Образ треугольника относительно прямой (3 видео)

Осевая симметрия

Осевая симметрия — это симметрия относительно прямой.

Пусть дана некоторая прямая g.

Чтобы построить точку, симметричную некоторой точке A относительно прямой g, надо:

1) Провести из точки A к прямой g перпендикуляр AO.

2) На продолжении перпендикуляра с другой стороны от прямой g отложить отрезок OA1, равный отрезку AO: OA1=AO.

Полученная точка A1 симметрична точке A относительно прямой g.

Прямая g называется осью симметрии.

Таким образом, точки A и A1 симметричны относительно прямой g, если эта прямая проходит через середину отрезка AA1 и перпендикулярна к нему.

Если точка A лежит на прямой g, то симметричная ей точка есть сама точка A.

Преобразование фигуры F в фигуру F1, при котором каждая её точка A переходит в точку A1, симметричную относительно данной прямой g, называется преобразованием симметрии относительно прямой g.

Фигуры F и F1 называются фигурами, симметричными относительно прямой g.

Чтобы построить треугольник, симметричный данному относительно прямой g, достаточно построить точки, симметричные вершинам треугольника, и соединить их отрезками.

Например, треугольники ABC и A1B1C1 симметричны относительно прямой g.

Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру в себя, то такая фигура называется симметричной относительно прямой g, а прямая g называется её осью симметрии.

Симметричная фигура своей осью симметрии делится на две равные половины. Если симметричную фигуру нарисовать на бумаге, вырезать и согнуть по оси симметрии, то эти половинки совпадут.

Примеры фигур, симметричных относительно прямой.

1) Прямоугольник.

Прямоугольник имеет 2 оси симметрии: прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей параллельно сторонам.

Ромб имеет две оси симметрии:

прямые, на которых лежат его диагонали.

3) Квадрат, как ромб и прямоугольник, имеет четыре оси симметрии: прямые, содержащие его диагонали, и прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей параллельно сторонам.

Окружность имеет бесконечное множество осей симметрии:

любая прямая, содержащая диаметр, является осью симметрии окружности.

Прямая также имеет бесконечное множество осей симметрии: любая перпендикулярная ей прямая является для данной прямой осью симметрии.

Равнобедренная трапеция — фигура, симметричная относительно прямой,перпендикулярной основаниям и проходящей через их середины.

Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии:

прямую, проходящую через высоту (медиану, биссектрису), проведённую к основанию.

8) Равносторонний треугольник.

Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии:

прямые, содержащие его высоты (медианы, биссектрисы).

Угол — фигура, симметричная относительно прямой, содержащей его биссектрису.

Осевая симметрия является движением.

Содержание

Осевая и центральная симметрия
Что такое симметрия
Осевая симметрия
Центральная симметрия
Задачи на самопроверку
Планиметрия. Страница 7
1.Движение и его свойства
Свойства движения
2.Симметрия относительно точки
3.Симметрия относительно прямой
4.Параллельный перенос и его свойства
Свойства параллельного переноса
Репетитор: Васильев Алексей Александрович
5.Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
💡 Видео

Видео:Симметрия относительно прямой (осевая симметрия). Пример 2Скачать

Осевая и центральная симметрия

О чем эта статья:

Видео:ВПР 6 класс. 12 задание. Фигура симметиичная данной относительно оси.Скачать

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

Ось симметрии угла — биссектриса.
Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Видео:Осевая симметрия, как начертить треугольники симметричноСкачать

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.
С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
Соединяем точки отрезками и строим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC.
Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.
Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.
Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.
Соединяем точки и строим треугольник A₁B₁C₁.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

Проводим через точку А прямую, перпендикулярную прямой l.
Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой l.
Измеряем расстояния от точек А и В до прямой l.
Откладываем такое же расстояние на перпендикулярных прямых от прямой l по другую сторону и ставим точки A₁ и B₁.
Соединяем точки A₁ и B₁.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Видео:Симметрия относительно прямойСкачать

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
Получившиеся точки соединяем отрезками A₁B₁ A₁C₁ B₁C₁.
Получаем треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
Чертим на противоположной стороне отрезки А₁О и B₁О, равные отрезкам АО и АB.
Соединяем точки A₁ и B₁ и получаем отрезок A₁B₁, симметричный данному.

Видео:Осевая симметрия. 6 класс.Скачать

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М₁ и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N₁ на прямую MМ₁.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)Скачать

Планиметрия. Страница 7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Видео:Симметрия относительно прямойСкачать

1.Движение и его свойства

Пусть на плоскости задана геометрическая фигура. Если каждую точку данной фигуры переместить на некоторое расстояние, так чтобы расстояние между точками сохранилось, то мы получим новую фигуру, преобразованную из данной. (Рис.1) Таким образом, преобразование одной фигуры в другую так, что расстояние между точками остается неизменным, называется движением.

Например, при перемещении фигуры М на некоторое расстояние получим фигуру М1. Все точки фигуры М передут в точки фигуры М1. Расстояние между точками сохранится АВ = А1В1

Видео:8 класс, 9 урок, Осевая и центральная симметрияСкачать

Свойства движения

При движение все точки, лежащие на прямой, перейдут в точки также лежащие на прямой. Порядок их взаимного расположения останется неизменным. Т.е. Прямые переходят в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки и т.д. При движении градусная мера угла между двумя полупрямыми останется неизменной.

Рис.1 Движение и его свойства.

Видео:Ось симметрииСкачать

2.Симметрия относительно точки

Пусть на плоскости задана точка О. (Рис.2) Возьмем произвольную точку А. Если через точки О и А провести прямую и отложить от точки О отрезок ОА’, равный отрезку АО, то точка О будет называться точкой симметрии. А точка А’ — точкой симметричной точке А относительно точки О.

При преобразовании фигур каждая точка переходит в симметричную ей точку относительно точки симметрии О. Такое преобразование называется преобразованием симметрии, а фигуры называются симметричными относительно точки О.

Если при преобразовании фигура переходит в саму себя, то она называется центрально-симметричной, а точка О называется точкой симметрии. Например, параллелограмм, окружность, эллипс, ромб, квадрат.

Преобразование фигур относительно точки симметрии является движением.

Рис.2 Симметрия относительно точки.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№7 - Осевая и центральная симметрия.)Скачать

3.Симметрия относительно прямой

Пусть дана прямая а. (Рис.3). Если взять произвольную точку, например точку Е, провести перпендикуляр к прямой а и на продолжении этого перпендикуляра отложить отрезок ВE’, равный отрезку ЕВ, то точка Е’ будет симметрична относительно прямой а. Если точка лежит на прямой а, то она симметрична сама себе.

При преобразовании фигуры в фигуру каждая точка переходит в точку С’, симметричную относительно прямой а. Такое преобразование называется преобразование симметрии относительно прямой.

Преобразование симметрии относительно прямой также является движением, т.к. согласно определению движения расстояние между точками фигуры при смещении относительно прямой не изменяется.

Рис.3 Симметрия относительно прямой.

Видео:Симметрия относительно точки (центральная симметрия). Пример 2Скачать

4.Параллельный перенос и его свойства

Пусть на плоскости с осями координат Ox и Oy задана фигура S. Каждая точка фигуры параллельным переносом переходит в точку А’ на одно и тоже расстояние. Тогда можно дать следующее определение: преобразование фигуры S в фигуру S’, в котором каждая точка фигуры с координатами x и y смещается в точку с координатами x+a и y+b, где a и b постоянные числа, называется параллельным переносом.

Параллельный перенос есть движение, т.к. все точки смещаются на одно и тоже расстояние.

Таким образом, для получения координат новой фигуры, параллельный перенос задается следующими формулами:

x’ = x + a
y’ = y + b

Видео:6 класс . Фигуры, симметричные относительно прямойСкачать

Свойства параллельного переноса

При параллельном переносе все точки какой-либо фигуры смещаются по параллельным прямым на одно и тоже расстояние. Перпендикулярные прямые переходят в перпендикулярные прямые, параллельные прямые — в параллельные. Расстояния между точками какой-либо фигуры при перемещении, так же как и углы между прямыми, сохраняются.

Рис.4 Параллельный перенос и его свойства.

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты.

Тел. 8 916 461-50-69, email: alexey-it@ya.ru

5.Пример 1

Докажите, что у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии.

Доказательство:

Пусть дан параллелограмм АВA’В’ (Рис.5). По свойству параллелограмма, его диагонали делятся точкой пересечения пополам, а противолежащие стороны параллельны и равны. Следовательно, треугольники АОB’ и ВОА’ равны по двум сторонам и углу между ними. АО = ОА’, ВО = ОB’, углы при вершине О равны как вертикальные. А отсюда следует, что точки A’ и B’ симметричны точкам А и В относительно точки О. Т.е. получается, что вершины параллелограмма центрально симметричны относительно точки О.

Теперь на стороне АВ’ возьмем произвольную точку Е и проведем через нее прямую, проходящую через точку О. Треугольники ЕОВ’ и BOE’ равны по второму признаку равенства треугольников: по стороне и прилегающим к ней углам. BO = OB’ и углы при вершинах О и В,B’ равны (при вершине О как вертикальные, при вершинах B,B’ как внутренние накрест лежащие). Следовательно, отрезки ЕО и ОE’ равны, т.е. ЕО = ОE’.

Рис.5 Задача. Докажите, что у параллелограмма.

Отсюда можно сделать вывод, что каждая точка Х параллелограмма переходит в точку X’, симметричную относительно данной точки О. Т.е. преобразование симметрии относительно точки О переводит параллелограмм в сам себя, поэтому он называется центрально-симметричной фигурой, а точка О является его центром симметрии.

Пример 2

Докажите, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, которая проведена к основанию, является его осью симметрии.

Доказательство:

Пусть АВА’ данный равнобедренный треугольник с основанием АА’, АВ = ВA’ (Рис.6). Медиана ОВ лежит на прямой а. Так как медиана делит противолежащую сторону пополам, то треугольники АВО и A’BO равны по трем сторонам (АВ = ВA’, АО = ОA’, сторона ОВ у них общая). Следовательно, углы при вершине О равны 90°, как равные смежные углы. А углы при вершине В равны, так как треугольники равны. Следовательно, вершина треугольника А симметрична вершине A’ относительно прямой а, так как основание АA’ перпендикулярно прямой а. Так же как и для любой точки, принадлежащей отрезку АО, найдется симметричная ей точка на отрезке ОА’ относительно прямой а.

Точка В лежит на прямой а, поэтому она симметрична сама себе относительно прямой а.

Теперь проведем произвольную прямую b, параллельную основанию АА’. Она пересечет боковые стороны треугольника в точках ЕЕ’. Рассмотрим треугольники ЕВО’ и BO’E’. Они равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилегающим к ней углам: сторона BO’ у них общая, углы при вершинах В и О’ равны). Следовательно, ЕО’ = O’E’.

Рис.6 Задача. Докажите, что прямая, содержащая медиану.

Отсюда следует, что любая точка Х’ треугольника ВОА’ симметрична точке Х треугольника АВО относительно прямой а, что является преобразованием симметрии относительно прямой. А если преобразование симметрии относительно прямой а переводит треугольник АВА’ сам в себя, то прямая а является его осью симметрии.

Пример 3

Параллельный перенос задается формулами x’ = x + 2, y’ = y — 3. В какие точки при этом параллельном переносе переходят точки А (1;1), В (2;2), С (-2;0).

Решение:

По условию задачи параллельный перенос задается формулами:

x’ = x + 2, y’ = y — 3

Следовательно, точка А переходит в точку А’ с координатами:

x’ = 1 + 2 = 3, y’ = 1 — 3 = -2, т.е. A’ (3;-2).

Точка В переходит в точку В’ с координатами:

x’ = 2 + 2 = 4, y’ = 2 — 3 = -1, т.е. В’ (4;-1).

Точка С переходит в точку С’ с координатами:

x’ = -2 + 2 = 0, y’ = 0 — 3 = -3, т.е. С’ (0;-3). (Рис.7)

Рис.7 Задача. Параллельный перенос задается формулами.

Пример 4

Докажите, что если у двух ромбов равны диагонали, то они равны.

Доказательство:

Пусть даны два ромба: ABCD и A»B»С»D». AC = A»C», BD = B»D». Углы между диагоналями равны 90°. Докажем, что они совмещаются движением, причем вершина А переходит в вершину A», вершина В — в B», вершина С — в С», вершина D — в D».

Подвергнем ромб ABCD преобразованию симметрии относительно прямой а, перпендикулярной отрезку СС’ и проходящей через его середину (Рис.8). Если два ромба не располагаются друг под другом, то нужного расположения можно добиться при помощи параллельного переноса. (Напомним, что параллельный перенос также является движением со всеми вытекающими из этого свойствами.) В результате получим ромб A’B’C’D’. Если точки А и А’ различны, то подвергнем его симметрии относительно прямой b, перпндикулярной отрезку A’A» и проходящей через его середину и точку С’. Таким образом, отрезок A’C’ перейдет в отрезок A»C». И в результате получим ромб A»B»’C»D»’.

Преобразование симметрии относительно прямой является движением. А при движении точки переходят в точки, прямые — в прямые, углы между прямыми, так же как и расстояния между точками, сохраняются.

Рис.8 Задача. Докажите, что если у двух ромбов.

Отсюда следует, что отрезок B»’D»’ перпендикулярен отрезку А»C» и проходит через его середину, а точки B»’ и D»’ совпадают с точками B» и D», так как по условию задачи диагонали двух ромбов равны. Таким образом, получается, что диагонали ромба АС и BD полностью совпадут с диагоналями A»C» и B»D». А из этого следует, что и вершины ромба ABCD полностью совпадут с вершинами ромба A»B»C»D», так как они находятся на концах диагоналей. Следовательно, ромб ABCD полностью перейдет в ромб A»B»C»D».