной кривой. Пределом такого приближения биномиального распределения является нормальное распределение, выраженное формулой и графически изображаемое на рисунке 4.1.

В этом качестве, а именно в качестве непрерывной формы для предела биномиального распределения, нормальное распределение было открыто для р = q в 1733 г. А. Муавром (Англия). Обобщение его для p Общее распределение прямоугольного треугольникаq сделано П. Лапласом (Франция) и К. Гауссом (Германия) в начале XIX в. Это открытие привело во второй половине XIX века к особому подчеркиванию значения нормального «закона» как модели, которой следуют распределения результатов наблюдений во всех естественных явлениях. Английский ученый К. Пирсон в начале XX в. показал, что нормальное распределение является одним из многих типов распределений, имеющихся в природе. Значение нормального распределения вследствие этого снизилось в сфере наблюдений, но возросло в теоретическом отношении, особенно в области теории выборок.

Общее распределение прямоугольного треугольника

Рисунок 4.1 – Нормальное распределение

Уравнение нормальной кривой выражает зависимость теоретических численностей f(x) или у от значений x – непрерывно распределяющейся случайной величины. Оно пишется в различных формах.

Выражение, являющееся основной формой, относится к кривой с площадью, равной единице:

Общее распределение прямоугольного треугольника(4.6)

В этом уравнении f(x) – теоретические численности, выраженные в долях единицы, или плотности вероятности случайного события x;
s
– квадратическое отклонение данного нормального распределения; π и е известные константы, π = 3,1426, е = 2,7183, s – отклонение случайно распределенной величины X от средней арифметической m, являющейся центром распределения величины X.

Вычислим математическое ожидание нормальной случайной переменной. Согласно определению (2.5):

Общее распределение прямоугольного треугольника(4.7)

Для вычисления этого интеграла введем новую переменную:

Общее распределение прямоугольного треугольника, Общее распределение прямоугольного треугольника. Получим:

Общее распределение прямоугольного треугольника(4.8)

Интегрируя по частям, находим, что первый из приведенных выше интегралов равняется нулю. Далее, из математического анализа известно, что интеграл функции Общее распределение прямоугольного треугольника, взятый в границах (–∞, + ∞), равняется Общее распределение прямоугольного треугольника. Таким образом, получаем:

Общее распределение прямоугольного треугольника(4.9)

Следовательно, параметр μ есть математическое ожидание нормальной случайной переменной, плотность вероятности которой дается формулой (4.6).

Для вычисления дисперсии предварительно точно так же находим значение Е (X 2 ):

Общее распределение прямоугольного треугольника. (4.10)

Применив ту же подстановку, что при вычислении E(X), получим:

Общее распределение прямоугольного треугольника(4.11)

Интегрируя по частям, находим, что первый из интегралов в правой части формулы (4.11) равняется σ 2 , второй интеграл – нулю, а третий интеграл имеет значение μ 2 . Таким образом,

Общее распределение прямоугольного треугольника, откуда Общее распределение прямоугольного треугольника

Итак, дисперсия нормальной случайной переменной равняется σ 2 , а ее среднее стандартное отклонение – σ.

Для удобства расчетов отклонение переменной X от m обычно выражают в единицах среднего стандартного отклонения s.

Выражение Общее распределение прямоугольного треугольниканазывают нормированным отклонением и обозначают его буквой t.

Тогда уравнение кривой нормального распределения в нормированной форме будет:

Общее распределение прямоугольного треугольника(4.12)

Оно выражает зависимость между вероятностью y и нормированным отклонением t. Средняя такого распределения m равна нулю, а квадратическое отклонение s = 1. Графически кривая нормального распределения изображена на рисунке 4.1. Максимального значения у достигает в начале координат, т. е. в точке, соответствующей центру распределения, где Х = t = 0, s = 1.

Максимальная ордината, обозначим ее y0 = 1/2 × p = 0,39894. В других точках, т. е. при t ≠ 0, значения ординат y могут быть вычислены на основе формулы (4.12) путем логарифмирования.

На основе формулы (4.12) и данного анализа видно, что величина ординаты кривой нормального распределения может рассматриваться как функция нормированного отклонения t.

Кривая, показанная на рисунке 4.1, показывает, как плотности вероятностей (ординаты) растут до максимума в точке средней, т. е. в точке 0 и затем симметрично снижаются для значений у выше средней. Причем для X m +3s
(или t > 3) ординаты уже незначительно отличаются от нуля. Это означает, что наиболее вероятны те значения X, которые близки к m. По мере удаления от m значения X становятся все менее вероятными. Причем одинаковые по абсолютному значению, но противоположные по знаку отклонения значений переменной Х от m равновероятны.

В точках m – s и m + s кривая нормального распределения или кривая плотности нормального распределения вероятностей имеет перегибы.

При определении ординат для какого-либо конкретного частного распределения ординаты, полученные по формуле (4.12), умножают на N/σ, где N – общий объем численностей, σ – выборочное квадратическое отклонение в единицах измерения распределенной величины X.

При изучении распределений как теоретической базы статистических заключений наибольший интерес представляет площадь под нормальной кривой. Эту площадь можно представить как интеграл от функции (4.12). Если интегрирование провести от начала координат, т. е. от нуля до любого значения, получим значение площади, заключенной между у0 и значением у, соответствующим избранному τ. Математически функция площади от нормированного отклонения (обозначим ее F(t) при указанных пределах имеет выражение:

Общее распределение прямоугольного треугольника(4.13)

При таком предположении и нормальном распределении в совокупности, выражаемом формулой 4.13, можно определить вероятности встретить любые значения исследуемых объектов, т. е получить сумму вероятностей по 4.13.

Этот интеграл относится к разряду неберущихся. Поэтому в литературе приведена четырехзначная таблица площади под нормальной кривой в долях единицы, за которую принята вся площадь под кривой, либо при расчетах можно воспользоваться следующей аппроксимацией:

F(t) = 0,0164 τ 3 – 0,1564 τ 2 + 0,4917 τ – 0,0119

Найдем теоретическую относительную численность, т. е. вероятность объектов, имеющих диаметр от Х1 = 12 до Х2 = 22 см, μ = 30 см, σ = 6 см. Стандартизованные отклонения двух указанных значений X будут:

По таблице или представленной формуле F(–3) = 0,4986,
F(–1,33) = 0,4080. Отметим, что знак τ не имеет значения.

Разность F(τ1) – F(τ2) = 0,0904 означает вероятность встретить объекты указанного интервала X в общей совокупности, т. е. 9 объектов из 100.

Установим, пользуясь этим приемом, вероятности трех важных событий в теории выборок:

а) нормальная случайная переменная примет значение в интервале (μ – σ, μ + σ);

б) переменная примет значение в интервале (μ – 2σ, μ + 2σ);

в) она примет значение в интервале (–3σ, μ + 3σ).

Так как нормальная совокупность характеризуется μ = 0 и σ = 1, значения нормированного отклонения τ будут:

По таблице или формуле находим F(+1) = 0,3413, F(–1) = 0,3413, откуда вероятность события а), равная F(+l) + F(–l), составит 0,6826.

F(+2) = 0,4772, F(–2) = 0,4772, вероятность события б) равна 0,9544.

F(+3) = 0,4986, F(–3) = 0,4986, вероятность события в) равна 0,9972.

Эти результаты дают возможность утверждать, что в случае нормального распределения N (0; 1) 68% наблюдаемых значений отклоняются от среднего значения μ не более чем на величину стандартного отклонения σ, 95% значений не выйдут из пределов
μ ± 2σ и практически все значения уместятся в пределы μ ± 3σ. Вероятность отклонения за пределы 3σ равна 0,0026 ≈ 0,003, т. е. такое событие наступит только в среднем в 3 случаях из 1000 испытаний.

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Треугольное распределение

Функция треугольного распределения случайной величины определяется формулой:

Общее распределение прямоугольного треугольника

Плотность треугольного распределения СВ находится по формуле:

Общее распределение прямоугольного треугольника

Математическое ожидание — формула:

Общее распределение прямоугольного треугольника

График плотности треугольного распределения случайной величины в диапазоне от -4 до 10

Общее распределение прямоугольного треугольника

Общее распределение прямоугольного треугольника

График плотности треугольного распределения случайной величины Общее распределение прямоугольного треугольника

График функции треугольного распределения случайной величины

Треугольное распределения является приблизительной моделью и применяется, когда недостаточно данных или они отсутствуют. Треугольный закон распределения также используется для построения сложных законов распределения.

Видео:Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Двумерная непрерывная случайная величина

Ранее мы разобрали примеры решений задач для одномерной непрерывной случайной величины. Перейдем к более сложному случаю — двумерной непрерывной случайной величине $(X,Y)$ (или двумерному вектору). Кратко выпишем основы теории.

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Система непрерывных случайных величин: теория

Двумерная непрерывная СВ задается своей функцией распределения $F(x,y)=P(Xlt x, Ylt y)$, свойства которой аналогичны свойствам одномерной ФР. Эта функция должна быть непрерывна, дифференцируема и иметь вторую смешанную производную, которая будет как раз плотностью распределения вероятностей системы непрерывных случайных величин:

Зная плотность совместного распределения, можно найти одномерные плотности для $X$ и $Y$:

Вероятность попадания случайного вектора в прямоугольную область можно вычислить как двойной интеграл от плотности (по этой области) или через функцию распределения:

$$P(x_1 le X le x_2, y_1 le Y le y_2) = F(x_2, y_2)-F(x_1, y_2)-F(x_2, y_1)+F(x_1, y_1).$$

Как и для случая дискретных двумерных СВ вводится понятие условного закона распределения, плотности которых можно найти так:

Если для всех значений $(x,y)$ выполняется равенство

то случайные величины $X, Y$ называются независимыми (их условные плотности распределения совпадают с безусловными). Для независимых случайных величин выполняется аналогичное равенство для функций распределений:

Для случайных величин $X,Y$, входящих в состав случайного вектора, можно вычислить ковариацию и коэффициент корреляции по формулам:

В этом разделе мы приведем примеры задач с полным решением, где используются непрерывные двумерные случайные величины (системы случайных величин).

Видео:Теория вероятностей #18: системы двух случайных величин, двумерное распределениеСкачать

Теория вероятностей #18: системы двух случайных величин, двумерное распределение

Примеры решений

Задача 1. Дана плотность распределения вероятностей системы $$ f(x)= left< begin C, mbox O(0,0), A(4,0), B(4,1)\ 0, mbox \ end right. $$ Найти:
$C, rho_1(x), rho_2(y), m_x, m_y, D_x, D_y, cov(X,Y), r_, F(2,10), M[X|Y=1/2]$.

Задача 2. Дана плотность распределения $f(x,y)$ системы $X,Y$ двух непрерывных случайных величин в треугольнике АВС.
1.1. Найдите константу с.
1.2. Найдите $f_X(x), f_Y(y)$ — плотности распределения с.в. Х и с.в. Y.
Выясните, зависимы или нет с.в. Х и Y. Сформулируйте критерий независимости системы непрерывных случайных величин.
1.3. Найдите математическое ожидание и дисперсию с.в. Х и с.в. Y. Поясните смысл найденных характеристик.
1.4. Найдите коэффициент корреляции с.в. Х и Y. Являются ли случайные величины коррелированными? Сформулируйте свойства коэффициента корреляции.
1.5. Запишите уравнение регрессии с.в. Y на Х и постройте линию регрессии в треугольнике АВС.
1.6. Запишите уравнение линейной среднеквадратичной регрессии с.в. Y на Х и постройте эту прямую в треугольнике АВС. $$ f(x,y)=csqrt, quad A(0;0), B(-1;-1), C(-1;0) $$

Задача 3. Интегральная функция распределения случайного вектора (X,Y): $$ F(x)= left< begin 0, mbox x le 0 mbox yle 0\ (1-e^)(1-e^), mbox x gt 0 mbox ygt 0\ end right. $$ Найти центр рассеивания случайного вектора.

Задача 4. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (Х, У) $$f(x,y)=C e^$$ Найти:
а) постоянный множитель С;
б) плотности распределения составляющих;
в) условные плотности распределения составляющих.

Задача 5. Задана двумерная плотность вероятности системы двух случайных величин: $f(x,y)=1/2 sin(x+y)$ в квадрате $0 le x le pi/2$, $0 le y le pi/2$, вне квадрата $f(x,y)=0$. Найти функцию распределения системы (X,Y).

Задача 6. Определить плотность вероятности, математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин $(X,Y)$, заданных в интервалах $0 le x le pi/2$, $0 le y le pi/2$, если функция распределения системы $F(x,y)=sin x sin y$.

Задача 7. Плотность вероятности системы случайных величин равна $$f(x,y) = c(R-sqrt), quad x^2+y^2 lt R^2.$$ Определить:
А) постоянную $c$;
Б) вероятность попадания в круг радиуса $alt R$, если центры обоих кругов совпадают с началом координат.

Задача 8. Совместная плотность вероятности системы двух случайных величин X и Y $$f(x,y)=frac.$$ Найти величину $с$; определить законы распределения $F_1(x)$, $F_2(y)$, $f_1(x)$, $f_2(y)$, $f(x/y)$; построить графики $F_1(x)$, $F_2(y)$; вычислить моменты $m_x$, $m_y$, $D_x$, $D_y$, $K_$.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.Скачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:

📹 Видео

Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольникеСкачать

Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !

По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисунке

Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

Геометрическое распределениеСкачать

Геометрическое распределение

Совместное распределение случайных величин в треугольникеСкачать

Совместное распределение случайных величин в треугольнике

Математика без Ху!ни. Ряд распределения дискретной случайной величины. Мат ожидание и дисперсия.Скачать

Математика без Ху!ни. Ряд распределения дискретной случайной величины. Мат ожидание и дисперсия.

8 класс, 29 урок, Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольникаСкачать

8 класс, 29 урок, Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Функция распределения дискретной случайной величиныСкачать

Функция распределения дискретной случайной величины

Визуализация всех возможных пифагоровых троек [3Blue1Brown]Скачать

Визуализация всех возможных пифагоровых троек [3Blue1Brown]

Нормальное Распределение за 6 МинутСкачать

Нормальное Распределение за 6 Минут

Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

Функция распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания в интервалСкачать

Функция распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания в интервал

Теория вероятностей #12: случайная величина, плотность и функция распределенияСкачать

Теория вероятностей #12: случайная величина, плотность и функция распределения
Поделиться или сохранить к себе: