Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Прямоугольник. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Можно дать и другое определение прямоугольника.

Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Свойства прямоугольника

Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.

  • 1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
  • 2. Все углы прямоугольника прямые.
  • 3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
  • 4. Диагонали прямоугольника равны.
  • 5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.

Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.

Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.

Видео:2095 Найдите сторону квадрата вписанного в окружность радиуса 18 корней из 2Скачать

2095 Найдите сторону квадрата вписанного в окружность радиуса 18 корней из 2

Диагональ прямоугольника

Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность
Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность.(2)

Пример 1. Стороны прямоугольника равны Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность. Найти диагональ прямоугольника.

Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя Найти сторону прямоугольника вписанного в окружностьв (2), получим:

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Ответ: Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, описанная около прямоугольника

Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.

Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть

( small R=frac )(3)

Подставляя (3) в (2), получим:

( small R=frac<large sqrt> )(4)

Пример 2. Стороны прямоугольника равны Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность. Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя Найти сторону прямоугольника вписанного в окружностьв (4), получим:

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность
Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Ответ: Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Периметр прямоугольника

Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Периметр прямоугольника вычисляется формулой:

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность(5)

где ( small a ) и ( small b ) − стороны прямоугольника.

Пример 3. Стороны прямоугольника равны Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность. Найти периметр прямоугольника.

Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя Найти сторону прямоугольника вписанного в окружностьв (5), получим:

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Ответ: Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Видео:Как найти сторону прямоугольника по его периметруСкачать

Как найти сторону прямоугольника по его периметру

Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр

Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ ( small d ) и периметр ( small P ) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие ( small frac P2>d ) (это следует из неравенства треугольника).

Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность(6)
Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность(7)

Из формулы (7) найдем ( small b ) и подставим в (6):

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность(8)
Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность(9)

Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной ( small a ):

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность(10)

Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружностьНайти сторону прямоугольника вписанного в окружность(11)

Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность(12)

После вычисления ( small a ), сторона ( small b ) вычисляется или из формулы (12), или из (8).

Примечание. Легко можно доказать, что

( frac

>d ; ⇒ ; P>2cdot d ; ⇒ ) ( small P^2>4 cdot d^2 ; ⇒ ; 4d^2-P^2 2d .) Следовательно выполняется неравенство (*).

Пример 4. Диагональ прямоугольника равна Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность, а периметр равен Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность. Найти стороны прямоугольника.

Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант ( small D ) из формулы (11). Для этого подставим Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность, Найти сторону прямоугольника вписанного в окружностьв (11):

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Подставляя значения Найти сторону прямоугольника вписанного в окружностьи Найти сторону прямоугольника вписанного в окружностьв первую формулу (12), получим:

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Найдем другую сторону ( small b ) из формулы (8). Подставляя значения Найти сторону прямоугольника вписанного в окружностьи Найти сторону прямоугольника вписанного в окружностьв формулу, получим:

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Ответ: Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность, Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Признаки прямоугольника

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Видео:Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130

Четырехугольник, вписанный в окружность

Рассмотрим, что такое четырехугольник, вписанный в окружность и около какого четырехугольника можно описать окружность.

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все вершины четырехугольника лежат на окружности.

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Четырехугольник ABCD — вписанный в окружность.

Все его вершины — точки A, B, C, D — лежат на окружности.

1) Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180º.

2) Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна 180º, то этот четырехугольник можно вписать в окружность.

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

вписанный в окружность.

1) Из всех параллелограммов вписать в окружность можно только прямоугольник (в том числе, в квадрат).

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружностьЦентр описанной около прямоугольника окружности — точка пересечения его диагоналей.

Радиус описанной около прямоугольника окружности равен половине его диагонали.

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Через стороны прямоугольника радиус описанной окружности равен

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Если стороны прямоугольника обозначить как a и b, то

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

2) Из всех трапеций вписать в окружность можно только равнобедренную трапецию.

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружностьРадиус описанной около трапеции окружности можно найти как радиус окружности, описанной около одного из треугольников — вершин трапеции:

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружностьВписанные четырехугольники и их свойства
Найти сторону прямоугольника вписанного в окружностьТеорема Птолемея

Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаНайти сторону прямоугольника вписанного в окружностьОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаНайти сторону прямоугольника вписанного в окружностьОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииНайти сторону прямоугольника вписанного в окружностьОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаНайти сторону прямоугольника вписанного в окружностьОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникНайти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Окружность, описанная около параллелограмма
Найти сторону прямоугольника вписанного в окружностьОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Найти сторону прямоугольника вписанного в окружностьОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Найти сторону прямоугольника вписанного в окружностьОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Найти сторону прямоугольника вписанного в окружностьОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность
Окружность, описанная около параллелограмма
Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаНайти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииНайти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаНайти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникНайти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Докажем, что справедливо равенство:

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность

откуда вытекает равенство:

Найти сторону прямоугольника вписанного в окружность(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

🔥 Видео

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать

Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.

найти сторону четырехугольника, в который вписана окружностьСкачать

найти сторону четырехугольника, в который вписана окружность

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

Найдите третью сторону треугольникаСкачать

Найдите третью сторону треугольника

2140 угол C треугольника ABC вписанного в окружность радиуса 10 равен 30 градусовСкачать

2140 угол C треугольника ABC вписанного в окружность радиуса 10 равен 30 градусов

Как найти сторону квадрата и прямоугольника по известному периметруСкачать

Как найти сторону квадрата и прямоугольника по известному периметру
Поделиться или сохранить к себе: