Найти угол абс в окружности 120 градусов

Найти угол абс в окружности 120 градусов

На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 72°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Пусть точка O — центр окружности. Угол AOB — центральный и равен дуге, на которую опирается. Значит, угол AOB равен 72°. Треугольник AOB — равнобедренный. Значит,

Найти угол абс в окружности 120 градусов

Таким образом, поскольку угол OBC прямой, угол ABC равен 90° − 54° = 36°.

Читатели, знакомые с теоремой «Угол между хордой и касательной равен половине дуги, стягиваемой хордой», могут решить эту задачу в одно действие: ∠ABC = 72° : 2 = 36°.

На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 56°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Пусть точка O — центр окружности. Угол AOB — центральный и равен дуге, на которую опирается. Значит, угол AOB равен 56°. Треугольник AOB — равнобедренный. Значит,

Найти угол абс в окружности 120 градусов

Таким образом, поскольку угол OBC прямой, угол ABC равен 90° − 62° = 28°.

Читатель, знающий правило «Угол между хордой и касательной равен половине дуги, стягиваемой хордой», может решить эту задачу в одно действие:

Найти угол абс в окружности 120 градусов

Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Впишем в окружность квадрат так, как показано на рисунке. Стороны квадрата отсекают на окружности равные дуги. Поэтому градусная мера дуги AC, на которую опирается угол ABC, составляет Найти угол абс в окружности 120 градусовполного угла 360°, т. е. равна 270°. Угол ABC вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Следовательно, угол ABC равен 135°.

Видео:№257. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°Скачать

№257. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°

Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах

27887. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Найти угол абс в окружности 120 градусов

Отметим центр окружности. Обозначим его точкой О, построим центральный угол АОС:

Найти угол абс в окружности 120 градусов

Угол АОС равен 90 0 . Это видно по тому как проходят АО и ОС относительно клетчатой сетки. Угол АВС это вписанный угол, построенный на той же дуге.

По свойству вписанного угла:

Найти угол абс в окружности 120 градусов

27888. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Найти угол абс в окружности 120 градусов

Отметим центр окружности. Обозначим его точкой О, построим центральный угол АОС и вписанный угол ADC:

Найти угол абс в окружности 120 градусов

Центральный угол АОС равен 90 0 . По свойству вписанного угла

Найти угол абс в окружности 120 градусов

Известно, что у четырёхугольника вписанного в окружность сумма противоположных углов равна 180 градусам, следовательно:

Найти угол абс в окружности 120 градусов

27889. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Найти угол абс в окружности 120 градусов

Отметим центр окружности (видно о клетчатой сетке). Обозначим его точкой О, построим центральный угол АОС:

Найти угол абс в окружности 120 градусов

Угол АОС равен 90 градусов. Угол АВС это вписанный угол, построенный на той же дуге. По свойству вписанного угла:

Видео:[ОГЭ] Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 120Скачать

[ОГЭ] Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 120

Центральные и вписанные углы

Найти угол абс в окружности 120 градусов

О чем эта статья:

Видео:Построение угла 120 градусов с помощью циркуля и линейки.Скачать

Построение угла 120 градусов с помощью циркуля и линейки.

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Найти угол абс в окружности 120 градусов

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Найти угол абс в окружности 120 градусов

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Измерение угла с помощью транспортираСкачать

Измерение угла с помощью транспортира

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Найти угол абс в окружности 120 градусов

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Найти угол абс в окружности 120 градусов

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Найти угол абс в окружности 120 градусов

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Найти угол абс в окружности 120 градусов

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Найти угол абс в окружности 120 градусов

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Найти угол абс в окружности 120 градусов

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Найти угол абс в окружности 120 градусов

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Найти угол абс в окружности 120 градусов

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Найти угол абс в окружности 120 градусов

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:Как найти угол. Я нашёл 120 градусов таким способом. How to find an angle of 120 degrees.Скачать

Как найти угол. Я нашёл 120 градусов таким способом. How to find an angle of 120 degrees.

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Найти угол абс в окружности 120 градусов

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Найти угол абс в окружности 120 градусов

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Найти угол абс в окружности 120 градусов

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

🔍 Видео

2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABCСкачать

2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABC

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

№1016. Вычислите синусы, косинусы и тангенсы углов 120°, 135°, 150°.Скачать

№1016. Вычислите синусы, косинусы и тангенсы углов 120°, 135°, 150°.

Построение угла в 120 градусовСкачать

Построение угла в 120 градусов

Построение угла с помощью транспортираСкачать

Построение угла с помощью транспортира

Построение углов заданной градусной мерыСкачать

Построение углов заданной градусной меры

Как начертить три линии под 120 градусов и шестиугольникСкачать

Как начертить три линии под 120 градусов и шестиугольник

№369. Найдите углы A, B и C выпуклого четырехугольника ABCD, еслиСкачать

№369. Найдите углы A, B и C выпуклого четырехугольника ABCD, если

Построить угол 30°Скачать

Построить угол 30°

Диагностическая работа-1 в формате ОГЭ. Задача-25Скачать

Диагностическая работа-1 в формате ОГЭ. Задача-25

Классный способ для разметки любого угла без транспортира.Скачать

Классный способ для разметки любого угла без транспортира.

Хорда АВ стягивает дугу окружности в 40 градусов. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной..Скачать

Хорда АВ стягивает дугу окружности в 40 градусов. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной..

Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105Скачать

Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105

№58. Найдите угол, смежный с углом ABC, если: a) ∠ABC = 111°; б) ∠ABC = 90°; в) ∠ABC= 15°.Скачать

№58. Найдите угол, смежный с углом ABC, если: a) ∠ABC = 111°; б) ∠ABC = 90°; в) ∠ABC= 15°.

Задача 6 №27886 ЕГЭ по математике. Урок 123Скачать

Задача 6 №27886 ЕГЭ по математике. Урок 123
Поделиться или сохранить к себе: