Объем тетраэдра площадь треугольника

Объем тетраэдра

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC . В результате получим треугольники ADC , CDB , ABD . Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC , ADC , CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC .
Объем тетраэдра площадь треугольникаТреугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Объем тетраэдра площадь треугольникаНо также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

  • S – площадь любой грани,
  • H – высота, опущенная на эту грань

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Свойства правильного тетраэдра:

  • Все грани равны.
  • Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
  • Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
  • Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

Объем тетраэдра площадь треугольника

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a . DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD .
Высота BM равна BM и равна Объем тетраэдра площадь треугольника
Рассмотрим треугольник BDM , где DH , являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

Объем тетраэдра площадь треугольника, где
BM=Объем тетраэдра площадь треугольника, DM=Объем тетраэдра площадь треугольника, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)= Объем тетраэдра площадь треугольника
Подставим эти значения в формулу высоты. Получим
Объем тетраэдра площадь треугольника
Вынесем 1/2a. Получим

Объем тетраэдра площадь треугольника
Объем тетраэдра площадь треугольника
Применим формулу разность квадратов
Объем тетраэдра площадь треугольника
После небольших преобразований получим
Объем тетраэдра площадь треугольника
Объем тетраэдра площадь треугольника
Объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
Объем тетраэдра площадь треугольника,
где Объем тетраэдра площадь треугольника,
Объем тетраэдра площадь треугольника
Подставив эти значения, получим
Объем тетраэдра площадь треугольника

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

Объем тетраэдра площадь треугольника

где a –ребро тетраэдра

Видео:Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать

Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACD

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра
Объем тетраэдра площадь треугольника
Из вершины Объем тетраэдра площадь треугольникапроведем векторы Объем тетраэдра площадь треугольника, Объем тетраэдра площадь треугольника, Объем тетраэдра площадь треугольника.
Для нахождения координат каждого из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим
Объем тетраэдра площадь треугольника
Объем тетраэдра площадь треугольника
Объем тетраэдра площадь треугольника

Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула

Видео:Высшая математика. 4 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление объема тетраэдра.Скачать

Высшая математика. 4 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление объема тетраэдра.

Нахождение объема тетраэдра: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем тетраэдра и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Видео:Задача 6. Вычислить объём тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на граньСкачать

Задача 6. Вычислить объём тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань

Формула вычисления объема тетраэдра

1. Общая формула (через площадь основания и высоту)

Объем (V) тетраэдра считается также, как и объем любой пирамиды. Он равняется одной третьей произведения площади любой грани и высоты, опущенной на нее:

Объем тетраэдра площадь треугольника

Объем тетраэдра площадь треугольника

    S – площадь грани ABC, в данном случае выступающего в роли основания

2. Объем правильного тетраэдра

В правильном тетраэдре все грани являются равносторонними треугольниками. Объем данной фигуры равен одной двенадцатой произведения длины его ребра в кубе на квадратный корень из числа 2.

Объем тетраэдра площадь треугольника

Объем тетраэдра площадь треугольника

Т.к. это правильный тетраэдр, все его ребра равны (AB = BC = AC = AD = BD = CD).

Видео:11 класс. Геометрия. Объём пирамиды. 28.04.2020.Скачать

11 класс. Геометрия. Объём пирамиды. 28.04.2020.

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из граней тетраэдра равна 24 см 2 , а высоту, опущенная на нее – 9 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Применим общую формулу и получаем:
Объем тетраэдра площадь треугольника

Задание 2
Дан правильный тетраэдр, ребро которого равняется 8 см. Найдите его объем.

Решение:
Воспользуемся формулой для расчета объема правильной фигуры:
Объем тетраэдра площадь треугольника

Видео:Как вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми через объем тетраэдра? Метод объемов 2Скачать

Как вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми через объем тетраэдра? Метод объемов 2

Объем тетраэдра площадь треугольника

Из основной формулы для объёма тетраэдра

Объем тетраэдра площадь треугольника(1),

где S – площадь любой грани, а H – опущенная на нее высота, можно вывести еще целый ряд формул, выражающих объём через различные элементы тетраэдра. Приведем эти формулы для тетраэдра ABCD.

(2) Объем тетраэдра площадь треугольника,

где ∠ (AD,ABC) – угол между ребром AD и плоскостью грани ABC;

(3) Объем тетраэдра площадь треугольника,

где ∠ (ABC,ABD) – угол между гранями ABC и ABD;

(4) Объем тетраэдра площадь треугольника,

где |AB,CD| – расстояние между противоположными ребрами AB и CD, ∠ (AB,CD) – угол между этими ребрами.

Формулы (2)–(4) можно использовать для нахождения величин углов между прямыми и плоскостями; особенно полезна формула (4), с помощью которой можно находить расстояние между скрещивающимися прямыми AB иCD.

Формулы (2) и (3) аналогичны формуле S = (1/2)absin C для площади треугольника. Формуле S = rp аналогична формула

(5) Объем тетраэдра площадь треугольника,

где r – радиус вписанной сферы тетраэдра, Σ – его полная поверхность (сумма площадей всех граней). Имеется и красивая формула, связывающая объём тетраэдра с радиусом R его описанной сферы (формула Крелле):

(6) Объем тетраэдра площадь треугольника,

где Δ – площадь треугольника, стороны которого численно равны произведениям противоположных ребер (AB × CD, AC × BD,AD × BC). Из формулы (2) и теоремы косинусов для трехгранных углов (см. Сферическая тригонометрия) можно вывести формулу, аналогичную формуле Герона для треугольников:

(7) Объем тетраэдра площадь треугольника,

где α, β, γ – плоские углы BDC, CDA, ADB при вершине D, δ = (α+β+γ)/2 – их полусумма.

Наконец, приведем векторную формулу:

(8) Объем тетраэдра площадь треугольника,

где внутри модуля стоит смешанное произведение векторов. С помощью этой формулы можно вычислять объём тетраэдра, зная координаты его вершин.

📺 Видео

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Объём тетраэдра 19 Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёберСкачать

Объём тетраэдра 19 Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер

Объем пирамиды. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Объем пирамиды. Практическая часть. 11 класс.

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Объём пирамидыСкачать

Объём пирамиды

Видеоурок "Объем пирамиды. 11 класс" (7 мин).Скачать

Видеоурок "Объем пирамиды. 11 класс" (7 мин).

30 Стереометрия на ЕГЭ по математике. Объем пирамидыСкачать

30 Стереометрия на ЕГЭ по математике. Объем пирамиды

Как объем пирамиды выразить через объем призмы. Почему именно 1/3 площади основания на высоту?Скачать

Как объем пирамиды выразить через объем призмы. Почему именно 1/3 площади основания на высоту?

11 класс, 35 урок, Объем пирамидыСкачать

11 класс, 35 урок, Объем пирамиды

Площадь треугольника, построенного на векторахСкачать

Площадь треугольника, построенного на векторах

ОБЪЕМ ПИРАМИДЫСкачать

ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ

10 класс, 12 урок, ТетраэдрСкачать

10 класс, 12 урок, Тетраэдр

🔴 Найдите объём правильной четырёхугольной ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 Найдите объём правильной четырёхугольной ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Объем пирамиды. Урок 16. Геометрия 11 класс.Скачать

Объем пирамиды. Урок 16. Геометрия 11 класс.
Поделиться или сохранить к себе: