Числовая ось |
Прямоугольная декартова система координат на плоскости |
Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости |
Уравнение окружности на координатной плоскости |
- Числовая ось
- Прямоугольная декартова система координат на плоскости
- Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
- Уравнение окружности на координатной плоскости
- Окружность
- Что такое окружность?
- Как найти длину окружности
- Формулы:
- Чему равен радиус окружности
- Окружность в тригонометрии
- Что еще важно знать?
- Углы поворота
- Расстояния между двумя точками
- Расстояния между двумя точками
- Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости
- 🔍 Видео
Видео:"Парадоксальное" среднее расстояние между точками на окружностиСкачать
Числовая ось
Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление
указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.
Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .
Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .
Видео:Длина отрезкаСкачать
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).
Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.
Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA1 и AA2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).
Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A2 на числовой оси Oy .
Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).
Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .
Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).
Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.
Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .
Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.
Видео:Уравнение окружности и формула расстояния между точками на плоскостиСкачать
Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости
вычисляется по формуле
Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.
| A1A2| 2 = = ( x2 – x1) 2 + ( y2 – y1) 2 . | (1) |
что и требовалось доказать.
Видео:Расстояние между точками по координатам.Скачать
Уравнение окружности на координатной плоскости
Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:
Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A0 (x0 ; y0) .
Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид
Видео:Расстояние между двумя точками. Координаты середины отрезка.Скачать
Окружность
Привет, друг! Ниже собрана вся информация по окружности: что это такое, как найти ее величины, как круг связан с тригонометрией. Это поможет тебе еще лучше разобраться с этими темами, а также верно решать задачи! Время прочтения — 10 минут.
Видео:Уравнение окружности (1)Скачать
Что такое окружность?
Окружность — это множество всех точек на плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки, а ее радиусом называют отрезок, который соединяет любую её точку с центром (все радиусы окружности равны). У окружности также есть диаметр — отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр.
Выделяют также такое понятие как единичная окружность. Она представляет из себя такую окружность, центр которой располагается в начале координат, а ее радиус равен единице.
Есть еще один вид окружности — числовая. Это обычная единичная окружность, но с уже установленным соответствием между действительными числами и точками.
Видео:Расстояние между точкамиСкачать
Как найти длину окружности
Зачастую в задачах просят найти длину окружности, как это сделать?
Так, для того чтобы найти длину окружности, нужно:
- Диаметр этой окружности умножить на , число ≈ 3,1415926535…
- Найти удвоенное произведение радиуса и числа
Видео:Расстояние между двумя точками с заданными координатамиСкачать
Формулы:
Где r — это радиус окружности, а d — ее диаметр, а число — это математическая константа (отношение длины окружности к длине ее диаметра)
Чему равен радиус окружности
Радиус окружности необходимо знать, чтобы решить многие задачи, поэтому давай вместе разберем, как его можно найти.
- Через площадь окружности : R=s, где S — площадь круга, — это математическая константа, которая объяснена выше.
- Через длину круга: R=P2, где P — длина круга.
- Через диаметр окружности: R=d2, где d — диаметр.
- Через диагональ вписанного треугольника: R=d2, где d=a2 b2.
- Через сторону описанного квадрата: R= a2, где а — сторона описанного квадрата.
- Через стороны и площадь вписанного треугольника: R=abc4S, где abc — стороны вписанного треугольника, а S — его площадь.
- Через площадь и полупериметр описанного треугольника: R=sp, где S — площадь треугольника, а p — полупериметр.
- Через площадь сектора и его центральный угол: R=360Spa, где S — площадь сектора круга, α — его центральный угол.
- Через сторону вписанного правильного многоугольника: R=a2sin(180N), где a — сторона правильного многоугольника (все его стороны равны), N — количество сторон многоугольника.
Видео:9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать
Окружность в тригонометрии
Окружность используется и в тригонометрии:
Что значат на рисунке все обозначение?
- Присутствует перевод градусов в радианы (и наоборот). В полном круге — 360 градусов ( радиан);
- Значение косинуса угла — на оси Х, а значение синуса — на У;
- Синус и косинус имеют значения от -1 до 1;
- На тригонометрическом круге видно, что косинус как и синус — периодические (один период равен 2).
Видео:Евклидово расстояние на пальцах. Как определить расстояние между двумя точками.Скачать
Что еще важно знать?
Полный круг — 360 градусов.
Точка с координатами (1;0) — угол 0 градусов соответствует углу ноль градусов, а точка с координатами (-1;0) соответствует углу 180 градусов, точка с координатами (0;1) — в 90 градусов.
Косинус угла — абсцисса точки на единичной окружности, которая соответствует приведенному углу.
Синус угла — ордината точки на единичной окружности, которая соответствует приведенному углу.
Потому как окружность единичная, то для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от -1 до 1. Так:
Из этого можно выделить основное тригонометрическое тождество:
cos^2 a + sin^2 a = 1
По рисунку видно, что
,
Углы могут быть и больше 360 градусов. Например, угол 720 — это два полных оборота по часовой стрелке. Из этого можно сделать такой вывод:
Если же применять в этих формулах не градусы, а радианы, то:
Можно также по рисунку тригонометрической окружности определить тангенс угла и котангенс:
В результате, мы получаем таблицу:
Видео:Расстояние между двумя точкамиСкачать
Углы поворота
Угол поворота — это угол, образованный положительным направлением оси OX и лучом OA.
Их величина не имеет зависимости от радиуса приведенной окружности.
Угол в первом квадранте(четверти круга), имеет все положительные значения тригонометрических функций.
Во втором квадранте все функции (кроме sin и cos) — отрицательные.
В третьем квадранте значения всех функций (помимо tg и ctg) меньше 0.
В четвертом квадранте все функции (кроме cos и sec) с отрицательным значением.
Видео:#1 Поиск расстояния между двумя точкамиСкачать
Расстояния между двумя точками
На данной странице калькулятор поможет рассчитать расстояние между двумя точками онлайн в плоскости и пространстве. Для расчета задайте координаты.
Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, которая соединяет эти точки.
Расстояния между двумя точками
Формула вычисления расстояния между двумя точками A(xa; ya) и B(xb; yb) на плоскости:
Формула вычисления расстояния между двумя точками A(xa; ya; za) и B(xb; yb; zb) в пространстве:
Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости
Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат x и y.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:
Спомощью теоремы Пифагора, вычислим длину отрезка AB:
Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.
Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.
🔍 Видео
8-класс. Геометрия. Расстояние между двумя точками. 07.04.2020.Скачать
Координаты середины отрезкаСкачать
Расстояние между двумя точками на плоскости.Скачать
Расстояние между двумя точками #shorts #math #maths #schoolСкачать
Определение расстояния между двумя точками на Земле (Между координатами) с помощью pythonСкачать
Как измерить расстояние между двумя точками на картеСкачать
Расстояние между точками на координатной прямой 1 примерСкачать
Расстояние между точками. Геометрия 9 класс.Скачать