Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Как найти стороны прямоугольного треугольника
Содержание
  1. Онлайн калькулятор
  2. Найти гипотенузу (c)
  3. Найти гипотенузу по двум катетам
  4. Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу
  5. Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу
  6. Найти гипотенузу по двум углам
  7. Найти катет
  8. Найти катет по гипотенузе и катету
  9. Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу
  10. Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу
  11. Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу
  12. Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу
  13. В прямоугольном треугольнике АВС (угол С =90градусов), АВ=1см, угол А =30 градусов. Найти катеты треугольника .нужно решени
  14. Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
  15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
  16. Теорема Пифагора
  17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника
  18. Решение прямоугольных треугольников
  19. Пример №1
  20. Пример №2
  21. Пример №3
  22. Пример №4
  23. Четырехугольник, его элементы. Сумма углов четырехугольника
  24. Пример №5
  25. Пример №6
  26. Пример №7
  27. Пример №8
  28. Пример №9
  29. Пример №10
  30. Пример №11
  31. Перпендикуляр и наклонная, их свойства
  32. Пример №12
  33. Пример №13
  34. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике
  35. Пример №14
  36. Пример №15
  37. Пример №16
  38. Пример №17
  39. Вычисление прямоугольных треугольников
  40. Решение прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу
  41. Решение прямоугольных треугольников по катету и острому углу
  42. Решение прямоугольных треугольников по двум катетам
  43. Решение прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе
  44. Определение прямоугольных треугольников
  45. Синус, косинус и тангенс
  46. Пример №18
  47. Тригонометрические тождества
  48. Пример №19
  49. Вычисление значений тригонометрических функций. Формулы дополнения
  50. Значения тригонометрических функций углов 30 45 60
  51. Решение прямоугольных треугольников
  52. Нахождение неизвестных сторон прямоугольного треугольника
  53. Пример №20
  54. Примеры решения прямоугольных треугольников
  55. Пример №21
  56. Пример №22
  57. Пример №23
  58. Пример №24
  59. Пример №25
  60. Пример №26
  61. Историческая справка
  62. Приложения
  63. Теорема (обобщенная теорема Фалеса)
  64. Теорема (формула площади прямоугольника)
  65. Золотое сечение
  66. Пример №27
  67. Пример №28
  68. Пример №29
  69. Вычисление значений sin a, cos а и tg а
  70. Пример №31
  71. Как решать прямоугольные треугольники
  72. Пример №32
  73. Пример №33
  74. Пример №34
  75. Пример №35
  76. Пример №36
  77. Пример №37
  78. 🎬 Видео

Видео:КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать

КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрия

Онлайн калькулятор

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

  • для гипотенузы (с):
    • длины катетов a и b
    • длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
  • для катета:
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
    • длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
    • длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

следовательно: c = √ a² + b²

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:

c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:

c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по двум углам

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

Найти катет

Найти катет по гипотенузе и катету

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:

a = √ 5² — 4² = √ 25 — 16 = √ 9 = 3 см

Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:

b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см

Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:

a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см

Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:

b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см

Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

Видео:7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»Скачать

7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»

В прямоугольном треугольнике АВС (угол С =90градусов), АВ=1см, угол А =30 градусов. Найти катеты треугольника .нужно решени

Катет, лежащий напротив угла в 30 градусов = половине гипотенузы .
Следовательно, СВ= 0,5 см
син а = а/в
АС= 0.5

первое решение правильное))

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Есть свойство прямоугольного треугольника, гласящее о том, что КАТЕТ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ЛЕЩАЩИЙ ПРОТИВ УГЛА В 30 ГРАДУСОВ РАВЕН ПОЛОВИНЕ ГИПОТЕНУЗЫ.
АВ-гипотенуза=1 см. Против АВ лежит катет СВ. Значит СВ=0,5 см.

ок начали.
АВ-гипотенуза (лежит против прямого угла)
сторона CAлежит против угла в30 градусов (из условия) , и равна 12 гипотенузы (0,5)
далее по теореме пифагора (АС’2+BC’2=AB’2) ‘ 2 — значит в квадрате
0.5*0.5+ВС*ВС+1*1
ВС= корень из0.75

Так как угол A=30, то CB/AB=sin 30=1/2 => СВ=0.5 см. По теореме пифагора AC^2+BC^2=AB^2 => AC=корень из 0.75. Значит АС примерно равен 0.9 см

ну как то так Найдите катеты прямоугольного треугольника авс
CB=0.5
CA=0.866

По введенным данным рассчитан треугольник с следущими параметрами
Сторона a= 0.5
Сторона b= 0.86602540378444
Сторона c= 1
Угол A= 30 градусов или 0.5235987755983 радиан
Угол B= 59.999999999999 градусов или 1.0471975511966 радиан
Угол C= 90 градусов или 1.5707963267949 радиан
Площадь S= 0.21650635094609
Радиус вписанной окружности r= 0.18301270189221
Радиус описанной окружности R= 0.5
Расстояние между центрами вписаноой и описанной окружностями d= 0.25881904510254
Высота к стороне a ha= 0.86602540378436
Высота к стороне b hb= 0.49999999999995
Высота к стороне c hc= 0.43301270189218
Полупериметр p= 1.1830127018922
Радиус вневписанной окружности, касающейся стороны, a ra= 0.31698729810776
Радиус вневписанной окружности, касающейся стороны, b rb= 0.6830127018922
Радиус вневписанной окружности, касающейся стороны, c rc= 1.1830127018922
Медиана, проведённая к стороне a ma= 0.901387818866
Медиана, проведённая к стороне a mb= 0.66143782776615
Медиана, проведённая к стороне a mc= 0.5
Биссектриса, проведённая к стороне a la= 0.89657547216805
Биссектриса, проведённая к стороне a lb= 0.57735026918963
Биссектриса, проведённая к стороне a lc= 0.44828773608403
Координата точки A (xa;ya)= (x ; x)
Координата точки B (xb;yb)= (x ; x)
Координата точки C (xc;yc)= (x ; x)

Видео:1728 катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 40 найдите гипотенузу этого треугольникаСкачать

1728  катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 40 найдите гипотенузу этого треугольника

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Содержание:

В этой лекции вы ознакомитесь со знаменитой теоремой Пифагора. Вы научитесь по известным сторонам и углам прямоугольного треугольника находить его неизвестные стороны и углы.

Видео:Лайфхак нахождения катета в прямоугольном треугольникеСкачать

Лайфхак нахождения катета в прямоугольном треугольнике

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

На рисунке 173 отрезок CD — высота прямоугольного треугольника ABC Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Отрезки AD и DB называют проекциями катетов АС и СВ соответственно на гипотенузу.

Лемма. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Докажите лемму самостоятельно.

Теорема 15.1. Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Доказательство. На рисунке 173 отрезок CD — высота прямоугольного треугольника ABC Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Докажем, что Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

  • Поскольку Найдите катеты прямоугольного треугольника авсОтсюда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс
  • Поскольку Найдите катеты прямоугольного треугольника авсОтсюда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс
  • Поскольку Найдите катеты прямоугольного треугольника авсОтсюда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Если длины отрезков на рисунке 173 обозначить так:

АС = Ь, Найдите катеты прямоугольного треугольника австо доказанные соотношения принимают вид:
Найдите катеты прямоугольного треугольника авс
Эти равенства называют метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Пример:

Даны два отрезка, длины которых равны а и b (рис. 174). Постройте третий отрезок, длина которого равна Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Решение:

Рассмотрим треугольник ADC Найдите катеты прямоугольного треугольника авсв котором отрезок DB является высотой (рис. 175). Имеем: Найдите катеты прямоугольного треугольника авсЕсли обозначить Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Проведенный анализ показывает, как провести построение.

На произвольной прямой отметим точку А и отложим последовательно отрезки АВ и ВС так, чтобы АВ = а, ВС = b. Построим окружность с диаметром АС. Через точку В проведем прямую, перпендикулярную прямой АС (рис. 175).

Докажем, что отрезок DB искомый. Действительно, Найдите катеты прямоугольного треугольника авскак вписанный угол, опирающийся на диаметр АС. Тогда по теореме 15.1 Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Видео:№172. Катет АС прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С лежит в плоскости α, а уголСкачать

№172. Катет АС прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С лежит в плоскости α, а угол

Теорема Пифагора

Теорема 16.1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство. На рисунке 176 изображен прямоугольный треугольник ABC Найдите катеты прямоугольного треугольника авсДокажем, что Найдите катеты прямоугольного треугольника авс
Проведем высоту CD. Применив теорему 15.1 для катетов АС и ВС, получаем:
Найдите катеты прямоугольного треугольника авсСложив почленно эти равенства, получим:
Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Далее имеем: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Если в прямоугольном треугольнике длины катетов равны а и b, а длина гипотенузы равна с, то теорему Пифагора можно выразить следующим равенством: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Теорема Пифагора позволяет по двум сторонам прямоугольного треугольника найти его третью сторону:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Из равенства Найдите катеты прямоугольного треугольника австакже следует, что Найдите катеты прямоугольного треугольника авсотсюда Найдите катеты прямоугольного треугольника австо есть гипотенуза больше любого из катетов 1 .

1 Другим способом этот факт был установлен в курсе геометрии 7 класса.

Пифагор:

Вы изучили знаменитую теорему, которая носит имя выдающегося древнегреческого ученого Пифагора.

Исследования древних текстов свидетельствуют о том, что утверждение этой теоремы было известно задолго до Пифагора. Почему же ее приписывают Пифагору? Скорее всего потому, что именно Пифагор нашел доказательство этого утверждения.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

О жизни Пифагора мало что известно достоверно. Он родился на греческом острове Самос. По преданиям, он много путешествовал, приобретая знания и мудрость.

Поселившись в греческой колонии Кротон (на юге Италии), он окружил себя преданными учениками и единомышленниками. Так возник пифагорейский союз (или кротонское братство). Влияние этого союза было столь велико, что даже спустя столетия после смерти Пифагора многие выдающиеся математики Древнего мира Пифагор называли себя пифагорейцами.

Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника

На рисунке 180 изображен прямоугольный треугольник АВС Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНапомним, что катет ВС называют противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.

Определение. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синус угла А обозначают так: sin А (читают: «синус А»). Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС имеем:
Найдите катеты прямоугольного треугольника авс
Для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 181, можно записать: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник АВС Найдите катеты прямоугольного треугольника авсв котором АС = ВС = а (рис. 182).

Имеем: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс
По определению Найдите катеты прямоугольного треугольника авсотсюда Найдите катеты прямоугольного треугольника авсВидим, что синус острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника не зависит от размеров треугольника, так как полученное значение синуса одинаково для всех значений а. Поскольку Найдите катеты прямоугольного треугольника авсЭту запись не связывают с конкретным прямоугольным равнобедренным треугольником.

Вообще, если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны.

Действительно, эти прямоугольные треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников. Поэтому отношение катета к гипотенузе одного треугольника равно отношению соответственного катета к гипотенузе другого треугольника.

Например, запись sin 17° можно отнести ко всем углам, градусные меры которых равны 17°. Значение этого синуса можно вычислить один раз, выбрав произвольный прямоугольный треугольник с острым углом 17°.
Следовательно, синус острого угла зависит только от величины этого угла.

Определение. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла А обозначают так: cos А (читают: «косинус А»).
Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Отметим, что катет прямоугольного треугольника меньше его гипотенузы, а поэтому синус и косинус острого угла меньше 1.

Определение. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс угла А обозначают так: tg А (читают: «тангенс А»).
Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать:
Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Определение. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему.

Котангенс угла А обозначают так: ctg А (читают: «котангенс А»). Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать:
Найдите катеты прямоугольного треугольника авс
Для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 181, записывают: Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНайдите катеты прямоугольного треугольника авс

Как было установлено, синус угла зависит только от величины угла. Рассуждая аналогично, можно прийти к следующему выводу: косинус, тангенс и котангенс острого угла зависят только от величины этого угла.

Вообще, каждому острому углу а соответствует единственное число — значение синуса (косинуса, тангенса, котангенса) этого угла. Поэтому зависимость значения синуса (косинуса, тангенса, котангенса) острого угла от величины этого угла является функциональной. Функцию, соответствующую этой зависимости, называют тригонометрической. Так, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс Найдите катеты прямоугольного треугольника авс— тригонометрические функции, аргументами которых являются острые углы.

С древних времен люди составляли таблицы приближенных значений тригонометрических функции с некоторым шагом, один раз вычисляя значения тригонометрических функций для конкретного аргумента. Затем эти таблицы широко использовались во многих областях науки и техники.

В наше время значения тригонометрических функций острых углов удобно находить с помощью микрокалькулятора.

Тангенс и котангенс острого угла можно выразить через синус и косинус этого же угла. Рассмотрим прямоугольный треугольник (рис. 181).

Запишем: Найдите катеты прямоугольного треугольника авсСледовательно, получаем такие формулы: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Заметим, что тангенс и котангенс одного и того же острого угла являются взаимно обратными числами, то есть имеет место равенство:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

По теореме Пифагора Найдите катеты прямоугольного треугольника авсОбе части этого равенства делим на Найдите катеты прямоугольного треугольника авсИмеем: Найдите катеты прямоугольного треугольника авсУчитывая, что Найдите катеты прямоугольного треугольника авс Найдите катеты прямоугольного треугольника авсполучим: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Принято записывать: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Отсюда имеем: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс
Эту формулу называют основным тригонометрическим тождеством.

Отметим, что Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНайдите катеты прямоугольного треугольника авсПоскольку Найдите катеты прямоугольного треугольника австо получаем такие формулы:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Мы уже знаем, что Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНайдем теперь cos 45°, tg 45° и ctg 45°.

Имеем: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдем синус, косинус, тангенс и котангенс углов 30° и 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 183).

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Пусть ВС = а. Тогда по свойству катета, лежащего против угла 30°, получаем, что АВ = 2а. Из теоремы Пифагора следует, что Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Имеем: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс
Отсюда находим: Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНайдите катеты прямоугольного треугольника авс

Поскольку 60° = 90° — 30°, то получаем:
Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 30°, 45° и 60° полезно запомнить.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Решение прямоугольных треугольников

На рисунке 185 изображен прямоугольный треугольник с острыми углами Найдите катеты прямоугольного треугольника авскатеты которого равны а и b, а гипотенуза равна с.
По определению синуса острого угла прямоугольного треугольника Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Отсюда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету.

По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника Найдите катеты прямоугольного треугольника авсОтсюда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника Найдите катеты прямоугольного треугольника авсОтсюда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс угла, противолежащего первому катету.

По определению котангенса острого угла прямоугольного треугольника Найдите катеты прямоугольного треугольника авсОтсюда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс
Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на котангенс угла, прилежащего к первому катету.
Из равенств Найдите катеты прямоугольного треугольника авсполучаем: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс
Следовательно, гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему угла;

  • гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему угла.

Решить прямоугольный треугольник означает найти его стороны и углы по известным сторонам и углам.

Приведенные выше правила позволяют решать прямоугольный треугольник по одной стороне и одному острому углу.

В задачах на решение прямоугольных треугольников, если не обусловлено иначе, приняты такие обозначения (см. рис. 185): с — гипотенуза, а и b — катеты, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс— углы, противолежащие катетам а и b соответственно.

Пример №1

Решите прямоугольный треугольник по катету и острому углу: a = 14 см, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс= 38°. (Значения тригонометрических функций найдите с помощью микрокалькулятора и округлите их до сотых. Значения длин сторон округлите до десятых.)

Решение:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс
Ответ: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Отметим, что эту задачу можно было решить и другим способом: например, найти гипотенузу, используя теорему Пифагора.

Пример №2

Решите прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе:

a = 26 см, с = 34 см.

Решение:

Имеем: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Вычисляем угол Найдите катеты прямоугольного треугольника авсс помощью микрокалькулятора: Найдите катеты прямоугольного треугольника авсТогда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс
Найдите катеты прямоугольного треугольника авс
Ответ: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Пример №3

Высота AD треугольника АВС (рис. 186) делит его сторону ВС на отрезки BD и CD такие, что Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНайдите стороны АВ и АС, если Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Решение:

Из треугольника Найдите катеты прямоугольного треугольника авсполучаем:
Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Из треугольника Найдите катеты прямоугольного треугольника авсполучаем:Найдите катеты прямоугольного треугольника авс
Ответ: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Пример №4

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна b, угол при основании равен Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНайдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение:

В треугольнике АВС (рис. 187) Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Проведем высоту BD.

Из треугольника Найдите катеты прямоугольного треугольника авсполучаем: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Следовательно, точка О принадлежит высоте ВD и биссектрисе АО угла ВАС. Поскольку Найдите катеты прямоугольного треугольника австо вписанная окружность касается стороны АС в точке D. Таким образом, OD — радиус вписанной окружности. Отрезок АО — биссектриса угла BAD, поэтому
Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Из треугольника Найдите катеты прямоугольного треугольника авсполучаем: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Ответ: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Напомню:

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

  • Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.
  • Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Теорема Пифагора

  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Синус острого угла прямоугольного треугольника

  • Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника

  • Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника

  • Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника

  • Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему.

Тригонометрические формулы

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс— основное тригонометрическое тождество

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Соотношения между сторонами и значениями тригонометрических функций углов в прямоугольном треугольнике

  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету.
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету.
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс угла, противолежащего первому катет>г.
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на котангенс угла, прилежащего к первому’ катету.
  • Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему угла.
  • Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему угла.

Четырехугольник, его элементы. Сумма углов четырехугольника

Рассмотрим одну из важнейших теорем геометрии, которая показывает зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника.

Теорема 1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

На сегодняшний день известны более ста доказательств этой теоремы. Рассмотрим одно из них.

Доказательство:

Пусть Найдите катеты прямоугольного треугольника авс-данный прямоугольный треугольник, у которого Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 172). Докажем, что

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

1) Проведем высоту Найдите катеты прямоугольного треугольника авс
2) По теореме о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике имеем:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авси Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

3) Сложим эти два равенства почленно. Учитывая, что Найдите катеты прямоугольного треугольника авсполучим:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

4) Следовательно, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Если в треугольнике Найдите катеты прямоугольного треугольника авсобозначить Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 173), то теорему Пифагора можно записать формулой:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Таким образом, зная две стороны прямоугольного треугольника, с помощью теоремы Пифагора можно найти третью. В этом нам поможет следующая схема:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Пример №5

Катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 24 см. Найдите гипотенузу.

Решение:

Пусть Найдите катеты прямоугольного треугольника австогда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Пример №6

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17 см, а один из катетов — 15 см. Найдите второй катет.

Решение:

Пусть Найдите катеты прямоугольного треугольника австогда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Пример №7

Найдите диагональ квадрата, сторона которого равнаНайдите катеты прямоугольного треугольника авс

Решение:

Рассмотрим квадрат Найдите катеты прямоугольного треугольника авсу которого Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 174). Тогда

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Ответ. Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Пример №8

Найдите медиану равностороннего треугольника со стороной Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Решение:

Рассмотрим равносторонний треугольник Найдите катеты прямоугольного треугольника авссо стороной Найдите катеты прямоугольного треугольника авс— его медиана (рис. 175).

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Так как Найдите катеты прямоугольного треугольника авс— медиана равностороннего треугольника, то она является и его высотой.

Из Найдите катеты прямоугольного треугольника авсТогда

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Ответ: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Пример №9

Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 22 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Пусть Найдите катеты прямоугольного треугольника авс— данная трапеция, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 176).

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

1) Проведем высоты Найдите катеты прямоугольного треугольника авси Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

2) Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(по катету и гипотенузе), поэтому

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

3) Из Найдите катеты прямоугольного треугольника авспо теореме Пифагора имеем:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Пример №10

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8 см, а второй на 2 см меньше гипотенузы. Найдите неизвестный катет треугольника.

Решение:

Пусть Найдите катеты прямоугольного треугольника авссм и Найдите катеты прямоугольного треугольника авссм- катеты треугольника, тогда Найдите катеты прямоугольного треугольника авссм — его гипотенуза.

Так как по теореме Пифагора Найдите катеты прямоугольного треугольника авсполучим уравнение: Найдите катеты прямоугольного треугольника авсоткуда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(см).

Следовательно, неизвестный катет равен 15 см.

Верно и утверждение, обратное теореме Пифагора.

Теорема 2 (обратная теореме Пифагора). Если для треугольника Найдите катеты прямоугольного треугольника авссправедливо равенство Найдите катеты прямоугольного треугольника австо угол Найдите катеты прямоугольного треугольника авсэтого треугольника — прямой.

Доказательство:

Пусть в треугольнике Найдите катеты прямоугольного треугольника авс Найдите катеты прямоугольного треугольника авсДокажем, что Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 177).

Рассмотрим Найдите катеты прямоугольного треугольника авсу которого Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНайдите катеты прямоугольного треугольника авсТогда по теореме Пифагора Найдите катеты прямоугольного треугольника авса следовательно, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Но Найдите катеты прямоугольного треугольника авспо условию, поэтому Найдите катеты прямоугольного треугольника австо есть Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Таким образом, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(по трем сторонам), откуда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Так как Найдите катеты прямоугольного треугольника австо треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным. Такой треугольник часто называют египетским, потому что о том, что он прямоугольный, было известно еще древним египтянам.

Тройку целых чисел, удовлетворяющую теореме Пифагора, называют пифагоровой тройкой чисел, а треугольник, стороны которого равны этим числам, — пифагоровым треугольником. Например, пифагоровой является не только тройка чисел 3, 4, 5, но и 7, 24, 25 или 9, 40, 41 и т. п.

Заметим, что из теоремы Пифагора и теоремы, ей обратной, следует, что

треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда квадрат наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.

Пример №11

Является ли прямоугольным треугольник со сторонами: 1) 6; 8; 10; 2) 5; 7; 9?

Решение:

1) Так как Найдите катеты прямоугольного треугольника австо треугольник является прямоугольным.

2) Так как Найдите катеты прямоугольного треугольника австо треугольник не является прямоугольным.

Ответ. 1) Да; 2) нет.

Теорема, названная в честь древнегреческого философа и математика Пифагора, была известна задолго до него. В текстах давних вавилонян о ней вспоминалось еще за 1200 лет до Пифагора. Скорее всего, доказывать эту теорему вавилоняне не умели, а зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника установили опытным путем. Также эта теорема была известна в Древнем Египте и Китае.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Считается, что Пифагор — первый, кто предложил строгое доказательство теоремы. Он сформулировал теорему так: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах». Именно в такой формулировке она и была доказана Пифагором.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Рисунок к этому доказательству еще называют «пифагоровыми штанами».

Зная, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, землемеры Древнего Египта использовали его для построения прямого угла. Бечевку делили узлами на 12 равных частей и соединяли ее концы. Потом веревку растягивали и с помощью колышков фиксировали на земле в виде треугольника со сторонами 3; 4; 5. В результате угол, противолежащий стороне, длина которой 5, был прямым.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Перпендикуляр и наклонная, их свойства

Пусть Найдите катеты прямоугольного треугольника авсперпендикуляр, проведенный из точки Найдите катеты прямоугольного треугольника авск прямой Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 185). Точку Найдите катеты прямоугольного треугольника авсназывают основанием перпендикуляра Найдите катеты прямоугольного треугольника авсПусть Найдите катеты прямоугольного треугольника авс— произвольная точка прямой Найдите катеты прямоугольного треугольника авсотличающаяся от Найдите катеты прямоугольного треугольника авсОтрезок Найдите катеты прямоугольного треугольника авсназывают наклонной, проведенной из точки Найдите катеты прямоугольного треугольника авск прямой Найдите катеты прямоугольного треугольника авса точку Найдите катеты прямоугольного треугольника авсоснованием наклонной. Отрезок Найдите катеты прямоугольного треугольника авсназывают проекцией наклонной Найдите катеты прямоугольного треугольника авсна прямую Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Рассмотрим свойства перпендикуляра и наклонной.

1. Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из этой точки к этой прямой.

Действительно, в прямоугольном треугольнике Найдите катеты прямоугольного треугольника авс-катет, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс— гипотенуза (рис. 185). Поэтому Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

2. Если две наклонные, проведенные к прямой из одной точки, равны, то равны и их проекции.

Пусть из точки Найдите катеты прямоугольного треугольника авск прямой Найдите катеты прямоугольного треугольника авспроведены наклонные Найдите катеты прямоугольного треугольника авси Найдите катеты прямоугольного треугольника авси перпендикуляр Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 186). Тогда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(по катету и гипотенузе), поэтому Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Верно и обратное утверждение.

3. Если проекции двух наклонных, проведенных из точки к прямой, равны, то равны и сами наклонные.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(по двум катетам), поэтому Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 186).

4. Из двух наклонных, проведенных из точки к прямой, большей является та, у которой больше проекция.

Пусть Найдите катеты прямоугольного треугольника авси Найдите катеты прямоугольного треугольника авс— наклонные, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 187). Тогда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(из Найдите катеты прямоугольного треугольника авс), Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(из Найдите катеты прямоугольного треугольника авс). Но Найдите катеты прямоугольного треугольника авспоэтому Найдите катеты прямоугольного треугольника авсследовательно, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Свойство справедливо и в случае, когда точки Найдите катеты прямоугольного треугольника авси Найдите катеты прямоугольного треугольника авслежат на прямой по одну сторону от точки Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Верно и обратное утверждение.

5. Из двух наклонных, проведенных из точки к прямой, большая наклонная имеет большую проекцию.

Пусть Найдите катеты прямоугольного треугольника авси Найдите катеты прямоугольного треугольника авс— наклонные, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 187).

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Тогда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(из Найдите катеты прямоугольного треугольника авс),

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(из Найдите катеты прямоугольного треугольника авс). Но Найдите катеты прямоугольного треугольника авспоэтому Найдите катеты прямоугольного треугольника авсследовательно, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Пример №12

Из точки к прямой проведены две наклонные. Длина одной из них равна 10 см, а ее проекции — 6 см. Найдите длину второй наклонной, если она образует с прямой угол 30°.

Решение:

Пусть на рисунке 187 Найдите катеты прямоугольного треугольника авс Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНайдите катеты прямоугольного треугольника авс

1) Из Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(см).

2) Из Найдите катеты прямоугольного треугольника авспо свойству катета, противолежащего углу 30°,

будем иметь: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Поэтому Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Ответ. 16 см.

Пример №13

Из точки Найдите катеты прямоугольного треугольника авспрямой проведены две наклонные, проекции которых равны 30 см и 9 см. Найдите длины наклонных, если их разность равна 9 см.

Решение:

Пусть на рисунке 187 Найдите катеты прямоугольного треугольника авсПо свойству 4: Найдите катеты прямоугольного треугольника авсОбозначим Найдите катеты прямоугольного треугольника авссм. Тогда Найдите катеты прямоугольного треугольника авссм.

Из Найдите катеты прямоугольного треугольника авспоэтому Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Из Найдите катеты прямоугольного треугольника авспоэтому Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Левые части полученных равенств равны, следовательно, равны и правые их части.

Имеем уравнение: Найдите катеты прямоугольного треугольника авсоткуда Найдите катеты прямоугольного треугольника авсСледовательно, Найдите катеты прямоугольного треугольника авссм, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(см).

Ответ. 41 см, 50 см.

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник Найдите катеты прямоугольного треугольника авсс прямым углом Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 190). Для острого угла Найдите катеты прямоугольного треугольника авскатет Найдите катеты прямоугольного треугольника авсявляется противолежащим катетом, а катет Найдите катеты прямоугольного треугольника авс— прилежащим катетом. Для острого угла Найдите катеты прямоугольного треугольника авскатет Найдите катеты прямоугольного треугольника авсявляется противолежащим, а катет Найдите катеты прямоугольного треугольника авс— прилежащим.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синус угла Найдите катеты прямоугольного треугольника авсобозначают так: Найдите катеты прямоугольного треугольника авсСледовательно,

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла Найдите катеты прямоугольного треугольника авсобозначают так: Найдите катеты прямоугольного треугольника авсСледовательно,

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Так как катеты Найдите катеты прямоугольного треугольника авси Найдите катеты прямоугольного треугольника авсменьше гипотенузы Найдите катеты прямоугольного треугольника австо синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника меньше единицы.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс угла Найдите катеты прямоугольного треугольника авсобозначают так: Найдите катеты прямоугольного треугольника авсСледовательно,

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Рассмотрим прямоугольные треугольники Найдите катеты прямоугольного треугольника авси Найдите катеты прямоугольного треугольника авсу которых Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 191). Тогда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(по острому углу). Поэтому Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Из этого следует, что Найдите катеты прямоугольного треугольника авси поэтому Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Аналогично Найдите катеты прямоугольного треугольника авспоэтому Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

поэтому Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Таким образом, приходим к выводу: синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника зависят только от градусной меры угла.

Из определений синуса, косинуса и тангенса угла получаем следующие соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

1. Катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего: Найдите катеты прямоугольного треугольника авси Найдите катеты прямоугольного треугольника авс
2. Гипотенуза равна катету, деленному на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

3. Катет, противолежащий углу Найдите катеты прямоугольного треугольника авсравен произведению второго катета на тангенс этого угла: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс
4. Катет, прилежащий к углу Найдите катеты прямоугольного треугольника авсравен частному от деления другого катета на тангенс этого угла: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Значения Найдите катеты прямоугольного треугольника авсможно находить с помощью специальных таблиц, калькулятора или компьютера. Для вычислений используем клавиши калькулятора Найдите катеты прямоугольного треугольника авси Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(на некоторых калькуляторах Найдите катеты прямоугольного треугольника авсПоследовательность вычислений у разных калькуляторов может быть разной. Поэтому советуем внимательно познакомиться с инструкцией к калькулятору.

Пример №14

В треугольнике Найдите катеты прямоугольного треугольника авс Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНайдите Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Решение:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 190). Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(см).

Пример №15

В треугольнике Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНайдите катеты прямоугольного треугольника авсНайдите Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(с точностью до десятых сантиметра).

Решение:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 190). С помощью таблиц или калькулятора находим Найдите катеты прямоугольного треугольника авсСледовательно, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Ответ. Найдите катеты прямоугольного треугольника авс2,9 см.

С помощью таблиц, калькулятора или компьютера можно по данному значению Найдите катеты прямоугольного треугольника авсили Найдите катеты прямоугольного треугольника авснаходить угол Найдите катеты прямоугольного треугольника авсДля вычислений используем клавиши калькулятора Найдите катеты прямоугольного треугольника авс Найдите катеты прямоугольного треугольника авси Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Пример №16

В треугольнике Найдите катеты прямоугольного треугольника авс Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите острые углы треугольника.

Решение:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 190). С помощью калькулятора находим значение угла Найдите катеты прямоугольного треугольника авсв градусах: 51,34019. Представим его в градусах и минутах (в некоторых калькуляторах это возможно сделать с помощью специальной клавиши): Найдите катеты прямоугольного треугольника авсТогда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Ответ. Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдем синус, косинус и тангенс углов 30° и 60°. Рассмотрим Найдите катеты прямоугольного треугольника авсу которого Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНайдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 192).

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Тогда по свойству катета, противолежащего углу 30°, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

По теореме Пифагора:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника австо есть Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника австо есть Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника австо есть Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника австо есть Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника австо есть Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника австо есть Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдем синус, косинус и тангенс угла 45°.

Рассмотрим Найдите катеты прямоугольного треугольника авсу которого Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 193). Тогда Найдите катеты прямоугольного треугольника авсПо теореме Пифагора:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника австо есть Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника австо есть Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника австо есть Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Систематизируем полученные данные в таблицу:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Пример №17

Найдите высоту равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, если основание равно 12 см, а угол при вершине треугольника равен 120°.

Решение:

Пусть Найдите катеты прямоугольного треугольника авс— данный треугольник, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 194).

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Проведем к основанию Найдите катеты прямоугольного треугольника авсвысоту Найдите катеты прямоугольного треугольника авсявляющуюся также медианой и биссектрисой. Тогда

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Из Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

отсюда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(см).

Ответ. Найдите катеты прямоугольного треугольника авссм.

Вычисление прямоугольных треугольников

Решить треугольник — значит найти все неизвестные его стороны и углы по известным сторонам и углам.

Для того чтобы можно было решить прямоугольный треугольник, известными должны быть или две стороны треугольника или одна из сторон и один из острых углов треугольника.

Используя в прямоугольном треугольнике Найдите катеты прямоугольного треугольника авсобозначение Найдите катеты прямоугольного треугольника авс Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 198) и соотношение между его сторонами и углами:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(теорема Пифагора);

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

можно решить любой прямоугольный треугольник.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Рассмотрим четыре вида задач на решение прямоугольных треугольников.

Образцы записи их решения в общем виде и примеры задач представлены в виде таблиц.

Решение прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

Пример:

Дано гипотенузу Найдите катеты прямоугольного треугольника авси острый угол Найдите катеты прямоугольного треугольника авспрямоугольного треугольника. Найдите второй острый угол треугольника и его катеты.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Решение прямоугольных треугольников по катету и острому углу

Пример:

Дано катет Найдите катеты прямоугольного треугольника авси острый угол Найдите катеты прямоугольного треугольника авспрямоугольного треугольника. Найдите второй острый угол треугольника, второй катет и гипотенузу.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Решение прямоугольных треугольников по двум катетам

Пример:

Дано катеты Найдите катеты прямоугольного треугольника авси Найдите катеты прямоугольного треугольника авспрямоугольного треугольника. Найдите гипотенузу и острые углы треугольника.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Решение прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Пример:

Дано катет Найдите катеты прямоугольного треугольника авси гипотенуза Найдите катеты прямоугольного треугольника авспрямоугольного треугольника. Найдите второй катет и острые углы треугольника.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Пример:

Найдите высоту дерева Найдите катеты прямоугольного треугольника авсоснование Найдите катеты прямоугольного треугольника авскоторого является недоступным (рис. 199).

Решение:

Обозначим на прямой, проходящей через точку Найдите катеты прямоугольного треугольника авс— основание дерева, точки Найдите катеты прямоугольного треугольника авси Найдите катеты прямоугольного треугольника авси измеряем отрезок Найдите катеты прямоугольного треугольника авси Найдите катеты прямоугольного треугольника авси Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

1) В Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

2) В Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

3) Так как Найдите катеты прямоугольного треугольника авсимеем:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

откуда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Ответ. Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Видео:Теорема Пифагора для чайников)))Скачать

Теорема Пифагора для чайников)))

Определение прямоугольных треугольников

Из этой главы вы узнаете, как решать прямоугольные треугольники, т. е. находить их неизвестные стороны и углы по известным. Необходимые для этого теоретические знания можно почерпнуть из раздела математики, родственного как с геометрией, так и с алгеброй, — из тригонометрии. Собственно, само слово «тригонометрия» в переводе с греческого означает «измерение треугольников». Поэтому отношения сторон прямоугольного треугольника, с которыми вы познакомитесь далее, получили название тригонометрических функций.

Соотношения, которые будут применяться в этой главе, в полной мере можно считать проявлением подобия треугольников. Вообще, подобие треугольников, теорема Пифагора и площадь — это те три кита, на которых держится геометрия многоугольника. Именно исследование взаимосвязей между этими теоретическими фактами и составляет основное содержание курса геометрии в восьмом классе.

Синус, косинус и тангенс

Как уже было доказано, все прямоугольные треугольники, имеющие по равному острому углу, подобны. Свойство подобия обусловливает не только равенство отношений пропорциональных сторон этих треугольников, но и равенство отношений между катетами и гипотенузой каждого из этих треугольников. Именно эти отношения и будут предметом дальнейшего рассмотрения.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами Найдите катеты прямоугольного треугольника авсгипотенузой Найдите катеты прямоугольного треугольника авси острым углом Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 168).

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Определение

Синусом острого угла Найдите катеты прямоугольного треугольника авспрямоугольного треугольника (обозначается Найдите катеты прямоугольного треугольника авсназывается отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Косинусом острого угла Найдите катеты прямоугольного треугольника авспрямоугольного треугольника (обозначается Найдите катеты прямоугольного треугольника авсназывается отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Тангенсом острого угла Найдите катеты прямоугольного треугольника авспрямоугольного треугольника (обозначается Найдите катеты прямоугольного треугольника авсназывается отношение противолежащего катета к прилежащему:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Кроме синуса, косинуса и тангенса, рассматривают также котангенс острого угла Найдите катеты прямоугольного треугольника авспрямоугольного треугольника (обозначается Найдите катеты прямоугольного треугольника авскоторый равен отношению прилегающего катета к противолежащему:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Поскольку катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы, то синус и косинус острого угла меньше единицы.

Покажем, что значения тригонометрических функций зависят только от величины угла. Пусть прямоугольные треугольники Найдите катеты прямоугольного треугольника авсимеют равные острые углы Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 169).

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Эти треугольники подобны, отсюда Найдите катеты прямоугольного треугольника авсили по основному свойству пропорции, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Правая и левая части этого равенства по определению равны синусам острых углов Найдите катеты прямоугольного треугольника авссоответственно. Имеем:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

т.е. синус угла Найдите катеты прямоугольного треугольника авсне зависит от выбора треугольника. Аналогичные рассуждения можно провести и для других тригонометрических функций (сделайте это самостоятельно). Таким образом, тригонометрические функции острого угла зависят только от величины угла.

Имеет место еще один важный факт: если значения некоторой тригонометрической функции для острых углов Найдите катеты прямоугольного треугольника авсравны, то Найдите катеты прямоугольного треугольника авсИначе говоря, каждому значению тригонометрической функции соответствует единственный острый угол.

Пример №18

Найдите синус, косинус и тангенс наименьшего угла египетского треугольника.

Решение:

Пусть в треугольнике Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНайдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 170).

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Поскольку в треугольнике наименьший угол лежит против наименьшей стороны, то угол Найдите катеты прямоугольного треугольника авс— наименьший угол треугольника Найдите катеты прямоугольного треугольника авсПо определению Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНайдите катеты прямоугольного треугольника авс

Ответ: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Тригонометрические тождества

Выведем соотношения (тождества), которые выражают зависимость между тригонометрическими функциями одного угла.

Теорема (основное тригонометрическое тождество)

Для любого острого угла Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

По определению синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника (см. рис. 168) имеем:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

По теореме Пифагора числитель этой дроби равен Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Следствие

Для любого острого углаНайдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Докажем еще несколько тригонометрических тождеств.

Непосредственно из определений синуса

sin a а b ас а и косинуса имеем: Найдите катеты прямоугольного треугольника авст.е. Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Аналогично доказывается, что Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Отсюда следует, что Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Пример №19

Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен 0,8.

Решение:

Пусть для острого угла Найдите катеты прямоугольного треугольника авсТогда Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНайдите катеты прямоугольного треугольника авс

Поскольку Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Ответ: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Вычисление значений тригонометрических функций. Формулы дополнения

Тригонометрические тождества, которые мы рассмотрели, устанавливают взаимосвязь между разными тригонометрическими функциями одного угла. Попробуем установить связь между функциями двух острых углов прямоугольного треугольника.

Теорема (формулы дополнения)

Для любого острого угла Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Рассмотрим прямоугольный треугольник Найдите катеты прямоугольного треугольника авсс гипотенузой Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 172).

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Если Найдите катеты прямоугольного треугольника авсВыразив синусы и косинусы острых углов треугольника, получим:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Следствие

Для любого острого угла Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Заметим, что название «формулы дополнения», как и название «косинус», в котором префикс «ко» означает «дополнительный», объясняется тем, что косинус является синусом угла, который дополняет данный угол до Найдите катеты прямоугольного треугольника авсАналогично объясняется и название «котангенс».

Значения тригонометрических функций углов 30 45 60

Вычислим значения тригонометрических функций угла Найдите катеты прямоугольного треугольника авсДля этого в равностороннем треугольнике Найдите катеты прямоугольного треугольника авссо стороной Найдите катеты прямоугольного треугольника авспроведем высоту Найдите катеты прямоугольного треугольника авскоторая является также биссектрисой и медианой (рис. 173).

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

В треугольнике Найдите катеты прямоугольного треугольника авси по теореме Пифагора Найдите катеты прямоугольного треугольника авсИмеем:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс
С помощью формул дополнения получаем значения тригонометрических функций угла Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Для вычисления значений тригонометрических функций угла Найдите катеты прямоугольного треугольника авсрассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник Найдите катеты прямоугольного треугольника авсс катетами Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 174).

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

По теореме Пифагора Найдите катеты прямоугольного треугольника авсИмеем:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Представим значения тригонометрических функций углов Найдите катеты прямоугольного треугольника авсв виде таблицы.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Значения тригонометрических функций других углов можно вычислить с помощью калькулятора или специальных таблиц (см. Приложение 3).

Решение прямоугольных треугольников

Нахождение неизвестных сторон прямоугольного треугольника

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами Найдите катеты прямоугольного треугольника авсгипотенузой Найдите катеты прямоугольного треугольника авси острыми углами Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 175).

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Зная градусную меру угла Найдите катеты прямоугольного треугольника авси длину любой из сторон треугольника, мы имеем возможность найти две другие его стороны. Правила нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника непосредственно следуют из определений тригонометрических функций и могут быть обобщены в виде справочной таблицы.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Заметим, что для нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника можно использовать и Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(соответствующие правила и формулы получите самостоятельно).

Запоминать содержание справочной таблицы не обязательно. Для нахождения неизвестной стороны прямоугольного треугольника можно действовать по такому плану.

1. Выбрать формулу определения той тригонометрической функции данного угла, которая связывает искомую сторону с известной (этот этап можно выполнить устно).

2. Выразить из этой формулы искомую сторону.

3. Провести необходимые вычисления.

Пример №20

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 12 м найдите катет, прилежащий к углу Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Решение:

Пусть в прямоугольном треугольнике (см. рисунок) Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНайдем катет Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Поскольку Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНайдите катеты прямоугольного треугольника авс

Ответ: 6 м.

Примеры решения прямоугольных треугольников

Решить треугольник означает найти его неизвестные стороны и углы по известным сторонам и углам. Прямоугольный треугольник можно решить по стороне и острому углу или по двум сторонам. Рассмотрим примеры конкретных задач на решение прямоугольных треугольников, пользуясь обозначениями рисунка 175. При этом договоримся округлять значения тригонометрических функций до тысячных, длины сторон — до сотых, а градусные меры углов — до единиц.

Пример №21

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе Найдите катеты прямоугольного треугольника авси острому углу Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(см. рисунок).

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Решение:

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Поскольку Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

т.е. Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Поскольку Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

т.е. Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Пример №22

Решите прямоугольный треугольник по катету Найдите катеты прямоугольного треугольника авси острому углу Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(см. рисунок).

Решение:

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Поскольку Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Поскольку Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Пример №23

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе Найдите катеты прямоугольного треугольника авси катету Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(см. рисунок).

Решение:

По теореме Пифагора Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНайдите катеты прямоугольного треугольника авс

Поскольку Найдите катеты прямоугольного треугольника авсоткуда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Пример №24

Решите прямоугольный треугольник по катетам Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(см. рисунок).

Решение:

По теореме Пифагора Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Поскольку Найдите катеты прямоугольного треугольника авсоткуда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

На отдельных этапах решения задач 1—4 можно использовать другие способы. Но следует заметить, что в том случае, когда одна из двух сторон треугольника найдена приближенно, для более точного нахождения третьей стороны целесообразно использовать определения тригонометрических функций.

Рассмотрим примеры применения решения треугольников в практических задачах.

Пример №25

Найдите высоту данного предмета (рис. 176).

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Решение:

На определенном расстоянии от данного предмета выберем точку Найдите катеты прямоугольного треугольника авси измерим угол Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Поскольку в прямоугольном треугольнике Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Для определения высоты предмета необходимо прибавить к Найдите катеты прямоугольного треугольника авсвысоту Найдите катеты прямоугольного треугольника авсприбора, с помощью которого измерялся угол. Следовательно, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Пример №26

Насыпь шоссейной дороги имеет ширину 60 м в верхней части и 68 м в нижней. Найдите высоту насыпи, если углы наклона откосов к горизонту равны Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Решение:

Рассмотрим равнобедренную трапецию Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 177), в которой Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНайдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Проведем высоты Найдите катеты прямоугольного треугольника авсПоскольку Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(докажите это самостоятельно), то Найдите катеты прямоугольного треугольника авсВ треугольнике Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Поскольку Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

т.е. Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Ответ: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Синусом острого угла Найдите катеты прямоугольного треугольника авсназывается отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Косинусом острого угла Найдите катеты прямоугольного треугольника авсназывается отношение прилежащего катета

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Тангенсом острого угла Найдите катеты прямоугольного треугольника авсназывается отношение противолежащего катета к прилежащему:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Котангенсом острого угла Найдите катеты прямоугольного треугольника авсназывается отношение прилежащего катета к противолежащему:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Тригонометрические тождества

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Видео:Катеты и гипотенузаСкачать

Катеты и гипотенуза

Историческая справка

Умение решать треугольники необходимо при рассмотрении многих практических задач, возникающих в связи с потребностями географии, астрономии, навигации. Поэтому элементы тригонометрии появились еще в Древнем Вавилоне в период интенсивного развития астрономии. В работе греческого ученого Птолемея «Альмагест» (II в. н. где изложена античная система мира, содержатся элементы сферической тригонометрии.

В Древней Греции вместо синуса угла Найдите катеты прямоугольного треугольника авсрассматривали длину хорды, соответствующей центральному углу Найдите катеты прямоугольного треугольника авсДействительно, если радиус окружности равен единице, то Найдите катеты прямоугольного треугольника авсизмеряется половиной такой хорды (проверьте это самостоятельно). Первые тригонометрические таблицы были составлены Гиппархом во II в. н.э.

Синус и косинус как вспомогательные величины использовались индийскими математиками в V в., а тангенс и котангенс впервые появились в работах арабского математика X в. Абу-аль-Вефы.

Как отдельный раздел математики тригонометрия выделилась в произведениях персидского ученого Насреддина Туси (1201-1274), а системное изложение тригонометрии первым из европейцев представил немецкий математик и механик Иоганн Мюллер (1436-1476), более известный под псевдонимом Региомонтан.

Современную форму изложения и современную символику тригонометрия приобрела благодаря Леонарду Эйлеру в XVIII в. Кроме известных вам четырех тригонометрических функций иногда рассматриваются еще две:

секанс Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

и косеканс Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Приложения

Обобщенная теорема Фалеса и площадь прямоугольника

В ходе доказательства некоторых геометрических теорем используется процедура деления отрезка на некоторое количество равных частей. Это позволяет дать числовые оценки в виде неравенств и с их помощью получить противоречие.

В курсе геометрии 8 класса такой подход целесообразно применить для доказательства двух приведенных ниже теорем.

Теорема (обобщенная теорема Фалеса)

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки.

По данным рисунка 180 докажем три формулы:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНайдите катеты прямоугольного треугольника авс

Докажем сначала формулу 1. Пусть отрезок Найдите катеты прямоугольного треугольника авсможно разделить на Найдите катеты прямоугольного треугольника авсравных отрезков так, что одна из точек деления совпадет с точкой Найдите катеты прямоугольного треугольника авспричем на отрезке Найдите катеты прямоугольного треугольника авсбудут лежать Найдите катеты прямоугольного треугольника австочек деления. Тогда, проведя через точки деления прямые, параллельные Найдите катеты прямоугольного треугольника авспо теореме Фалеса получим деление отрезков Найдите катеты прямоугольного треугольника авссоответственно на Найдите катеты прямоугольного треугольника авсравных отрезков. Следовательно, Найдите катеты прямоугольного треугольника авсчто и требовалось доказать.

Если описанное деление отрезка Найдите катеты прямоугольного треугольника авсневозможно, то докажем формулу 1 от противного. Пусть Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Рассмотрим случай, когда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(другой случай рассмотрите самостоятельно).

Отложим на отрезке Найдите катеты прямоугольного треугольника авсотрезок Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 181).

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Разобьем отрезок Найдите катеты прямоугольного треугольника авсна такое количество равных отрезков чтобы одна из точек деления Найдите катеты прямоугольного треугольника авспопала на отрезок Найдите катеты прямоугольного треугольника авсПроведем через точки деления прямые, параллельные Найдите катеты прямоугольного треугольника авсПусть прямая, проходящая через точку Найдите катеты прямоугольного треугольника авспересекает луч Найдите катеты прямоугольного треугольника авсв точке Найдите катеты прямоугольного треугольника авсТогда по доказанному Найдите катеты прямоугольного треугольника авсУчитывая, что в этой пропорции Найдите катеты прямоугольного треугольника авсимеем: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Это неравенство противоречит выбору длины отрезка Найдите катеты прямоугольного треугольника авсСледовательно, формула 1 доказана полностью.

Докажем формулы 2 и 3. Пользуясь обозначениями рисунка 180,
по формуле 1 имеем Найдите катеты прямоугольного треугольника авсРазделив в каждом из этих равенств числитель на знаменатель, получим: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Откуда Найдите катеты прямоугольного треугольника авсТаким образом, доказано, что Найдите катеты прямоугольного треугольника авст.е. формулы 2 и 3 выполняются.

Теорема доказана полностью.

Из курса математики 5 класса известно, что площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон. Так, на рисунке 182 дан прямоугольник Найдите катеты прямоугольного треугольника авскоторый делится на 15 квадратов площадью 1. Следовательно, по аксиомам площади, его площадь равна 15 кв. ед., то есть Рис- 182. Найдите катеты прямоугольного треугольника авскв. ед.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Таким способом легко найти площадь прямоугольника, у которого длины сторон выражены любыми целыми числами. Но справедливость этой формулы при условии, что длины сторон прямоугольника не являются целыми числами,— совсем неочевидная теорема. Докажем ее.

Теорема (формула площади прямоугольника)

Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс— стороны прямоугольника.

Докажем сначала, что площади прямоугольников с одним равным измерением относятся как длины других измерений.

Пусть прямоугольники Найдите катеты прямоугольного треугольника авсимеют общую сторону Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 183,
Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Разобьем сторону Найдите катеты прямоугольного треугольника авсравных частей. Пусть на отрезке Найдите катеты прямоугольного треугольника авслежит Найдите катеты прямоугольного треугольника австочек деления, причем точка деления Найдите катеты прямоугольного треугольника авсимеет номер Найдите катеты прямоугольного треугольника авса точка Найдите катеты прямоугольного треугольника авс—номер Найдите катеты прямоугольного треугольника авсТогда Найдите катеты прямоугольного треугольника авсоткуда — Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Теперь проведем через точки деления прямые, параллельные Найдите катеты прямоугольного треугольника авсОни разделят прямоугольник Найдите катеты прямоугольного треугольника авсравных прямоугольников (т. е. таких, которые совмещаются при наложении). Очевидно, что прямоугольник Найдите катеты прямоугольного треугольника авссодержится внутри прямоугольника Найдите катеты прямоугольного треугольника авса прямоугольник Найдите катеты прямоугольного треугольника авссодержит прямоугольник Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Следовательно, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Имеем: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Сравнивая выражения для Найдите катеты прямоугольного треугольника авсубеждаемся, что оба эти отношения расположены между Найдите катеты прямоугольного треугольника авст.е. отличаются не больше чем на Найдите катеты прямоугольного треугольника авснатуральное число). Докажем от противного, что эти отношения равны.

Действительно, если это не так, т.е. Найдите катеты прямоугольного треугольника австакое натуральное число Найдите катеты прямоугольного треугольника авсчто Найдите катеты прямоугольного треугольника авсПолученное противоречие доказывает, что площади прямоугольников с одним равным измерением относятся как длины других измерений.

Рассмотрим теперь прямоугольники Найдите катеты прямоугольного треугольника авссо сторонами Найдите катеты прямоугольного треугольника авс Найдите катеты прямоугольного треугольника авссо сторонами Найдите катеты прямоугольного треугольника авси 1 и квадрат Найдите катеты прямоугольного треугольника авссо стороной 1 (рис. 183, б).

Тогда по доказанному Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Поскольку Найдите катеты прямоугольного треугольника авскв. ед., то, перемножив полученные отношения, имеем Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Золотое сечение

С давних времен люди старались познать мир путем поиска гармонии и совершенства. Одним из вопросов, которыми задавались еще древние греки, был поиск наилучшего соотношения неравных частей одного целого. Таким соотношением еще со времен Пифагора считали гармоническое деление, при котором меньшая часть относится к большей, как большая часть относится ко всему целому. Такое деление отрезка на части описано во II книге «Начал» Евклида и названо делением в среднем и крайнем отношении. Рассмотрим деление отрезка Найдите катеты прямоугольного треугольника австочкой Найдите катеты прямоугольного треугольника авспри котором Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 184). Пусть длина отрезка Найдите катеты прямоугольного треугольника авсравна Найдите катеты прямоугольного треугольника авса длина отрезка Найдите катеты прямоугольного треугольника авсравна Найдите катеты прямоугольного треугольника авсТогда

Найдите катеты прямоугольного треугольника авсОтсюда Найдите катеты прямоугольного треугольника авсПоскольку Найдите катеты прямоугольного треугольника австо геометрический смысл имеет только значение Найдите катеты прямоугольного треугольника авсЗначит, если длина данного отрезка равна 1, то при делении в крайнем и среднем отношении его большая часть приблизительно равна 0,6. Полученное число обозначают греческой буквой Найдите катеты прямоугольного треугольника авсКроме того, часто рассматривают и отношение Найдите катеты прямоугольного треугольника авсЗаметим, что Найдите катеты прямоугольного треугольника авс— первая буква имени древнегреческого скульптора Фидия, который часто использовал такое деление в своем творчестве (в частности, в знаменитой статуе Зевса Олимпийского, которую считают одним из семи чудес света).

В эпоху Возрождения (XV—XVII вв.) интерес к гармоническому делению чрезвычайно возрос. Выдающийся ученый и художник Леонардо да Винчи (1452—1519) назвал такое деление золотым сечением, а его современник и соотечественник, итальянский монах-математик Лука Па-чоли (1445—1514) — божественной пропорцией. Золотое сечение и близкие к нему пропорциональные отношения составляли основу композиционного построения многих произведений мирового искусства, в частности архитектуры Античности и Возрождения. Одно из величайших сооружений Древней Эллады — Парфенон в Афинах (V в. до н. э.) — содержит в себе золотые пропорции (в частности, отношение высоты к длине этого сооружения равно Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Итак, дадим определение золотому сечению.

Определение:

Золотым сечением называется такое деление величины на две неравные части, при котором меньшая часть относится к большей, как большая часть относится ко всему целому.

Иначе говоря, золотое сечение — это деление величины в отношении Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(или Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Построить золотое сечение отрезка заданной длины Найдите катеты прямоугольного треугольника авсс помощью циркуля и линейки довольно просто: для этого достаточно построить прямоугольный треугольник с катетами Найдите катеты прямоугольного треугольника авси провести две дуги из вершин острых углов так, как показано на рисунке 185.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

По теореме о пропорциональности отрезков секущей и касательной Найдите катеты прямоугольного треугольника авсПоскольку по построению Найдите катеты прямоугольного треугольника авси Найдите катеты прямоугольного треугольника авспо определению золотого сечения. Следовательно, Найдите катеты прямоугольного треугольника авсУбедиться в правильности построения можно также с помощью теоремы Пифагора (сделайте это самостоятельно.)

С золотым сечением связывают геометрические фигуры, при построении которых используются отношения Найдите катеты прямоугольного треугольника авсРассмотрим некоторые из них.

Равнобедренный треугольник называется золотым, если две его стороны относятся в золотом сечении. Докажем, что треугольник с углами Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 186, а) является золотым. Действительно, пусть в треугольнике Найдите катеты прямоугольного треугольника авсбиссектриса. Тогда Найдите катеты прямоугольного треугольника авспо двум углам. Следовательно, Найдите катеты прямоугольного треугольника авст. е. треугольник Найдите катеты прямоугольного треугольника авс— золотой.

И наоборот: если в равнобедренном треугольнике Найдите катеты прямоугольного треугольника австо такой треугольник подобен треугольнику Найдите катеты прямоугольного треугольника авст. е. имеет углы Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Предлагаем самостоятельно убедиться в том, что золотым является также треугольник с углами Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 186, б) и других золотых треугольников не существует.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Золотые треугольники связаны с правильным пятиугольником (т.е. выпуклым пятиугольником, у которого все стороны равны и все углы равны).

В правильном пятиугольнике:

1) диагональ относится к стороне в золотом сечении;

2) точка пересечения диагоналей делит каждую из них в золотом сечении;

3) диагональ делит другую диагональ на два отрезка, один из которых делится в золотом сечении еще одной диагональю.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Согласно обозначениям рисунка 187 это означает, что Найдите катеты прямоугольного треугольника авсДля доказательства этих свойств достаточно заметить, что в правильном пятиугольнике все углы равны Найдите катеты прямоугольного треугольника авсследовательно, треугольники Найдите катеты прямоугольного треугольника авсявляются золотыми. Подробные доказательства предлагаем провести самостоятельно.

Диагонали правильного пятиугольника образуют звезду, которая в древние времена олицетворяла совершенство и имела мистическое значение. Пифагорейцы называли ее пентаграммой и избрали символом своей научной школы. В наши дни пятиконечная звезда — самая распространенная геометрическая фигура на флагах и гербах многих стран (приведите соответствующие примеры из истории и географии).

Прямоугольник называется золотым, если его стороны относятся в золотом сечении. Для построения золотого прямоугольника произвольный квадрат перегибаем пополам (рис. 188, а), проводим диагональ одного из полученных прямоугольников (рис. 188, б) и радиусом, равным этой диагонали, проводим дугу окружности с центром Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 188, в). Полученный прямоугольник Найдите катеты прямоугольного треугольника авс— золотой (убедитесь в этом самостоятельно).

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс
Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то оставшийся прямоугольник также будет золотым. Действительно, на рисунке 189, а имеем Найдите катеты прямоугольного треугольника австогда Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНеограниченно продолжая этот процесс (рис. 189, б), можно получить так называемые вращающиеся квадраты, и весь данный прямоугольник будет составлен из таких квадратов.Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Через противолежащие вершины квадратов проходит так называемая золотая спираль, которая часто встречается в природе. Например, по принципу золотой спирали располагаются семена в подсолнечнике; по золотой спирали закручены раковины улиток, рога архаров, паутина отдельных видов пауков и даже наша Солнечная система, как и некоторые другие галактики.

Отметим также, что золотое сечение имеет немало алгебраических свойств. Отношение Найдите катеты прямоугольного треугольника авсприближенно может быть выражено дробями Найдите катеты прямоугольного треугольника австак называемые числа Фибоначчи. Приведем без доказательства две алгебраические формулы, связанные с числами Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Золотое сечение, золотые многоугольники и золотая спираль являются математическими воплощениями идеальных пропорций в природе. Недаром великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гете считал их математическими символами жизни и духовного развития.
Приложение 3. Таблица значений тригонометрических функций

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Значение тригонометрических функций острых углов можно приближенно определять с помощью специальных таблиц. Одна из таких таблиц представлена выше.

Таблица составлена с учетом формул дополнения. В двух крайних столбцах указаны градусные меры углов (в левом — от Найдите катеты прямоугольного треугольника авсв правом — от Найдите катеты прямоугольного треугольника авсМежду этими столбцами содержатся четыре столбца значений тригонометрических функций:

1-й — синусы углов от Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(или косинусы углов от Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

2-й — тангенсы углов от Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(или котангенсы углов от Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

3-й — котангенсы углов от Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(или тангенсы углов от Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

4-й — косинусы углов от Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(или синусы углов от Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Рассмотрим несколько примеров применения данной таблицы. 1) Определим Найдите катеты прямоугольного треугольника авсПоскольку Найдите катеты прямоугольного треугольника авснайдем в крайнем левом столбце значение 25 и рассмотрим соответствующую строку первого столбца значений. Углу Найдите катеты прямоугольного треугольника авсв ней соответствует число 0,423. Следовательно, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

2) Определим Найдите катеты прямоугольного треугольника авсПоскольку 45° ے C = 90° (рис. 412).

Доказать: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Доказательство. Проведём из вершины прямого угла С высоту CD. Каждый катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу. Поэтому Найдите катеты прямоугольного треугольника авси Найдите катеты прямоугольного треугольника авс. Сложив равенства почленно и зная, что AD+ DB= АВ, получим: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс. Следовательно, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Если а и b — катеты прямоугольного треугольника, с — его гипотенуза, то из формулы Найдите катеты прямоугольного треугольника авсполучим следующие формулы:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Используя эти формулы, по двум любым сторонам прямоугольного треугольника находим его третью сторону (табл. 28).

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Справедлива и теорема, обратная теореме Пифагора: если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник — прямоугольный.

Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см — прямоугольный, поскольку Найдите катеты прямоугольного треугольника авс. Такой треугольник иногда называют египетским.

Пример №27

Сторона ромба равна 10 см, а одна из его диагоналей — 16 см. Найдите другую диагональ ромба.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Решение:

Пусть ABCD— ромб (рис. 413), АС= 16см,AD = 10см. Найдём диагональ BD. Как известно, диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Поэтому ∆AOD — прямоугольный ( ے 0= 90°). АС 16

В нём: катет Найдите катеты прямоугольного треугольника авсгипотенуза AD= 10 см.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Для того чтобы найти определённый элемент фигуры (сторону, высоту, диагональ), выделите на рисунке прямоугольный треугольник, воспользовавшись свойствами фигуры, и примените теорему Пифагора.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНайдите катеты прямоугольного треугольника авс

Пусть ВС — перпендикуляр, проведённый из точки В на прямую а (рис. 414). Возьмём произвольную точку А на прямой а, отличную от точки С, и соединим точки А и В. Отрезок АВ называется наклонной, проведённой из точки В на прямую а. Точка А называется основанием наклонной, а отрезок АС — проекцией наклонной.

Наклонные имеют следующие свойства. Если из данной точки к прямой провести перпендикуляр и наклонные, то:

  1. любая наклонная больше перпендикуляра;
  2. равные наклонные имеют равные проекции;
  3. из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Покажем, что свойства наклонных следуют из теоремы Пифагора.

  1. По теореме Пифагора, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 415), тогда Найдите катеты прямоугольного треугольника авсили АВ > ВС.
  2. Из прямоугольных треугольников ABD и CBD (рис. 416) имеем:
  3. Найдите катеты прямоугольного треугольника авсПоскольку в этих равенствах АВ = ВС (по условию), то AD = DC.
  4. Из прямоугольных треугольников ABD и CBD (рис. 417) имеем: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс. В этих равенствах AD > DC. Тогда АВ > ВС.

Пример №28

Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых равны 5 см и 9 см. Найдите наклонные, если одна из них на 2 см больше другой.

Решение:

Пусть AD = 5 см, DC = 9 см (рис. 418). Поскольку AD ے A = a (рис. 441). Вы знаете, что катет а — противолежащий углу а, катет b — прилежащий к углу a . Отношение каждого катета к гипотенузе, а также катета к катету имеют специальные обозначения:

  • — отношение Найдите катеты прямоугольного треугольника авсобозначают sin а и читают «синус альфа»;
  • — отношение Найдите катеты прямоугольного треугольника авсобозначают cos а и читают «косинус альфа»;
  • — отношение Найдите катеты прямоугольного треугольника авсобозначают tg а и читают «тангенс альфа».

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Сформулируем определения sin a, cos а и tg а.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Отношение сторон прямоугольного треугольника и их обозначения указаны в Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Зависят ли синус, косинус и тангенс острого угла от размеров треугольника?

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Нет, не зависят. Итак, пусть ABC и Найдите катеты прямоугольного треугольника авс-два прямоугольных треугольника, в которых Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 442). Тогда Найдите катеты прямоугольного треугольника авспо двум углам (Найдите катеты прямоугольного треугольника авс). Соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Из этих равенств следует:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Следовательно, в прямоугольных треугольниках с одним и тем же острым углом синусы этого утла равны, косинусы и тангенсы — равны. Если градусную меру угла изменить, то изменится и соотношение сторон прямоугольного треугольника. Это означает, что синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника зависят только от градусной меры угла и не зависят от размеров треугольника.

По исходному значению sin A, cos А или tg А можно построить угол А.

Пример №29

Постройте угол, синус которого равен Найдите катеты прямоугольного треугольника авс.

Решение:

Выбираем некоторый единичный отрезок (1 мм, 1 см, 1 дм). Строим прямоугольный треугольник, катет ВС которого равен двум единичным отрезкам, а гипотенуза АВ — трём (рис. 443). Угол А, лежащий против катета ВС, — искомый, поскольку sin А = Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

В прямоугольном треугольнике любой из двух катетов меньше гипотенузы. Поэтому sin а ے C = а (рис. 452). Проведём высоту BD. В прямоугольном треугольнике DBCкатет DC, прилежащий к углу а, равен произведению гипотенузы а на cos a: DC = a cos а. Поскольку высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является медианой, то DC = AD. Тогда основание АС = 2 DC =2 a cos а.

В этой главе вы ознакомились с новыми приёмами вычисления длин сторон и градусных мер углов прямоугольного треугольника. Может возникнуть вопрос: Какова необходимость использования этих приёмов? Вы знаете, что в древности расстояния и углы сначала измеряли непосредственно инструментами. Например, транспортиром пользовались вавилоняне ещё за 2 ООО лет до н. э.

Но на практике непосредственно измерять расстояния и углы не всегда возможно. Как вычислить расстояние между двумя пунктами, которые разделяет препятствие (река, озеро, лес), расстояние до Солнца, Луны, как измерить высоту дерева, горы, как найти угол подъёма дороги либо угол при спуске с горы? Поэтому были открыты приёмы опосредствованного измерения расстояний и углов. При этом использовали равные либо подобные треугольники и геометрические построения. Строили на местности вспомогательный треугольник и измеряли необходимые его элементы.

Итак, вы знаете, как определить расстояние между пунктами А и В, разделёнными препятствием (рис. 453). Для этого строим ∆COD = ∆АОВ и вместо искомого расстояния Ив измеряем равное ему расстояние CD.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Но при использовании этих приёмов получали недостаточно точные результаты, особенно при измерении значительных расстояний на местности. Кроме того, без угломерных инструментов нельзя найти градусные меры углов по длинам тех или других отрезков. Поэтому возникла необходимость в таких приёмах, когда непосредственные измерения сводились к минимуму, а результаты получали преимущественно вычислением элементов прямоугольного треугольника. В основе таких приёмов лежит использование cos а, sin а и tg а. Накопление вычислительных приёмов решения задач обусловило создание нового раздела математики, который в XVI в. назвали тригонометрией. Слово «тригонометрия» происходит от греческих слов trigonon — треугольник и metreo — измеряю. Греческих математиков Гиппарха (II в. до н. э.) и Птолемея (II в.) считают первыми, кто использовал тригонометрические приёмы для решения разных задач. В дальнейшем их усовершенствовали индийский математик Брамагупта (VI в.), узбекские математики аль-Каши и Улугбек (XII в.). В работах академика Леонарда Эйлера (XVIII в.) тригонометрия приобретает тот вид, который в основном имеет и в наше время.

Вычисление значений sin a, cos а и tg а

ЕЭ| Пусть в прямоугольном треугольнике ABC ZA = а, тогда ZB — 90° — а (рис. 467). Из определения синуса и косинуса следует:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авсСравнивая эти два столбца, находим: sin а = cos (90° — а), cos а = sin (90° — а).

Как видим, между синусом и косинусом углов а и 90° — а, которые дополняют друг друга до 90°, существует зависимость: синус одного из этих углов равен косинусу другого.

Например: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНайдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдём значения синуса, косинуса и тангенса для углов 45°, 30°, 60°. 1) Для угла 45°. Пусть ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой С и ے A = 45° (рис. 468). Тогда ے B = 45°. Следовательно, ∆ABC — равнобедренный. Пусть АС = ВС = а. Согласно теореме Пифагора,

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

2) Для углов 30° и 60°.

Пусть ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой с и ے A = 30″ (рис. 469). Найдём катеты АС и ВС.

ВС = Найдите катеты прямоугольного треугольника авскак катет, лежащий против угла 30°.

Согласно теореме Пифагора, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

ТогдаНайдите катеты прямоугольного треугольника авс

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Если в прямоугольном треугольнике ABC ے A = 30° (рис. 469),

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Составим таблицу 35 значений синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°

Таблица 35 Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Из таблицы видно, что при увеличении угла синус и тангенс острого угла возрастают, а косинус — уменьшается. При уменьшении угла синус и тангенс острого угла уменьшаются, а косинус — увеличивается. Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Пример №31

Сторона ромба равна 6 см, а один из его углов Найдите высоту ромба.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Решение:

Пусть ABCD — ромб (рис. 470), в котором АВ = 6 см, ے А = 60°. Проведём высоту ВМ. Из прямоугольного треугольника АВМ: Найдите катеты прямоугольного треугольника авсКак вычислить значения синусов, косинусов и тангенсов углов, отличных от 30°, 45°, 60°?

При помощи инженерных калькуляторов (или программы «калькулятор» компьютера) либо специальных таблиц можно решить две задачи:

1) для заданного угла а найти sin a, cos а, tg а;

2) по заданному значению sin a, cos а, tg а найти угол а.

Если вы используете калькулятор, а угол указан в градусах и минутах, то минуты переведите в десятые доли градуса (разделите их на 60). Например, для угла 55°42° получите 55,7°. Если, например, для cos Найдите катеты прямоугольного треугольника авс0,8796 нашли Найдите катеты прямоугольного треугольника авс28,40585° то доли градуса переведите в минуты (умножьте дробную часть на 60). Округлив, получите: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс28°24°.

Значение sin a, cos а, tg а находим по таблицам.

Таблица синусов и косинусов (см. приложение 1) состоит из четырёх столбцов. В первом столбце слева указаны градусы от 0° до 45°, а в четвёртом — от 90° до 45°. Над вторым и третьим столбцами указаны названия «синусы» и «косинусы», а в нижней части этих столбцов — «косинусы» и «синусы».

Верхние названия «синусы» и «косинусы» отображают значения углов, которые меньше 45°, а нижние — больше 45°. Например, по таблице находим: sin34° Найдите катеты прямоугольного треугольника авс0,559, cos67° Найдите катеты прямоугольного треугольника авс0,391, sin85° Найдите катеты прямоугольного треугольника авс0,996 и т. д. По таблице можно найти угол а по заданному значению sin a, cos а. Например, нужно найти угол а, если sin Найдите катеты прямоугольного треугольника авс0,615. В столбцах синусов находим число, приближённое к 0,615. Таким числом является 0,616. Следовательно, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс38″.

Таблица тангенсов (см. приложение 2) состоит из двух столбцов: в одном указаны углы от 0° до 89°, в другом — значения тангенсов этих углов.

Например, tg 19° Найдите катеты прямоугольного треугольника авс0,344. Если tg Найдите катеты прямоугольного треугольника авс0,869, то Найдите катеты прямоугольного треугольника авс41°.

1. Вы уже знаете, что каждой градусной мере угла а прямоугольного треугольника соответствует единственное значение sin a, cos а, tg а. Поэтому синус, косинус и тангенс угла а являются функциями данного угла. Эти функции называются тригонометрическими функциями, аргумент которых изменяется от О° до 90°.

2. Уточним происхождение слова «косинус». Именно равенство cos а = sin (90° — а) явилось основой образования латинского слова cosinus — дополнительный синус, то есть синус угла, дополняющий заданный до 90°.

3. Первые таблицы синусов углов от 0° до 90° составил греческий математик Гиппарх (II в. до н. э.). Эти таблицы не сохранились. Нам известны только тригонометрические таблицы, помещённые в работе «Альмагест» александрийского учёного Клавдия Птолемея (II в.). Птолемей Также сохранились таблицы синусов и косинусов индийского учёного Ариаб-хаты (V в.), таблицы тангенсов арабских учёных аль-Баттани и Абу-ль-Вефа (X в.).

Как решать прямоугольные треугольники

Решить прямоугольный треугольник — это означает по заданным двум сторонам либо стороне и острому углу найти другие его стороны и острые углы.

Возможны следующие виды задач, в которых требуется решить прямоугольный треугольник по: 1) катетам; 2) гипотенузе и катету; 3) гипотенузе и острому углу; 4) катету и острому углу. Алгоритмы решения этих четырёх видов задач изложены в таблице 36.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Пример №32

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе с= 16 и углу а = 76°21′ (рис. 482).

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Решение. Это задача третьего вида. Алгоритм её решения указан в таблице 38.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Решение многих прикладных задач основано на решении прямоугольных треугольников. Рассмотрим некоторые виды прикладных задач.

1. Задачи на нахождение высоты предмета, основание которого доступно.

Пример №33

Найдите высоту дерева (рис. 483).

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Решение:

На некотором расстоянии MN= а от дерева устанавливаем угломерный прибор AM (например, теодолит) и находим угол а между горизонтальным направлением АС и направлением на верхнюю точку В дерева. Из прямоугольного треугольника ABC получим: ВС= a • tg а. С учётом высоты угломерного прибора AM= h имеем формулу для вычисления высоты дерева: BN= о • tg а + h.

Пусть результаты измерения следующие: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс.

Тогда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(м).

2. Задачи на нахождение высоты предмета, основание которого недоступно.

Пример №34

Найдите высоту башни, которая отделена от вас рекой (рис. 484).

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Решение:

На горизонтальной прямой, проходящей через основание башни (рис. 484), обозначим две точки М и N, измерим отрезок MN= а и углы Найдите катеты прямоугольного треугольника авс. Из прямоугольных треугольников ADC и BDC получим: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Почленно вычитаем полученные равенства: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Отсюда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Следовательно, Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Прибавив к DC высоту прибора AM= Н, которым измеряли углы, получим

формулу для вычисления высоты башни: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Пусть результаты измерения следующие: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Тогда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

3. Задачи на нахождение расстояния между двумя пунктами, которые разделяет препятствие.

Пример №35

Найдите расстояние между пунктами А и В, разделёнными рекой (рис. 485).

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Решение:

Провешиваем прямую Найдите катеты прямоугольного треугольника авси отмечаем на ней точку С. Измеряем расстояние АС= а и угол а. Из прямоугольного треугольника ABC получим формулу АВ= a- tg а для определения расстояния между пунктами А и В. Пусть результаты измерения следующие: Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Тогда АВ = Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

4. Задачи на нахождение углов (угла подъёма дороги; угла уклона; угла, под которым виден некоторый предмет, и т. д.).

Пример №36

Найдите угол подъёма шоссе, если на расстоянии 200 м высота подъёма составляет 8 м.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Решение:

На рисунке 486 угол a — это угол подъёма дороги, АС— горизонтальная прямая. Проведём Найдите катеты прямоугольного треугольника авс, тогда ВС- высота подъёма дороги. По условию, АВ = 200 м, ВС = 8 м. Угол a найдём из прямоугольного треугольника Найдите катеты прямоугольного треугольника авсТогда Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

У вас может возникнуть вопрос: Почему в геометрии особое внимание уделяется прямоугольному треугольнику, хотя не часто встречаются предметы подобной формы?

Итак, поразмышляем. Как в химии изучают вначале элементы, а затем — их соединения, в биологии — одноклеточные, а потом — многоклеточные организмы, так и в геометрии изучают сначала простые геометрические фигуры — точки, отрезки и треугольники, из которых состоят другие геометрические фигуры. Среди этих фигур прямоугольный треугольник играет особую роль. Действительно, любой многоугольник можно разбить на треугольники (рис. 487).

Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНайдите катеты прямоугольного треугольника авс

Умея находить угловые и линейные элементы этих треугольников, можно найти все элементы многоугольника. В свою очередь, любой треугольник можно разбить одной из его высот на два прямоугольных треугольника, элементы которых связаны более простой зависимостью (рис. 488). Найти элементы треугольника можно, если свести задачу к решению этих двух прямоугольных треугольников. Проиллюстрируем это на примере.

Пример №37

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс(рис. 489). Найдите ے B, ے C и сторону а.

Решение:

Проведём высоту BD. Точка D будет лежать между точками А и С, поскольку ے A — острый и b> с.

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Из прямоугольного треугольника ABD:

Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Из прямоугольного треугольника Найдите катеты прямоугольного треугольника авс

Из прямоугольного треугольника BDC:Найдите катеты прямоугольного треугольника авсНайдите катеты прямоугольного треугольника авс

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Параллелограмм
  • Теорема синусов и теорема косинусов
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы
  • Углы и расстояния в пространстве
  • Подобие треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎬 Видео

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если сумма его катетов равна 15, а гипотенуза равна 13Скачать

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если сумма его катетов равна 15, а гипотенуза равна 13

Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?Скачать

Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Нахождение катета прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение катета прямоугольного треугольника

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите высоту, проведённую к гипотенузеСкачать

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе

1710 два катета прямоугольного треугольника равны 8 и 7 найдите площадь этого треугольникаСкачать

1710 два катета прямоугольного треугольника равны 8 и 7 найдите площадь этого треугольника

№155. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника ABCСкачать

№155. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника ABC

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?Скачать

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?

№485. Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 60°, если гипотенуза равна с.Скачать

№485. Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 60°, если гипотенуза равна с.

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)

Найдите катет прямоугольного треугольника ★ Красивая геометрия ★ Попробуй решить самСкачать

Найдите катет прямоугольного треугольника ★ Красивая геометрия ★ Попробуй решить сам

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.
Поделиться или сохранить к себе: