Образуют ли точки треугольника (4 видео)

Определение принадлежности точки треугольнику

Дано: у нас есть треугольник, нам известны только координаты его вершин. У нас есть точка, нам известны её координаты.

Что нужно узнать: нужно установить принадлежность точки треугольнику.

В данной статье разбирается несколько разных методов определения принадлежности точки треугольнику.

Содержание

Метод сравнения площадей
Метод относительности
Всё относительно!
Векторный метод
Проверьте, являются ли три точки более линейными или нет
Другие решения
Как определить лежит ли точка внутри треугольника или снаружи.
Точка в треугольнике
Векторное произведение ( z — координата )
Точка внутри треугольника. Описание алгоритма.
🔍 Видео

Видео:Замечательные точки треуг-ка. 8 класс.Скачать

Метод сравнения площадей

В данном методе сначала находятся площади 3-х треугольников, которые образует данная точка с каждой стороной треугольника. В нашем случае(рис. 1) это треугольники ABP, BCP, CAP и их площади s1, s2, s3 соответственно.

Затем находится площадь самого треугольника ABC.

Найденный площади сравниваются — если сумма 3-х площадей равна площади всего треугольника, то значит точка принадлежит треугольнику. При сравнении, как правило, задаётся погрешность.

Так как у нас известны только координаты точек, то все площади, находятся по формуле Герона, от обильности операций которой становится ясно, почему этот метод очень трудоёмкий.

Простейшая реализация алгоритма:

Атрибуты функции: aAx, aAy, aBx, aBy, aCx, aCy — координаты точек A, B, C треугольника; aPx, aPy — координаты точки, принадлежность которой надо определить.

Видео:Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСССкачать

Метод относительности

Данный метод заключается в следующем. Сначала выбирается ориентация движения по вершинам треугольника(по часовой или против часовой стрелке). Я выбираю по часовой. На рисунке 2 выбранная ориентация движения(по часовой) показана стрелками. По данной ориентации проходим все стороны треугольника, рассматривая их как прямые, и рассчитываем по какую сторону от текущей прямой лежит наша точка. Не трудно догадаться, что если точка для всех прямых, при нашей ориентации, лежит с правой стороны, то значит точка принадлежит треугольнику, а если хоть для какой-то прямой она лежит с левой стороны, то значит условие принадлежности не выполняется.

На рисунке 2 продемонстрирована ситуация, когда точка только для одной прямой AB лежит по левую сторону, а значит не принадлежит треугольнику.

Видео:Точка пересечения медиан в треугольникеСкачать

Всё относительно!

Тут надо кое что пояснить, весьма не маловажное, что может сыграть роль в оптимизации и выборе алгоритма. Обратите внимание, что в приведённом коде есть закомментированные блоки кода с комментариями «для строгой ориентации», в то время как рабочий код универсален — он предназначен для любой ориентации. Т.е. представленный код определит принадлежность точки для любого заданного треугольника. В моей тестирующей программе треугольники как раз таки строятся по random()-у координат вершин, а ориентация идёт по вершинам(A>B>C>A). Для рисунка 2 — это по часовой стрелки, но для рисунка 3 — это против часовой.

Так вот, в случае рисунка 3 точка должна лежать по левую сторону векторов, чтобы принадлежать треугольнику.

Вот тут и получается важный момент! Если вы уверены, что в вашем проекте все треугольники будут ориентированы по часовой стрелке(а т.е. вершина C будет всегда правее вектора AB), то вам можно закомментировать блок универсального решения и раскомментировать блок «для строгой ориентации по часовой» и данный алгоритм упрощается аж на 3 логических операции!

Видео:Четыре замечательные точки треугольникаСкачать

Векторный метод

Третий метод который я освещаю для меня самый интересный.

Идея его применения зарождается если взглянуть на треугольник как на половинку параллелограмма…

Данный метод я сначала проверил на бумаге. После всех оптимизаций формул, как всё сошлось, я реализовал его в коде, где он показал себя вполне успешным и результативным. Аж эффективнее 2-х предыдущих методов :]

1) одну вершину треугольника помещаем в координаты (0;0);

2) две стороны, выходящие из этой вершины, представляем как вектора.

Таким образом из всего этого появляется система простых условий нахождения точки P между векторами b и c.(рис. 4)

Рис. 4.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точкиСкачать

Проверьте, являются ли три точки более линейными или нет

У меня есть проблема, чтобы проверить, образуют ли три точки треугольник или нет. Если он образует треугольник, программа должна напечатать квадрат максимальной длины трех сторон треугольника. Если нет, программа выведет «Coolinear».
В любом случае вот пример того, что я пробовал:

Я разместил этот код на сайте codeforces, так как это моя последняя проблема на конкурсе. Это дает мне неправильный ответ на тесте 9, Что еще я должен использовать? и почему мой ответ неверен?

В любом случае вот текст проблемы:
Как и все решатели проблем, Meiko любит есть креп! Как мы все знаем, креп обычно подают в треугольной форме. Теперь Мейко хочет знать, насколько большой может быть сторона крепа! Поэтому он пытается нарисовать треугольник на плоскости, используя три точки, и рассчитать максимальную длину трех сторон треугольника. Но иногда он засыпает, так как он был занят командой, готовящей тренировочные задачи! В результате три точки, которые он использует, могут не образовывать треугольник, который может представлять кусок крепа! Треугольник может представлять кусок крепа, только если он имеет положительную площадь. Так что вы здесь, чтобы помочь Meiko! Учитывая координаты, используемые Мейко, определите, образуют ли они треугольник, который может представлять кусок крепа или нет.

вход
Три целочисленных координаты (X, Y), которые представляют три точки, используемые Мейко. Каждая точка на отдельной линии. (-10 ^ 9 if -отношения должны быть исправлены

Видео:Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Другие решения

Ваш код будет выводить несколько результатов, если максимальная длина не уникальна.

Вы можете избавиться от сложной логики:

Позднее приложение, если это еще не решено (и я не могу спать):

Ключом к решению этой проблемы является слово «целые числа» в описании.
Тестовый пример, на котором вы терпите неудачу, построен так, что

не равен нулю при использовании чисел с плавающей запятой и нулю при использовании целых чисел

Вам не нужно 0.5 * abs(. определить, является ли область нулевой или нет, и я ожидаю, что следующее будет работать:

Видео:Пересечение биссектрис треугольника в одной точке, Геометрия 7 классСкачать

Как определить лежит ли точка внутри треугольника или снаружи.

Калькулятор поможет определить находится ли заданная точка внутри заданного треугольника. Точка и треугольник задаются декартовыми координатами на плоскости. Детально описан алгоритм вычисления.

Этот калькулятор определит где находится заданная точка внутри 2-мерного треугольника или вовне. Калькулятор использует простой алгоритм, основанный на свойствах векторного произведения. Описание этого алгоритма можно найти сразу за калькулятором.

Точка в треугольнике

Векторное произведение ( z — координата )

Видео:Почему геометрия — это красиво?Скачать

Точка внутри треугольника. Описание алгоритма.

Векторное произведение векторов a и b, заданного декартовыми координатами в пространстве для 3-х мерного правого ортонормального базиса можно выразить так:
[1].
Векторное произведение обладает свойством антикоммутативности:

Это важное свойство мы будем использовать для решения нашей задачи.

Попарное векторное произведение векторов-сторон треугольника и вектора из вершины в точку

Для того чтобы определить лежит ли точка P внутри треугольника ABC мы вычислим 3 векторных произведения: ABxAP, BCxBP and CAxCP. Так как наш треугольник и точка в 2-мерном пространстве на плоскости, третья координата z для трехмерного пространства равна нулю. Согласно формуле [1] мы можем не вычислять координаты x и y для векторного произведения, если координата z векторов-множителей равна нулю — координаты x и y результата в этом случае всегда равны нулю (результирующий псевдо-вектор перпендикулярен плоскости треугольника). Знак результата произведения для оставшейся координаты (z) зависит от относительного положения умножаемых векторов. Если первый вектор (в нашем случае это сторона треугольника) находится правее второго вектора (вектор из вершины в точку P), то координата z результата будет положительна, если первый вектор будет левее второго — отрицательна, и в противном случае, если оба вектора идут в одном и том же направлении, результат будет равен нулю.
Получив результаты по трем векторным произведениям, нам остается их проанализировать, чтобы понять лежит ли точка внутри треугольника:
Если мы имеем и положительные и отрицательные результаты, точка лежит вне треугольника, если результаты только положительные или только отрицательные, точка — внутри.
Таблица далее иллюстрирует все возможные варианты результатов векторного произведения: