Найдите радиус окружности описанной около правильного треугольника abc

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.

Равносторонний треугольник

Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:

где a – сторона треугольника.

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.

Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:

Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:

Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.

Треугольник ABC — правильный, его сторона равна 18 см. Найдите радиус ОВ описанной около него окружности.

Ваш ответ

решение вопроса

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,282
• гуманитарные 33,619
• юридические 17,900
• школьный раздел 606,997
• разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Прямоугольник и прямоугольный треугольник: радиус вписанной и описанной окружности. Задание В6

При решении задач на нахождение радиуса вписанной или описанной окружности нужно вспомнить такие факты:

1. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы. Соответственно, радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы.

2. Центр окружности, описанной около прямоугольника или квадрата, лежит в точке пересечения диагоналей.

3. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата.

4. Центр окружности, вписанной в равносторонний треугольник, а также центр окружности, описанной около равностороннего треугольника лежит в точке пересечения медиан ( высот и биссектрис).

И, так как точка пересечения медиан любого треугольника делит их в отношении 2:1, считая от вершины,

• радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник равен медианы (высоты, биссектрисы) равностороннего треугольника, и
• радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника равен медианы (высоты, биссектрисы) равностороннего треугольника

5. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, удобно находить, дважды выразив площадь прямоугольного треугольника:

, где и — катеты прямоугольного треугольника, — полупериметр прямоугольного треугольника, — радиус вписанной окружности.

Рассмотрим примеры решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике:

1 . Задание B7 (№ 27947)

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.

Центр окружности, описанной около прямоугольника лежит в точке пересечения диагоналей:

Очевидно, что точка О делит отрезок BD пополам (диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам). Длина отрезка BD равна 5( считаем клетки), следовательно, радиус описанной окружности равен 2,5.

2 . Задание B7 (№ 27948)

Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат ABCD, считая стороны квадратных клеток равными.

ОК- радиус окружности, вписанной в квадрат ABCD:

ОК — диагональ квадрата со стороной , следовательно,

3 . Задание B7 (№ 27949)

Найдите радиус R окружности, описанной около треугольника ABC, если стороны квадратных клеток равны 1. В ответе укажите .

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы:

Найдем длину отрезка СО, равного радиусу описанной окружности, из треугольника СОК:

В ответе требуется указать

4 . Задание B7 (№ 27950)

Найдите радиус окружности, описанной около правильного треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Центр О описанной окружности лежит в точке пересечения медиан (высот и биссектрис) треугольника ABC.

Высота (она же медиана) ВК=3, следовательно,

5 . Задание B7 (№ 27951)

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Считаем клеточки: AC=3, BC=4. По теореме Пифагора

И.В. Фельдман, репетитор по математике.