Найдите произведение сторон треугольника

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

  1. Три стороны треугольника.
  2. Две стороны треугольника и угол между ними.
  3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
  4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Содержание
  1. Решение треугольника по трем сторонам
  2. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
  3. Решение треугольника по стороне и любым двум углам
  4. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  5. Типы треугольников
  6. По величине углов
  7. По числу равных сторон
  8. Вершины углы и стороны треугольника
  9. Свойства углов и сторон треугольника
  10. Теорема синусов
  11. Теорема косинусов
  12. Теорема о проекциях
  13. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  14. Медианы треугольника
  15. Свойства медиан треугольника:
  16. Формулы медиан треугольника
  17. Биссектрисы треугольника
  18. Свойства биссектрис треугольника:
  19. Формулы биссектрис треугольника
  20. Высоты треугольника
  21. Свойства высот треугольника
  22. Формулы высот треугольника
  23. Окружность вписанная в треугольник
  24. Свойства окружности вписанной в треугольник
  25. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  26. Окружность описанная вокруг треугольника
  27. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  28. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  29. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  30. Средняя линия треугольника
  31. Свойства средней линии треугольника
  32. Периметр треугольника
  33. Формулы площади треугольника
  34. Формула Герона
  35. Равенство треугольников
  36. Признаки равенства треугольников
  37. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  38. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  39. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  40. Подобие треугольников
  41. Признаки подобия треугольников
  42. Первый признак подобия треугольников
  43. Второй признак подобия треугольников
  44. Третий признак подобия треугольников
  45. Треугольник. Соотношения между сторонами треугольника и радиусами вписанного и описанного кругов.
  46. 💥 Видео

Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

9 класс, 15 урок, Решение треугольников

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем Найдите произведение сторон треугольника.

Найдите произведение сторон треугольника
Найдите произведение сторон треугольника
Найдите произведение сторон треугольника
Найдите произведение сторон треугольника(1)
Найдите произведение сторон треугольника(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Найдите произведение сторон треугольника.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найдите произведение сторон треугольникаНайти Найдите произведение сторон треугольника(Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

Найдите произведение сторон треугольникаНайдите произведение сторон треугольника.
Найдите произведение сторон треугольникаНайдите произведение сторон треугольника.
Найдите произведение сторон треугольника, Найдите произведение сторон треугольника.

И, наконец, находим угол C:

Найдите произведение сторон треугольникаНайдите произведение сторон треугольника

Видео:Найдите сторону треугольника, если другие его стороны равны 1 и 5Скачать

Найдите сторону треугольника, если другие его стороны равны 1 и 5

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Найдите произведение сторон треугольника

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Найдите произведение сторон треугольника.
Найдите произведение сторон треугольника.

Далее, из формулы

Найдите произведение сторон треугольника.
Найдите произведение сторон треугольника.(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Найдите произведение сторон треугольника.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: Найдите произведение сторон треугольникаи Найдите произведение сторон треугольника(Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Найдите произведение сторон треугольника,
Найдите произведение сторон треугольникаНайдите произведение сторон треугольникаНайдите произведение сторон треугольника.

Из формулы (3) найдем cosA:

Найдите произведение сторон треугольникаНайдите произведение сторон треугольника
Найдите произведение сторон треугольника.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Найдите произведение сторон треугольникаНайдите произведение сторон треугольника.

Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисунке

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Найдите произведение сторон треугольника

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Найдите произведение сторон треугольника.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Найдите произведение сторон треугольника, Найдите произведение сторон треугольника.
Найдите произведение сторон треугольника, Найдите произведение сторон треугольника.

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: Найдите произведение сторон треугольникаи углы Найдите произведение сторон треугольника(Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найдите произведение сторон треугольникаНайдите произведение сторон треугольника

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найдите произведение сторон треугольника
Найдите произведение сторон треугольника

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Видео:Найдите стороны треугольникаСкачать

Найдите стороны треугольника

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Типы треугольников

По величине углов

Найдите произведение сторон треугольника

Найдите произведение сторон треугольника

Найдите произведение сторон треугольника

По числу равных сторон

Найдите произведение сторон треугольника

Найдите произведение сторон треугольника

Найдите произведение сторон треугольника

Видео:Найдите стороны треугольникаСкачать

Найдите стороны треугольника

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Найдите произведение сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Медианы треугольника

Найдите произведение сторон треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.

Биссектрисы треугольника

Найдите произведение сторон треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.

Высоты треугольника

Найдите произведение сторон треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Окружность вписанная в треугольник

Найдите произведение сторон треугольника

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬСкачать

Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬ

Окружность описанная вокруг треугольника

Найдите произведение сторон треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольников

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Найдите произведение сторон треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Периметр треугольника

Найдите произведение сторон треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

Формулы площади треугольника

Найдите произведение сторон треугольника

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Видео:Площадь треугольника, построенного на векторахСкачать

Площадь треугольника, построенного на векторах

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Видео:100. Теорема о площади треугольникаСкачать

100. Теорема о площади треугольника

Подобие треугольников

Найдите произведение сторон треугольника

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Треугольник. Соотношения между сторонами треугольника и радиусами вписанного и описанного кругов.

По двум сторонам a и b треугольника ABC и радиусу R описанного круга вычислить третью сторону x треугольника.

Найдите произведение сторон треугольника

Найдите произведение сторон треугольника

Применяя к этому четырехугольнику теорему Птоломея будем иметь:

Найдите произведение сторон треугольника

откуда легко найдем x .

Задача будет иметь другое решение, если предположим, что стороны a и b лежат по одну сторону от центра. Применяя к этому случаю теорему Птоломея, мы получим следующее уравнение:

Найдите произведение сторон треугольника

Теорема.

Произведение двух сторон треугольника равно:

1. произведению диаметра описанного круга на высоту, проведенную к третьей стороне.

2. квадрату биссектрисы угла, заключенного между этими сторонами, сложенному с произведением отрезков третьей стороны.

1.Обозначим стороны треугольника ABC через a, b и с, высоту, опущенную на сторону a через ha , а радиус описанного круга через R.Проведем диаметр AD и соединим D с B.

Треугольники ABD и AEC подобны, потому что углы B и E прямые и D= С , как углы вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу.

Из этой формулы легко определить величину радиуса R описанного круга.

Найдите произведение сторон треугольника

По первой теореме мы имеем: bс = 2Rha , где b и с есть две стороны треугольника, haвысота, опущенная на третью сторону треугольника, и Rрадиус описанного круга.

Из этого равенства выводим:

Исключим из этой формулы высоту ha: для этого умножим числитель и знаменатель дроби на a. Тогда, заменив произведение ha a удвоенной площадью треугольника (которую обозначим S), получим:

Найдите произведение сторон треугольника,

Чтобы найти радиус r внутреннего вписанного круга рассмотрим треугольник АВС со вписанной в него окружностью. Отметим центр вписанной окружности и примем во внимание, что прямые OA, OB и разделяют данный треугольник на три других треугольника, у которых основаниями служат стороны данного треугольника, а высотой — радиус r.

Найдите произведение сторон треугольника

Поэтому: S=1/2ar + 1/2br + 1/2cr = r ½ (a+b+c) = rp.

💥 Видео

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Угол между векторами | МатематикаСкачать

Угол между векторами | Математика
Поделиться или сохранить к себе: