- Площадь равнобедренного треугольника — формулы вычисления
- Площадь равнобедренного треугольника через высоту
- Площадь равнобедренного треугольника через стороны
- Площадь равнобедренного треугольника через синус угла
- Формула площади равнобедренного треугольника через тангенс угла
- Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных
- Если треугольник прямоугольный
- Если он равнобедренный
- Если он равносторонний
- Если известна сторона и высота
- Если известны две стороны и градус угла между ними
- Если известны длины трех сторон
- Если известны три стороны и радиус описанной окружности
- Если известны три стороны и радиус вписанной окружности
- Площадь прямоугольного треугольника
- Основные определения
- Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты
- Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через гипотенузу
- Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол
- Формулы нахождения площади прямоугольного треугольника через катет и угол
- Формулы нахождения площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу
- Площадь равнобедренного треугольника — формулы вычисления
- Площадь равнобедренного треугольника через высоту
- Площадь равнобедренного треугольника через стороны
- Площадь равнобедренного треугольника через синус угла
- Формула площади равнобедренного треугольника через тангенс угла
- Формулы (тождества) синус, косинус, тангенс, котангенс тройного угла
- 1. Площадь разностороннего треугольника
- Калькулятор для расчета площади треугольника
- 2. Площадь треугольника с тупым углом
- Формула площади круга, диаметр
Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать
Площадь равнобедренного треугольника — формулы вычисления
Площадь равнобедренного треугольника важна для вычисления многих геометрических и математических задач. Например, определение площади любого многоугольника связано с его разделением на ряд треугольников и расчетом площади каждого из них.
Геометрическое тело, обладающее двумя равными сторонами и углами – есть частный случай простого разностороннего многоугольника.
Каждая из идентичных линий называется боковой, а третья – основанием.
Если в таком треугольнике опустить среднюю линию из его вершины на 3-ю сторону, то образовавшиеся два плоских тела будут идентичны (так как имеют все признаки подобия).
Площадь (S) фигуры с тремя углами возможно установить:
по двум сторонам и высоте;
через угол между двумя сторонами и величину одной из них;
по двум сторонам;
через синус противолежащего основанию угла;
зная синус прилежащего угла и др.
Видео:✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис ТрушинСкачать
Площадь равнобедренного треугольника через высоту
Вычисление площади треугольника с использованием его высоты и параметров основания – самый актуальный вариант, на базе которого строятся многие другие методы решения.
У планиметрической фигуры с двумя тождественными углами и боковыми отрезками высота может рассматриваться, как медиана и биссектриса. То есть линия, проведенная из вершины, делит планиметрический объект на два эквивалентных прямоугольных треугольника.
И общая их площадь сводится к:
b — размер основания;
Требуется рассчитать S тупоугольного равнобедренного многоугольника. Его h=3 см, а длина b = 8 см.
Вычисления выглядят следующим образом:
Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать
Площадь равнобедренного треугольника через стороны
Найти S планиметрического тела с двумя одинаковыми чертами, зная их параметры, возможно.
Для этого необходима теорема Пифагора, формулы которой видны на картинке,
и формула для отыскания S через биссектрису S = ½ * b * h.
После проведения медианы к середине 3-его отрезка, в равнобедренном треугольнике образуются 2 единообразных плоских тела с h между 2-мя катетами.
Таким образом, используя свойство сторон прямоугольного треугольника, выводим формулу, которая показана на картинке:
При высчитывание S равностороннего треугольника это выражение примет другой вид. Сравнить формулы нахождения площади равностороннего и равнобедренного треугольников можно, взглянув на картинку:
У остроугольного равнобедренного треугольника даны габариты боковины b = 3 см и базиса a = 2 см. Надлежит найти его S:
Видео:Как найти площадь треугольника? #треугольник #математика #егэ #shorts #подготовкакегэ #огэ #площадьСкачать
Площадь равнобедренного треугольника через синус угла
В геометрии встречаются задания по отысканию площади многоугольника с тремя схожими краями через данный угол и длину прилегающей стороны.
В этой ситуации определение размера h будет осуществляться с использованием угла, прилегающего к измеренной грани. Таким образом выводится выражение, которое хорошо иллюстрирует следующая картинка:
Посмотрим на рисунок, приведенный выше. Известно, что ∠ACB фигуры 30 градусов, а величина его боковой стороны AC = AB равняется 4 см. Требуется вычислить её S.
Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать
Формула площади равнобедренного треугольника через тангенс угла
Как правило, в планиметрии нередко встречаются задания по нахождению S треугольника, в котором определено значение стороны и угол.
Разнообразные равенства для решения задач, в том числе и нахождения S через тангенс угла, можно увидеть ниже:
Дан равнобедренный треугольник OPQ (см. рис. 1). Известны величины: основание OQ = 5 см и угол QOP = 45 0 . Требуется найти площадь треугольника OPQ.
Прежде всего посмотрим, как найти нам требуемую величину и какую применить формулу. Остановим свой выбор на формуле нахождения площади S по тангенсу угла.
Зная, что у нас равнобедренный треугольник, у которого углы у основания равны, найдем третий угол:
180 — 45 — 45 = 90 0 — угол OPQ.
SOPQ = 5 2 /4 * tg 45° = 25/4 * 1 = 6, 25 см 2
Вот так, используя прежде всего знания о свойствах фигур, можно получать самые разнообразные способы вычисления той величины, какая требуется в задаче.
Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать
Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных
Зависит от того, какой треугольник.
Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.
Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать
Если треугольник прямоугольный
То есть один из его углов равен 90 градусам.
Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.
Видео:100. Теорема о площади треугольникаСкачать
Если он равнобедренный
То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.
Видео:Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать
Если он равносторонний
То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:
- Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
- Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
- Поделите все на 4.
Видео:Как найти площадь треугольникаСкачать
Если известна сторона и высота
Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.
Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.
Видео:ПЛОЩАДЬ ЧЕРЕЗ ТАНГЕНС? / равнобедренный треугольник / #планиметрия #512543Скачать
Если известны две стороны и градус угла между ними
Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:
Видео:Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать
Если известны длины трех сторон
- Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
- Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
- Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
- Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
- Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
- Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
- Найдите квадратный корень.
Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.
Видео:Как найти площадь треугольника без формулы?Скачать
Если известны три стороны и радиус описанной окружности
Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.
Видео:Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать
Если известны три стороны и радиус вписанной окружности
Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.
Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.
Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.
Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать
Площадь прямоугольного треугольника
О чем эта статья:
площадь, 8 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать
Основные определения
Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой, то есть равен 90˚.
Гипотенуза — это сторона, противолежащая прямому углу.
Катеты — это стороны, прилежащие к прямому углу.
Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, можно применить любую формулу нахождения площади треугольника — их несколько.
Видео:Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэСкачать
Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты
Чтобы найти площадь, нужно вывести формулу:
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.
Так как в прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны, то один катет — это высота, проведенная ко второму катету.
Отсюда следует, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Используйте эту формулу, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника через катеты.
S = 1/2 (a × b), где a и b — катеты
Видео:Площадь треугольника через синус угла.Решение прямоугольных треугольников.8класс.Скачать
Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через гипотенузу
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.
где с — гипотенуза,
Используйте эту формулу, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу.
Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать
Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол
α, β — острые углы
Видео:Как найти катет по углу и другому катету. Как найти площадь треугольника и параллелограмма. 9 классСкачать
Формулы нахождения площади прямоугольного треугольника через катет и угол
α, β — острые углы
Формулы нахождения площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу
Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу по формуле:
S прямоугольного треугольника = r (r + c) = c1 × c2
r — радиус вписанной окружности
C1 и С2 — отрезки, полученные делением гипотенузы на две части точкой касания с окружностью
Уверены, что во всем разобрались? Закрепите знания на курсах обучения математике в онлайн-школе Skysmart!
Площадь равнобедренного треугольника — формулы вычисления
Площадь равнобедренного треугольника важна для вычисления многих геометрических и математических задач. Например, определение площади любого многоугольника связано с его разделением на ряд треугольников и расчетом площади каждого из них.
Геометрическое тело, обладающее двумя равными сторонами и углами – есть частный случай простого разностороннего многоугольника.
Каждая из идентичных линий называется боковой, а третья – основанием.
Если в таком треугольнике опустить среднюю линию из его вершины на 3-ю сторону, то образовавшиеся два плоских тела будут идентичны (так как имеют все признаки подобия).
Площадь (S) фигуры с тремя углами возможно установить:
по двум сторонам и высоте;
через угол между двумя сторонами и величину одной из них;
по двум сторонам;
через синус противолежащего основанию угла;
зная синус прилежащего угла и др.
Площадь равнобедренного треугольника через высоту
Вычисление площади треугольника с использованием его высоты и параметров основания – самый актуальный вариант, на базе которого строятся многие другие методы решения.
У планиметрической фигуры с двумя тождественными углами и боковыми отрезками высота может рассматриваться, как медиана и биссектриса. То есть линия, проведенная из вершины, делит планиметрический объект на два эквивалентных прямоугольных треугольника.
И общая их площадь сводится к:
b — размер основания;
Требуется рассчитать S тупоугольного равнобедренного многоугольника. Его h=3 см, а длина b = 8 см.
Вычисления выглядят следующим образом:
Площадь равнобедренного треугольника через стороны
Найти S планиметрического тела с двумя одинаковыми чертами, зная их параметры, возможно.
Для этого необходима теорема Пифагора, формулы которой видны на картинке,
и формула для отыскания S через биссектрису S = ½ * b * h.
После проведения медианы к середине 3-его отрезка, в равнобедренном треугольнике образуются 2 единообразных плоских тела с h между 2-мя катетами.
Таким образом, используя свойство сторон прямоугольного треугольника, выводим формулу, которая показана на картинке:
При высчитывание S равностороннего треугольника это выражение примет другой вид. Сравнить формулы нахождения площади равностороннего и равнобедренного треугольников можно, взглянув на картинку:
У остроугольного равнобедренного треугольника даны габариты боковины b = 3 см и базиса a = 2 см. Надлежит найти его S:
Площадь равнобедренного треугольника через синус угла
В геометрии встречаются задания по отысканию площади многоугольника с тремя схожими краями через данный угол и длину прилегающей стороны.
В этой ситуации определение размера h будет осуществляться с использованием угла, прилегающего к измеренной грани. Таким образом выводится выражение, которое хорошо иллюстрирует следующая картинка:
Посмотрим на рисунок, приведенный выше. Известно, что ∠ACB фигуры 30 градусов, а величина его боковой стороны AC = AB равняется 4 см. Требуется вычислить её S.
Формула площади равнобедренного треугольника через тангенс угла
Как правило, в планиметрии нередко встречаются задания по нахождению S треугольника, в котором определено значение стороны и угол.
Разнообразные равенства для решения задач, в том числе и нахождения S через тангенс угла, можно увидеть ниже:
Дан равнобедренный треугольник OPQ (см. рис. 1). Известны величины: основание OQ = 5 см и угол QOP = 45 0 . Требуется найти площадь треугольника OPQ.
Прежде всего посмотрим, как найти нам требуемую величину и какую применить формулу. Остановим свой выбор на формуле нахождения площади S по тангенсу угла.
Зная, что у нас равнобедренный треугольник, у которого углы у основания равны, найдем третий угол:
180 — 45 — 45 = 90 0 — угол OPQ.
SOPQ = 5 2 /4 * tg 45° = 25/4 * 1 = 6, 25 см 2
Вот так, используя прежде всего знания о свойствах фигур, можно получать самые разнообразные способы вычисления той величины, какая требуется в задаче.
Формулы (тождества) синус, косинус, тангенс, котангенс тройного угла
R — большая полуось
r — малая полуось
π ≈ 3.14
Формула площади эллипса, через полуоси:
Калькулятор, вычислить площадь элипса:
1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол
а — нижнее основание
b — верхнее основание
с — равные боковые стороны
α — угол при нижнем основании
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, ( S ):
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, ( S ):
2. Формулы площади равнобедренной трапеции если в нее вписана окружность
R — радиус вписанной окружности
D — диаметр вписанной окружности
O — центр вписанной окружности
H — высота трапеции
α , β — углы трапеции
а — нижнее основание
b — верхнее основание
Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, ( S ):
СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:
R — радиус вписанной окружности
m — средняя линия
O — центр вписанной окружности
c — боковые стороны
а — нижнее основание
b — верхнее основание
Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, стороны и среднюю линию ( S ):
СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:
3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними
d — диагональ трапеции
α , β — углы между диагоналями
Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, ( S ):
4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
c — боковая сторона
m — средняя линия трапеции
α , β — углы при основании
Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, ( S ):
5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту
a — нижнее основание
b — верхнее основание
h — высота трапеции
Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, ( S ):
a , b , c — стороны треугольника
α , β , γ — противолежащие углы
Площадь треугольника через сторону и два угла (S):
Формулы для треугольника:
Зная длины всех трех сторон
и используя формулу Герона можно найти площадь разностороннего треугольника
a , b , c — стороны треугольника
p — полупериметр, p=( a + b + c )/2
Формула ( Герона ) площади треугольника через полупериметр ( S ):
Калькулятор — вычислить, найти площадь треугольника:
Формулы для треугольника:
Треугольник это плоская фигура, которая имеет три стороны и три угла. Сумма всех трех углов, равна 180 градусов.
Высота треугольника это — опущенный перпендикуляр из вершины угла на противоположенную сторону или ее продолжение, которую в этом случае, называют основанием.
Что бы найти площадь треугольника,
для этого надо основание умножить на высоту и разделить на два
1. Площадь разностороннего треугольника
h — высота треугольника
Формула площади треугольника (S):
Калькулятор для расчета площади треугольника
2. Площадь треугольника с тупым углом
h — высота треугольника
Формула площади треугольника с тупым углом (S):
Формулы для треугольника:
Зная у треугольника
две стороны и синус угла между ними, находим по формуле, его площадь
a , b , c — стороны треугольника
α , β , γ — углы
Формулы площади треугольника, через две стороны и угол между ними, (S):
Калькулятор — вычислить, найти площадь треугольника:
Формулы для треугольника:
Прямоугольный треугольник, так же как и любой другой треугольник, имеет три стороны и три угла. Разница только в том, что один угол прямой, т. е. 90 градусов и два остальных, острых угла в сумме составляют, тоже 90 градусов.
Две стороны, которые формируют прямой угол, называют катетами, а третья сторона напротив прямого угла, называется — гипотенуза
1. Если известны только катеты
a , b — катеты треугольника
Формула площади треугольника через катеты ( S ) :
2. Если известны острый угол и гипотенуза или катет
c — гипотенуза
a , b — катеты
α , β — острые углы
Формулы площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол ( S ) :
Формулы площади прямоугольного треугольника через катет и угол ( S ) :
Как известно, сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов, а если
то справедливы следующие тождества:
3. Если известны радиус вписанной окружности и гипотенуза
c — гипотенуза
c 1 , c 2 — отрезки полученные делением гипотенузы, точкой касания окружности
r — радиус вписанной окружности
О — центр вписанной окружности
Формулы площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу ( S ) :
b — основание треугольника
a — равные стороны
h — высота
Формула площади треугольника через высоту h и основание b , (S):
Калькулятор — вычислить, найти площадь треугольника через высоту и основание:
Формула площади треугольника через, стороны a , b , (S):
Калькулятор — вычислить, найти площадь треугольника через равные стороны и основание:
b — основание треугольника
a — равные стороны
h — высота
Формулы для треугольника:
Если вы знаете сторону или высоту
вы можете найти площадь равностороннего треугольника
a — сторона треугольника
h — высота
Площадь треугольника через сторону a и высоту h , (S):
Площадь треугольника только через сторону a , (S):
Калькулятор для расчета площади равностороннего треугольника
Площадь треугольника только через высоту h , ( S ):
Калькулятор для расчета площади равностороннего треугольника
a — сторона треугольника
h — высота
Формулы для треугольника:
Формула площади круга, диаметр
Круг это плоская фигура, все точки которой, расположены на любом расстоянии от определенной точки (центр круга) но не больше заданной длины (радиус).
Радиус круга — отрезок, соединяющий центр окружности и любую, максимально удаленную от центра точку круга.
Диаметр круга — отрезок, соединяющий две любые точки максимально удаленные от центра круга и проходящий через этот центр. Диаметр, в два раза больше радиуса
или радиус круга или длину окружности, можно найти его площадь.
r — радиус круга
D — диаметр круга
Формула площади круга, (S):
на тему: Площадь круга
Калькулятор для расчета площади круга через радиус
Калькулятор для расчета площади круга через диаметр
L — длина окружности
О — центр круга
Формула площади круга если известна длина окружности, (S):
на тему: Площадь круга
Калькулятор для расчета площади круга через длину
Площадь кольца равна — число π , умноженное на разницу квадратов, радиуса внешней окружности и радиуса внутренней окружности
R — радиус внешней окружности
r — радиус внутренней окружности
Формула площади кольца (S):
Калькулятор — вычислить, найти площадь кольца
R — радиус внешней окружности
r — радиус внутренней окружности
α — угол сектора AOB, в градусах
Формула площади сектора кольца (S):
R — радиус круга
α — угол сегмента в градусах
Формула площади сегмента круга (S), отсекаемая хордой AC :
Калькулятор для расчета длины дуги окружности :
Формулы для окружности и круга:
Найти площадь сектора круга если даны радиус и длина дуги или радиус и центральный угол
r — радиус круга
L — длина дуги AB
α — угол сектора круга AOB в градусах
Формула площади сектора круга (S), через длину дуги ( L ):
Формула площади сектора круга (S), через угол ( α ):
Формулы для окружности и круга:
Вычислить площадь ромба, зная: (диагонали) или (сторону и угол между ними) или (диагональ и угол между сторонами)
a — сторона ромба
D — большая диагональ
d — меньшая диагональ
α — острый угол
β — тупой угол
Формулы площади ромба через диагонали и углы между сторонами ( S ):
a — сторона ромба
h — высота
r — радиус вписанной окружности
Формула площади ромба через высоту или радиус вписанной окружности ( S ):
1. Формула площади параллелограмма через стороны и углы
a, b — стороны параллелограмма
α , β — углы параллелограмма
Формула площади через стороны и углы параллелограмма, ( S ):
Калькулятор — вычислить, найти площадь параллелограмма:
2. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту
a, b — стороны параллелограмма
H b — высота на сторону b
H a — высота на сторону a
Формула площади через стороны и высоты параллелограмма, ( S ):
3. Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними
D — большая диагональ
d —меньшая диагональ
α , β — углы между диагоналями
Формула площади через диагонали параллелограмма и угол между ними , ( S ):
Калькулятор — вычислить, найти площадь параллелограмма:
Формулы для параллелограмма: