Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Что такое средняя линия треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признак средней линии треугольника, а также разберем пример решения задачи для лучшего понимания теоретического материала.

Видео:Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.

Определение средней линии треугольника

Отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

  • KL – средняя линия треугольника ABC
  • K – середина стороны AB: AK = KB
  • L – середина стороны BC: BL = LC

Видео:Геометрия Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 6 см. НайдитеСкачать

Геометрия Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 6 см. Найдите

Свойства средней линии треугольника

Свойство 1

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон (которую не пересекает) и в два раза меньше этой стороны.

На рисунке выше:

Свойство 2

Средняя линия треугольника отсекает от него подобный треугольник (в соотношении 1:2), площадь которого в 4 раза меньше исходного.

На рисунке выше:

  • △KBL ∼ △ABC (подобие по пропорциональности всех сторон)
  • Стороны △KBL в два раза меньше соответствующих сторон △ABC:
    AB = 2KB, BC = 2BL, AC = 2KL
    .
  • S△ABC = 4 ⋅ S△KBL

Свойство 3

В любом треугольнике можно провести три средние линии.

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

KL, KM и ML – средние линии треугольника ABC.

Свойство 4

Три средние линии треугольника делят его на 4 равных по площади треугольника.

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Видео:Средняя линия. Теорема о средней линии треугольникаСкачать

Средняя линия. Теорема о средней линии треугольника

Признак средней линии треугольника

Отрезок, проходящий через середину одной из сторон треугольника, пресекающий вторую и параллельный третьей стороне, является средней линией этого треугольника.

Видео:8 класс, 25 урок, Средняя линия треугольникаСкачать

8 класс, 25 урок, Средняя линия треугольника

Пример задачи

Дан треугольник, две стороны которого равны 6 и 8 см. Найдите длину средней линии, соединяющей эти стороны.

Треугольник с заданными сторонами является прямоугольным, причем известные значения – это длины катетов. Средняя линия, которая соединяет катеты, параллельна гипотенузе и равна половине ее длины.

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Мы можем найти гипотенузу, воспользовавшись теоремой Пифагора.

BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
BC = 10.

Таким образом, средняя линия LM = 1 /2 ⋅ BC = 1 /2 ⋅ 10 = 5.

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Как найти среднюю линию треугольника?

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Понятие треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

  • Прямоугольный. Один угол прямой, то есть равен 90 градусам, два других меньше 90 градусов.
  • Остроугольный. Градусная мера всех углов больше 0, но меньше 90 градусов.
  • Тупоугольный. Один угол тупой, два других — острые.

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.

Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Свойства треугольников:

  • В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
  • Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
  • Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Видео:Средняя линия треугольникаСкачать

Средняя линия треугольника

Понятие средней линии треугольника

Определение средней линии треугольника подходит для любого вида этой фигуры.

​Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.

​Основанием считается сторона, которой параллельна средняя линия.

Как найти среднюю линию треугольника — расскажем дальше, а для начала еще немного разберемся со всеми определениями.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)

Понятие средней линии прямоугольного треугольника

Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.

В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.

Видео:Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора | Геометрия | АлгебраСкачать

Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора  |  Геометрия | Алгебра

Свойства средней линии треугольника

Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.

Свойства:

  1. Средняя линия равна половине длины основания и параллельна ему.
  2. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.
  3. Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным.
  4. Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.

Видео:Средняя линия, равнобедренный треугольник, свойства медианСкачать

Средняя линия, равнобедренный треугольник, свойства медиан

Теорема о средней линии треугольника

Теорема о средней линии треугольника звучит так:

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Докажем теорему:

По условию нам дано, что MA = MB, NA = NC

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Рассмотрим два образовавшихся треугольника ΔAMN и ΔABC.

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника(по второму признаку подобия треугольников).

△ABC, то Найти среднюю линию равнобедренного треугольникаСледовательно, ВС = 2МN. Значит, доказано, что средняя линия равна половине основания.

△ABC, то ∠1 = ∠2 . Так как ∠1 и ∠2 — соответственные углы, то по признаку параллельности прямых MN || BC.

Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.

Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, K, N — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Найти периметр ΔMNK.

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Соединим середины сторон треугольника ΔABC и получим его средние линии, которые образуют треугольник ΔMNK. Найдем их длины по теореме о средней линии:

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Ответ: периметр треугольника ΔMNK равен 10.

Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС есть две средние линии: MN и NP, равные 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Так как треугольник прямоугольный, то его площадь найдем как половину произведения катетов:

Так как MN — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета AC:

Значит, AC = 2MN = 2 × 3 = 6.

Так как NP — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета BC:

Значит, BC = 2NP = 2 × 4 = 8.

Тогда найдем площадь большого треугольника, используя формулу, указанную выше:

S = ½ × 6 × 8 = ½ × 48 = 24.

Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 24.

Видео:Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.

Средняя линия треугольника — свойства, признаки и формулы

Одним из важных понятий, с помощью которого легко решается целый класс задач по геометрии, является средняя линия треугольника.

Разберём данное понятие, рассмотрим свойства, и научимся правильно решать задачи на эту тему.

Видео:№254. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.Скачать

№254. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

Определение и признаки средней линии треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Отрезок, у которого один из концов совпадает с серединой одной из сторон, другой находится на второй стороне, проведённый параллельно третьей стороне, является средней линией треугольника.

Доказательство следует из теоремы Фалеса.

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Теорема о средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна основанию (третьей стороне) и равна её половине.

Существует три вида доказательств этого положения. Каждое из них базируется на одной из ключевых позиций планиметрии.

Пусть дан треугольник ABC, M – середина стороны AB, N – середина BC.

По определению, MN – средняя линия ΔABC.

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Необходимо доказать, что MN II AC, MN = ½AC.

Доказательства

Пусть прямая MK II AC. Тогда по теореме Фалеса MK пересекает сторону BC в её середине. В этом случае отрезок MN лежит на прямой MK.

Следовательно, MN II AC.

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Тогда NP – средняя линия по теореме Фалеса, то есть AP = PC.

Так как AMNP – параллелограмм по определению, то AP = MN. Из этого и предыдущего утверждения следует, что длина MN равна ½AC.

Рассматриваются треугольники MBN и ABC. В них угол B является общим,

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

По второму признаку подобия треугольников ΔMBN ∼ ΔABC. Следовательно, углы BMN и BAC равны.

Поскольку эти углы являются соответственными, то прямые MN и AC параллельны.

Формула MN = ½AC следует из условий

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

поскольку пропорциональность двух пар сторон влечёт соответствующее отношение для третьей пары сторон.

Рассматривается сумма векторов

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Поскольку в результате образуется замкнутая ломаная, то

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Отсюда следует, что

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Из последнего равенства следуют условия теоремы.

Видео:Теорема о средней линии треугольникаСкачать

Теорема о средней линии треугольника

Следствия из теоремы с доказательствами

Следствие №1

Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия ½ и площадью, составляющий ¼ площади заданного треугольника.

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

По определению стороны AB и BC делятся пополам, поэтому

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Из третьего признака подобия вытекает рассматриваемое свойство.

Поскольку площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то получается вторая часть свойства, то есть площадь маленького треугольника относится к площади большого как

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Следствие №2

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Поскольку MN – средняя линия, то MN II AC, поэтому ∠BMN = ∠BAP, ∠BNM = ∠BCA как соответственные при MN II AC и секущей AB или BC соответственно.

Поскольку MP – средняя линия, то MP II BC, поэтому ∠MPA = ∠BCA как соответственные при MP II BC и секущей AC.

Таким образом: ∠BNM = ∠BCA = ∠MPA.

Так как MN – средняя линия, то сторона MN = ½AC, поэтому MN = AP.

Следовательно, ΔAMP = ΔMBN по второму признаку равенства треугольников.

Равенство остальных пар треугольников доказывается аналогично.

По основному свойству ΔMBN ∼ ΔABC с коэффициентом подобия ½. Так как все полученные маленькие треугольники равны между собой, то каждый из них, следовательно, подобен большому с тем же коэффициентом.

Видео:МАТЕМАТИКА | Средняя линия треугольникаСкачать

МАТЕМАТИКА | Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Теорема и следствия из неё составляют основные свойства средней линии треугольника.

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Согласно второму утверждению, вид большого треугольника такой же, как и у маленьких. То есть для равностороннего и равнобедренного треугольников средние линии отсекают равносторонние и равнобедренные треугольники.

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые к тупому углу из вершин острых, располагаются вне треугольника. Поэтому часто рассматривают не саму среднюю линию, а её продолжение. Учитывая подобие получаемых фигур, можно утверждать, что точкой пересечения с продолжением средней линии высота делится на две равные части.

Биссектриса угла треугольника точкой пересечения со средней линией также делится пополам.

Видео:Средняя линия треугольника и её свойство доказательствоСкачать

Средняя линия треугольника и её свойство   доказательство

Средняя линия прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведённой к гипотенузе.

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Остроугольный разносторонний треугольник не имеет средних линий, обладающих подобными характеристиками.

Видео:Средняя линия треугольника. Видеоурок 13. Геометрия 8 класс.Скачать

Средняя линия треугольника. Видеоурок 13. Геометрия 8 класс.

Пример решения задачи

Найти среднюю линию равнобедренного треугольника

Доказать, что середины сторон произвольного выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Проводя диагональ четырёхугольника, получают разбиение на два треугольника, в каждом из которых построена средняя линия, параллельная по основной теореме диагонали, как основанию.

Так как две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой, то противолежащие стороны образованного средними линиями четырёхугольника параллельны.

Аналогично доказывается параллельность двух других сторон нового четырёхугольника. По определению четырёхугольник, полученный соединением середин сторон заданного четырёхугольника, является параллелограммом.

🔍 Видео

Равнобедренный треугольникСкачать

Равнобедренный треугольник

КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольникСкачать

КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольник

✓ Свойства и признаки равнобедренного треугольника | Ботай со мной #008 | Борис ТрушинСкачать

✓ Свойства и признаки равнобедренного треугольника | Ботай со мной #008 | Борис Трушин
Поделиться или сохранить к себе: