Неравенство треугольника комплексные числа (6 видео)

Неравенство треугольника: доказательство, примеры, решенные упражнения

Содержание

Содержание:
Демонстрация
Примеры
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Пример 6
Решенные упражнения
Неравенство треугольника комплексные числа
Комплексные числа и комплексные матрицы
💥 Видео

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать

Содержание:

Это называется неравенство треугольника к свойству двух действительных чисел, заключающемуся в том, что абсолютное значение их суммы всегда меньше или равно сумме их абсолютных значений. Это свойство также известно как неравенство Минковского или треугольное неравенство.

Это свойство чисел называется треугольным неравенством, потому что в треугольниках длина одной стороны всегда меньше или равна сумме двух других, даже если это неравенство не всегда применяется в области треугольников.

Существует несколько доказательств треугольного неравенства в действительных числах, но в этом случае мы выберем одно, основанное на свойствах абсолютного значения и биномиального квадрата.

Теорема: Для каждой пары чисел к Y б относящиеся к действительным числам, он должен:

Видео:Неравенства треугольника. 7 класс.Скачать

Демонстрация

Начнем с рассмотрения первого члена неравенства, который возведем в квадрат:

| a + b | ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 a b + b ^ 2 (уравнение 1)

На предыдущем шаге мы использовали свойство, согласно которому любое число в квадрате равно абсолютному значению указанного числа в квадрате, то есть:| х | ^ 2 = х ^ 2. Также использовалось квадратное биномиальное разложение.

Все номера Икс меньше или равно его абсолютному значению. Если число положительное, оно равно, но если число отрицательное, оно всегда будет меньше положительного числа. В этом случае его собственное абсолютное значение, то есть можно сказать, что x ≤ | х |.

Продукт (а б) является числом, поэтому применяется, что (а б) ≤ | а б |. Когда это свойство применяется к (уравнение 1), мы имеем:

| a + b | ^ 2 = a ^ 2 + 2 (a b) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 | а б | + b ^ 2 (уравнение 2)

Учитывая, что | a b | = | а || б | la (уравнение 2) можно записать следующим образом:

| a + b | ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 | а || б | + b ^ 2 (уравнение 3)

Но поскольку мы говорили ранее, что квадрат числа равен абсолютному значению квадрата числа, то уравнение 3 можно переписать следующим образом:

| a + b | ^ 2 ≤ | a | ^ 2 + 2 | a | | б | + | b | ^ 2 (уравнение 4)

Во втором члене неравенства признается замечательный продукт, применение которого приводит к:

| a + b | ^ 2 ≤ (| a | + | b |) ^ 2 (уравнение 5)

В предыдущем выражении следует отметить, что значения, которые должны быть возведены в квадрат в обоих членах неравенства, положительны, поэтому необходимо также убедиться, что:

| а + б | ≤ (| a | + | b |) (уравнение 6)

Вышеприведенное выражениеэто именно то, что хотели продемонстрировать.

Видео:✓ Неравенство треугольника | Ботай со мной #126 | Борис ТрушинСкачать

Примеры

Далее мы проверим треугольное неравенство на нескольких примерах.

Видео:Изобразить область на комплексной плоскостиСкачать

Пример 1

Мы берем значение a = 2 и значение b = 5, то есть оба положительных числа, и проверяем, выполняется ли неравенство.

Равенство проверено, следовательно, теорема о неравенстве треугольника выполнена.

Видео:✓ Комплексные числа. Введение | Ботай со мной #039 | Борис ТрушинСкачать

Пример 2

Выбираются следующие значения a = 2 и b = -5, то есть положительное число, а другое отрицательное, проверяем, выполняется неравенство или нет.

Неравенство выполнено, следовательно, теорема о треугольном неравенстве проверена.

Видео:Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать

Пример 3

Берём значение a = -2 и значение b = 5, то есть отрицательное число, а другое положительное, проверяем, выполняется ли неравенство.

Неравенство проверено, значит, теорема выполнена.

Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

Пример 4

Выбираются следующие значения a = -2 и b = -5, то есть оба отрицательные числа, и мы проверяем, выполняется неравенство или нет.

Равенство проверено, следовательно, теорема о неравенстве Минковского выполнена.

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Пример 5

Мы берем значение a = 0 и значение b = 5, то есть число ноль, а другое положительное, затем проверяем, выполняется неравенство или нет.

Равенство выполнено, следовательно, теорема о неравенстве треугольника проверена.

Видео:7 класс, 34 урок, Неравенство треугольникаСкачать

Пример 6

Мы берем значение a = 0 и значение b = -7, то есть число ноль, а другое положительное, затем проверяем, выполняется неравенство или нет.

Равенство проверено, следовательно, теорема о треугольном неравенстве выполнена.

Видео:Комплексные числа: коротко и понятно – Алексей Савватеев | Лекции по математике | НаучпопСкачать

Решенные упражнения

В следующих упражнениях изобразите геометрически неравенство треугольника или неравенство Минковского для чисел a и b.

Число a будет представлено как сегмент на оси X, его начало O совпадает с нулем оси X, а другой конец сегмента (в точке P) будет в положительном направлении (вправо) от оси X, если > 0, но если a 0), а точка Q будет | b | единиц слева от P, если b Категория : Наука

Схоластическая философия: что это такое и на какие вопросы обращается

Видео:Как посчитать геометрию в комплексных числах? | Олимпиадная математикаСкачать

Неравенство треугольника комплексные числа

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии Комплексное евклидово пространство Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com

§ 3. Комплексное евклидово пространство

1. Определение комплексного евклидова пространства. В конце п. 1 §1 гл.2 мы уже указывали, что если в определении линейного пространства числа λ, µ. брать не из множества вещественных чисел, а из множества всех комплексных чисел, то мы придем к понятию комплексного линейного пространства.
На базе комплексного линейного пространства строится комплексное евклидово пространство, играющее фундаментальную роль в теории несамосопряженных линейных преобразований.
Для введения комплексного евклидова пространства следует ввести в комплексном линейном пространстве понятие скалярного произведения двух его элементов, подчиненное соответствующим четырем аксиомам.
Определение. Комплексное линейное пространство R называется комплексным евклидовым пространством, если выполнены следующие два требования.
I. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам х и у этого пространства ставится в соответствие комплексное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом (х, у).
П. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:
1° (х,у) = ; ( з десь и в дальнейшем символом обозначается число, комплексносопряженное с α )
2°. (x₁ +х₂, у) = (x₁, у) + (х₂, у);
3°. ( λ х, у) = λ (х, у);
4°. (х, х) представляет собой вещественное неотрицательное число, обращающееся в нуль лишь в случае, когда х — нулевой элемент.
Логическими следствиями аксиом 1°-3° являются следующие два соотношения:

(x, λ y) = (x, y), (x, y₁ + y₂) = (x, y₁) + (x, y₂)

В самом деле, из аксиом 1° и 3° заключаем, что

а из аксиом 1° и 2° получаем, что

Приведем примеры конкретных комплексных евклидовых пространств.
Пример 1. Рассмотрим совокупность С* [а, b] всех функций z = z(t), определенных для значений t из сегмента а ≤ t ≤ b и принимающих комплексные значения z(t) = x(t) + iy(t) такие, что вещественные функции x(t) и y(t) являются непрерывными на этом сегменте. Операции сложения этих функций и умножения их на комплексные числа заимствуем из анализа. Скалярное произведение двух любых таких функций определим соотношением Нетрудно убедиться в справедливости для так определенного скалярного произведения всех аксиом 1°- 4°, из чего следует, что рассматриваемая совокупность представляет собой комплексное евклидово пространство.
Пример 2. Рассмотрим комплексное линейное пространство A_* n , элементами которого служат упорядоченные совокупности n комплексных чисел х₁, x₂. х_n с такими же определениями операций сложения элементов и умножения их на числа, как и в случае вещественного линейного пространства A n .
Скалярное произведение двух любых элементов х = (х₁, x₂. х_n) и у = (y₁, y₂. y_n) определим соотношением

Справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1°-3° проверяется совершенно элементарно. Справедливость аксиомы 4° вытекает из соотношения

Стало быть, пространство A_* n со скалярным произведением (4.16) является комплексным евклидовым пространством.
Пример 3. В том же самом комплексном линейном пространстве A_* n можно ввести скалярное произведение не соотношением (4.16), а более общим соотношением ((4.17) переходит в (4.16), когда матрица ║a_ik║ является единичной)

в котором ║a_ik║ — произвольная матрица, состоящая из комплексных чисел a_ik , удовлетворяющих условию a_ik = , такая, что квадратичная форма для всех комплексных х₁, x₂. х_n принимает вещественные неотрицательные значения и обращается в нуль лишь при условии |x₁| 2 + |x₂| 2 + . + |x_n| 2 = 0.
Предоставляем читателю проверку того, что так определенное скалярное произведение удовлетворяет аксиомам 1°- 4°.
2. Неравенство Коши-Буняковского. Понятие нормы. Докажем, что для любых двух элементов х и у произвольного комплексного евклидова пространства справедливо неравенство Коши-Буняковского (Поскольку (х, у) является, вообще говоря, комплексным числом, то нельзя записывать неравенство Коши-Буняковского в виде (4.6))

На основании аксиомы 4° для любого комплексного числа λ справедливо неравенство

( λ x — y, λ x — y) ≥ 0 (4.19)

Так как в силу аксиом 1°-3° и их логических следствий

то неравенство (4.19) принимает вид

Обозначим через φ аргумент комплексного числа (х, у) и представим это число в тригонометриче с кой форме ( п онятия аргумента и тригонометрической формы комплексного числа разбираются, например, в § 1 гл. 7 выпуска «Основы математического анализа»,часть I)

(x,y) = |(x,y)| (cos φ + i sinφ ). (4.21)

Положим теперь комплексное число λ равным

λ = t ( cos φ — i sinφ), (4.22)

где t — произвольное вещественное число. Из соотношений (4.21) и (4.22) очевидно, что | λ | = | t |, λ (х, у) = = t |(х, y)|. Поэтому при выбранном нами λ неравенство (4.20) переходит в неравенство

t 2 (x, x) — 2t|(x,y)| + (y,y) ≥ 0, (4.23)

справедливое при любом вещественном t. Необходимым и достаточным условием неотрицательности квадратного трехчлена, стоящего в левой части (4.23), является неположительность его дискриминанта, т.е. неравенство |(х, у)| 2 — (х, х)(у, у) ≤ 0, эквивалентное неравенству (4.18).
С помощью неравенства Коши-Буняковского (4.18) и рассуждений, полностью аналогичных доказательству теоремы 4.2, устанавливается, что всякое комплексное евклидово пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента х определить соотношением

В частности, во всяком комплексном евклидовом пространстве с нормой, определяемой соотношением (4.24), справедливо неравенство треугольника ||х + у|| ≤ ||х|| + ||у||.
Замечание. Подчеркнем, что введенное для вещественного евклидова пространства понятие угла φ между двумя произвольными элементами х и у теряет смысл для комплексного евклидова пространства (вследствие того, что скалярное произведение (х, у) является, вообще говоря, комплексным числом).
3. Ортонормированный базис и его свойства. Элементы х и у произвольного комплексного евклидова пространства будем называть ортогональными, если скалярное произведение (х, у) этих элементов равно нулю.
Ортонормированным базисом n-мерного комплексного евклидова пространства назовем совокупность его элементов e₁,e₂ . e_n, удовлетворяющих соотношениям

(т.е. попарно ортогональных и имеющих нормы, равные единице).
Как и в п. 1 §2, доказывается, что эти элементы линейно независимы и потому образуют базис.
В полной аналогии с доказательством теоремы 4.3 (т. е. с помощью процесса ортогонализации) устанавливается существование в произвольном n-мерном комплексном евклидовом пространстве ортонормированного базиса.
Выразим скалярное произведение двух произвольных элементов х и у n-мерного комплексного евклидова пространства через их координаты х₁, x₂. х_n и y₁, y₂. y_n относительно ортонормированного базиса e₁,e₂ . e_n.
Так как

то в силу аксиом 1°-4° и соотношений (4.25) получим

Выразим далее координаты х₁, x₂. х_n произвольного элемента х относительно ортонормированного базиса e₁,e₂ . e_n.
Умножая разложение этого элемента по базису х = х₁e₁+ x₂e₂+. ,+х_ne_n скалярно на е_k и пользуясь соотношениями (4.25), получим (для любого k, равного 1, 2. n)

Итак, как и в случае вещественного евклидова пространства, координаты произвольного элемента х относительно ортонормированного базиса равны скалярным произведениям этого элемента на соответствующие базисные элементы.
В полной аналогии с доказательством теоремы 4.4 устанавливается, что все комплексные евклидовы пространства одной и той же размерности n изоморфны между собой.

Видео:Математика без Ху!ни. ТФКП-1. Геометрическая интерпретация неравенств.Скачать

Комплексные числа и комплексные матрицы

Комплексные числа можно ввести, например, как вещественные арифметические векторы с двумя координатами и разумным образом определенными операциями сложения и умножения. Это означает, что комплексные числа можно представлять точками (или радиус-векторами) на плоскости с декартовой системой координат. Именно так решается вопрос о наглядном представлении комплексных чисел — это точки (радиус-векторы) на комплексной плоскости. Итак, по определению, комплексное число имеет вид z = (u,v), где u,v G R. Вещественное число и называется вещественной частью комплексного числа z, a v — его мнимой частью. Величина /u 2 + v 2 называется модулем комплексного числа z. Обозначения:

Re z := и, Im z := v, |z| := /и 2 + с 2 .

Комплексное число вида (и, 0), и Е R, отождествляется с вещественным числом и. Комплексное число вида (0,1) называется мнимой единицей и обозначается i = (0,1). Множество комплексных чисел обозначается С и расширяет множество вещественных чисел, т.е. Ж С С.

Теперь мы должны ввести операции. Заметим, что у нас уже есть операция сложения арифметических векторов и операция умножения их на вещественные числа. Нетривиальный вопрос — как умножать арифметические векторы? Чтобы его решить, мы, конечно же, должны четко сформулировать, какие свойства мы ожидаем от операции умножения.

Вещественное число а отождествляется с вектором ( Vq 6 R, V(«1,^2) ? С

(согласованность).

Мы получаем естественную и удобную форму записи

От умножения потребуем выполнения следующих свойств:

• (а + Ъ)с = ас + Ъс, с(а + Ь) = са + cb
(дистрибутивность умножения относительно сложения);
• (сш)(/ЗЬ) = (а(З)аЬ а, (5 Е R, Va, b е С (билинейность произведения);
• уравнения ах = b и ya = b разрешимы при любом b и любом а / 0 (деление);
• (аб)с = а(Ъс) (ассоциативность умножения);
• ab = Ьа (коммутативность умножения).

Наша задача — обеспечить все эти свойства. Кроме того, введем также условие перемножения модулей:

Чтобы понять, как должна определяться операция умножения комплексных чисел, достаточно знать, какое число является квадратом мнимой единицы. Предположим, что i 2 = u + vi, и, v Е R. Тогда

Запишем условие перемножения модулей:

|i 2 | = /и 2 + v 2 = |i| 2 = 1 => и 2 + v 2 = 1;

В частности, при сц = 0 и а₂ = b = b₂ = 1 находим 2 с = 0 => => v = 0. Далее, при «i = а₂ = b = b₂ = 1 находим 2(1 + и) = = О => и = — 1.

Следовательно, i 2 = (—1,0) и умножение комплексных чисел должно определяться следующим правилом:

Все свойства из списка наших требований к умножению проверяются без особых трудностей.

Пусть z — ненулевое комплексное число. На комплексной плоскости оно представляется ненулевым радиус-вектором. Обозначим через ф угол, образуемый этим вектором с осью вещественных чисел. Число ф называется аргументом комплексного числа z. Его значение считается определенным с точностью до 2тг/ь, где к — целое число. Запись

называется тригонометрической формой комплексного числа z.

Утверждение 1.16.1. При умножении ненулевых комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Утверждение 1.16.2 (неравенство треугольника). Для любых комплексных чисел а и b выполняется неравенство

Доказательство. На комплексной плоскости числа 0, а и а + b задают вершины треугольника. Интересующее нас неравенство означает, что длина стороны в этом треугольнике не превосходит суммы длин остальных сторон. ?

Пусть z = Z[ + i z%, z, z₂ 6 R. Тогда число z= z — i г₂ называется сопряженным числу z. На комплексной плоскости точки z и z расположены симметрично относительно оси вещественных чисел.

Утверждение 1.16.3. Для любых чисел х,у еС имеют место равенства ___

X + у = х + у, ху = ху.

Утверждение 1.16.4. Если 0 / х е С, то

Все понятия, введенные нами для вещественных арифметических векторов, остаются в силе и для комплексных арифметических векторов. В частности, можно говорить о линейно зависимых и независимых системах комплексных векторов и о базисе и размерности комплексного векторного пространства.

Множество всех комплексных матриц размера т х п обозначается С ш> . Комплексные матрицы складываются и умножаются по тем же правилам, что и вещественные матрицы. Для квадратной комплексной матрицы определитель вычисляется по той же формуле, что и для вещественной матрицы. Понятие обратной матрицы вводится так же. Все свойства определителя те же.

Некоторые новые свойства связаны с операцией сопряжения для комплексных чисел. Матрица В = [&y_z] 6 C nxm называется сопряженной к матрице А = [a_ZJ] е C mxn , если Ъц = аД для всех 1 i т, 1 jп. Обозначение: В = А*

Матрица А называется самосопряженной или эрмитовой, если А* = А. Если А* = —А, то А называется косоэрмитовой. Если А т = А, то матрица А называется симметричной, а если А т = -А, то кососимметричной. Квадратная матрица А называется унитарной, если она обратима и Л -1 = А*. Вещественная унитарная матрица называется ортогональной.

Утверждение 1.16.5. Пусть А и В — комплексные матрицы и произведение АВ существует. Тогда (АВ)* = В*А*.

Утверждение 1.16.6. Если А — квадратная комплексная матрица, то |Л*| = |Л|. Если матрица А обратима, то

Можно ли придумать «числа», которые задаются вещественными арифметическими векторами, скажем, с тремя координатами? Гамильтон пытался это сделать, но безуспешно. Позже Фробениус доказал, что это невозможно. Однако, Гамильтон обнаружил «почти числа» с четырьмя координатами, названные кватернионами — «почти» потому, что умножение кватернионов уже не обладает свойством коммутативности. Оказывается, других «почти чисел», для которых число координат больше четырех, уже нет — это также доказано Фробениусом.

Задача 36. Некто задумал ввести новую операцию умножения на множестве вещественных арифметических векторов вида ( 2 := (u,v). Найдите все возможные значения для координат и и V.

Задача 37. Докажите, что любая квадратная матрица однозначно представима в виде суммы эрмитовой и косоэрмитовой матриц.

Задача 38. Пусть A е С тхп и х е С пх Докажите, что из равенства А* Ах = 0 вытекает равенство Ах = 0.

Задача 39. Пусть п — натуральное число и

? = cos (2тг/п) + i sin (2тг/п).

Докажите, что п х п-матрица F с элементами fij = является обратимой и обратная матрица имеет вид

Задача 40. Матрица порядка п 4 имеет элементы, равные ±а, где а — комплексное число, и является унитарной. Докажите, что п делится на 4.

Задача 41. Предположим, что на множестве вещественных арифметических векторов V_n(R) введена ассоциативная и дистрибутивная операция умножения, допускающая деление и согласованная с операцией умножения векторов на вещественные числа следующим образом [1] .

(а, 0. ,0)(«1,а2. ,ап) = (ai«i, а2а2, • • •, апап),

Коммутативность умножения не предполагается. Пусть известно 9, что для каждого вектора a G T4(R) имеется представление вида

а = Oi(a) • 1 +/3(а) а, а(а), /3(а) е R, 1 = (1,0. ,0).

Докажите, что множество L векторов а Е V_n(IR), таких что а 2 = (а, 0. 0) и а 0, должно быть векторным пространством. Докажите также, что любой вектор z Е ln(R) представляется в виде суммы z = а • 1 + а, где а Е R и а Е L 2 ).