Объем конуса через треугольник (6 видео)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно посчитать объем прямого кругового конуса и разберем примеры решения задач.

Содержание

Формула вычисления объема
1. Через площадь основания и высоту
2. Через радиус основания и высоту
Примеры задач
Калькулятор для расчета объема конуса
Формула для определения объема конуса. Пример решения задачи
Круглый конус как фигура вращения прямоугольного треугольника
Формула объема конуса
Задача на вычисление объема
🎬 Видео

Видео:Геометрия 11. Найти объем конусаСкачать

Формула вычисления объема

1. Через площадь основания и высоту

Объем (V) конуса равняется одной третьей произведения его высоты на площадь основания:

2. Через радиус основания и высоту

Как мы знаем, основанием конуса является круг, площадь которого вычисляется по формуле: S = πR 2 .

Следовательно, формулу для вычисления объема конуса можно представить в виде:

Т.е. объем конуса равняется одной третьей произведения его высоты на число π и на радиус основания в квадрате.

Примечание: в расчетах значение числа π округляется до 3,14.

Формула для нахождения объема усеченного конуса представлена в отдельной публикации.

Видео:11 класс. Геометрия. Объем конуса. 21.04.2020Скачать

Примеры задач

Задание 1
Найдите объем конуса, если известна площадь его основания – 50,24 см 2 , а также, высота – 9 см.

Решение:
Применим первую формулу, подставив в нее заданные значения:

Задание 2
Высота конуса равна 7 см, а его радиус – 3 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Воспользовавшись второй, более расширенной, формулой получаем:

Видео:Объём конусаСкачать

Калькулятор для расчета объема конуса

C помощью нашего Онлайн-калькулятора для расчета объема конуса Вы можете быстро и точно рассчитать объем конуса. Для того, чтобы вычислить объем конуса, сначала выберите формулу, по которой Вы собираетесь произвести расчет. Объем конуса (в зависимости от исходных данных) можно вычислить двумя способами: 1. через высоту и радиус основания; 2. через высоту и площадь основания. Затем введите значения исходных данных для расчета (значение высоты конуса, значение радиуса основания конуса (или значение площади основания конуса) и нажмите кнопку «Рассчитать». Также Вы можете указать точность полученного результата, т.е. количество знаков после запятой, до которого будет округлен рассчитанный объем конуса.

Конус – это геометрическое тело, которое образуется при вращение прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Такой конус также еще называется – прямой круговой конус.

Объем конуса можно вычислить по двум формулам:

через высоту конуса и радиус основания;
через высоту конуса и площадь основания.

Видео:ОБЪЕМ КОНУСА #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

Формула для определения объема конуса. Пример решения задачи

Каждый школьник при изучении стереометрии в старших классах сталкивался с конусом. Двумя важными характеристиками этой пространственной фигуры являются площадь поверхности и объем. В данной статье покажем, как находить объем круглого конуса.

Видео:Конус. 11 класс.Скачать

Круглый конус как фигура вращения прямоугольного треугольника

Прежде чем переходить непосредственно к теме статьи, следует описать конус с геометрической точки зрения.

Пусть имеется некоторый прямоугольный треугольник. Если его вращать вокруг любого из катетов, то результатом этого действия станет искомая фигура, изображенная ниже на рисунке.

Здесь катет AB является частью оси конуса, а его длина соответствует высоте фигуры. Второй катет (отрезок CA) будет радиусом конуса. Во время вращения он опишет окружность, ограничивающую основание фигуры. Гипотенуза BC называется образующей фигуры, или ее генератрисой. Точка B — это вершина конуса, которая у него является единственной.

Учитывая свойства треугольника ABC, можно записать связь между генератрисой g, радиусом r и высотой h в виде следующего равенства:

Эта формула оказывается полезной при решении многих геометрических задач с рассматриваемой фигурой.

Видео:11 класс, 36 урок, Объем конусаСкачать

Формула объема конуса

Объемом всякой пространственной фигуры называют область пространства, которую ограничивают поверхности этой фигуры. Для конуса таких поверхностей две:

Боковая, или коническая. Она образована всеми генератрисами.
Основание. В данном случае оно является кругом.

Получим формулу для определения объема конуса. Для этого разрежем его мысленно на множество параллельных основанию слоев. Каждый из слоев имеет толщину dx, которая стремится к нулю. Площадь S_x слоя, который находится на расстоянии x от вершины фигуры, равна следующему выражению:

Справедливость этого выражения можно проверить интуитивно, если подставить значения x = 0 и x = h. В первом случае мы получим равную нулю площадь, во втором случае она будет равна площади круглого основания.

Для определения объема конуса необходимо сложит маленькие «объемчики» каждого слоя, то есть следует воспользоваться интегральным исчислением:

Вычисляя этот интеграл, приходим к конечной формуле для круглого конуса:

Любопытно отметить, что эта формула полностью аналогична той, которая используется для вычисления объема произвольной пирамиды. Это совпадение не случайное, ведь любая пирамида переходит в конус при увеличении количества ее ребер до бесконечности.

Видео:Объем конуса | Геометрия 11 класс #28 | ИнфоурокСкачать

Задача на вычисление объема

Полезно привести пример решения задачи, который продемонстрирует использование выведенной формулы для объема V.

Дан круглый конус, у которого площадь основания равна 37 см 2 , а генератриса фигуры больше в три раза радиуса. Чему равен объем конуса?

Формулой для объема мы вправе воспользоваться, если знаем две величины: высоту h и радиус r. Найдем формулы, которые их определяют в соответствии с условием задачи.

Радиус r можно рассчитать, зная площадь круга S_o, имеем:

Пользуясь условием задачи, запишем равенство для генератрисы g:

Зная формулы для r и g, рассчитаем высоту h:

Мы нашли все необходимые параметры. Теперь пришло время подставить их в формулу для V:

Осталось подставить площадь основания S_o и вычислить значение объема: V = 119,75 см 3 .