Наклонная и проекция треугольника (5 видео)

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №10. Перпендикуляр и наклонные

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.

Определение перпендикуляра, наклонной и проекции наклонной на плоскость;
Доказательство теоремы о трех перпендикулярах;
Определение угла между прямой и плоскостью.

Глоссарий по теме

Теорема о трех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратная теорема: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

Определение: углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим плоскость α и точку А, не лежащую в этой плоскости (рис. 1). Проведем через точку А прямую, перпендикулярную к плоскости α, и обозначим буквой Н точку пересечения этой прямой с плоскостью α. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, а точка Н — основанием перпендикуляра. Отметим в плоскости α какую-нибудь точку М, отличную от Н, и проведем отрезок AM. Он называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α, а точка М – основанием наклонной. Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскость α.

Видео:Перпендикуляр и наклонная в пространстве. 10 класс.Скачать

Свойства перпендикуляра и наклонной

Свойства перпендикуляра и наклонной вытекают из теоремы Пифагора и признаков равенства прямоугольных треугольников.

1) Любая наклонная больше перпендикуляра.

Дано: A∉a, AB — перпендикуляр,

Так как AB — перпендикуляр к прямой a, то треугольник ABC — прямоугольный.

По теореме Пифагора AC²=AB²+BC².

Так как BC>0, то и BC²>0.

Следовательно, AB²+BC²>AB². Отсюда, AC²>AB². Поскольку AC>0 и AB>0, то AC>AB.

Что и требовалось доказать.

2) Равные наклонные имеют равные проекции.

Дано: A∉a, AB — перпендикуляр,

AC и AD — наклонные,

BC и BD — их проекции,

Так как AB — перпендикуляр к прямой a, то треугольники ABC и ABD — прямоугольные.

1) AC=AD (по условию);

2) AB — общая сторона.

Следовательно, треугольники ABC и ABD равны (по катету и гипотенузе).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон. Значит, BC=BD.

Что и требовалось доказать.

И обратно: если проекции наклонных равны, то и наклонные тоже равны.

Кроме того, из этого доказательства следует, что равные наклонные образуют равные углы с прямой a; углы между равными наклонными и перпендикуляром также равны.

3) Из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.

Дано: A∉a, AB — перпендикуляр,

AC и AD — наклонные,

BC и BD — их проекции,

Так как AB — перпендикуляр к прямой a, то треугольники ABC и ABD — прямоугольные.

По теореме Пифагора AC²=AB²+BC² и AD²=AB²+BD².

Отсюда, AB²=AC²-BC² и AB²=AD²-BD².

Приравнивая правые части равенств, имеем: AC²-BC²=AD²-BD².

Так как BC>BD, то и BC²>BD².

Значит, и AC²>AD². А так как AC>0 и AD>0, то AC>AD.

Что и требовалось доказать.

И обратно: б о льшей наклонной соответствует б о льшая проекция.

Видео:Геометрия 8. Урок 10 - Теорема Пифагора. Наклонная и проекция.Скачать

Определение перпендикуляра и наклонной

1) Определение перпендикуляра и наклонной.

Пусть дана плоскость и не лежащая на ней точка.

· Отрезок прямой, перпендикулярной плоскости, соединяющий данную точку с точкой на плоскости называется перпендикуляром из данной точки к данной плоскости.

· Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

· Любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой на плоскости и не являющийся перпендикуляром к плоскости, называется наклонной.

· Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

На рисунке из точки А проведены к плоскости α перпендикуляр АВ и наклонная АС. Точка В — основание перпендикуляра, точка С — основание наклонной, ВС — проекция наклонной АС на плоскость α.

2) Доказательство того, что перпендикуляр корочек наклонной

На рисунке 2 изображена плоскость α, перпендикуляр к ней AO, наклонная AB, а также показан отрезок BO, соединяющий основания наклонной и перпендикуляра. Отрезки AO, BO и AB образуют ΔAOB.

Рассмотрим ΔAOB, из определения перпендикуляра следует, что он прямоугольный. Перпендикуляр AO является катетом этого треугольника, а наклонная AB – его гипотенузой. Катет прямоугольного треугольника всегда меньше его гипотенузы (по теореме Пифагора), следовательно, перпендикуляр всегда короче наклонной.

3) Определение проекции

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

Отрезок BO на рисунке 2 – является проекцией наклонной AB.

4) Теорема о сравнительной длине наклонных и их проекций

А) Любая наклонная больше своей проекции.

Вновь рассмотрим ΔAOB, изображенный на рис. 2, из определения перпендикуляра следует, что он прямоугольный. Проекция BO является катетом этого треугольника, а наклонная AB – его гипотенузой, т. к. катет прямоугольного треугольника всегда меньше его гипотенузы, следовательно, проекция наклонной на плоскость всегда короче самой наклонной.

Б) Равные наклонные имеют равные проекции

Доказательство: Рассмотрим треугольники AOB и AOD, они равны, т. к. равны их гипотенузы AB и AD, и углы AOB и AOD (они прямые), а сторона AO у них общая. Из равенства треугольников следует и равенство их сторон BO = OD, что и требовалось доказать.