На плоскости заданы множество точек и множество окружностей (5 видео)

Задачи на тему «Геометрия».
Программирование на Си, С++ (консольные приложения).

Их список будет расти.

Содержание

Окружность через три точки
Прямая пересекающая окружности
Параллельность прямых
Точки на сторонах треугольников
Площадь выпуклого многоугольника
Практикум на ЭВМ задачи для С++
Главная > Документ
4Массивы
4.1Модельная задача Задание массивов. Машинный ноль
Решение задач
🎬 Видео

Видео:Решение системы неравенств с двумя переменными. 9 класс.Скачать

Окружность через три точки

Определить радиус и центр окружности, проходящей, по крайней мере, через три различные точки заданного множества точек на плоскости и содержащей внутри наибольшее количество точек этого множества.

Из школьного курса известно, что через любые три точки (если только они не лежат на одной прямой) можно провести окружность. Строится серединный перпендикуляр для первых двух точек, т.к. центр окружности будет лежать только на нем (обеспечена равноудаленность). А его пересечение со вторым серединным перпендикуляром даст точку — центр окружности, которая будет равноудалена до всех трех заданных точек.

Пусть пользователь задает только количество точек, а их координаты будут генерироваться случайно.

Впрочем, в тестовом варианте, надо дать возможность явно указывать координаты некоторых точек

Вот результат, после того как пользователь ввел число 25.

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Прямая пересекающая окружности

На плоскости заданы множества точек A и множество окружностей B.
Найти две различные точки из A такие, чтобы проходящая через них прямая пересекалась с максимальным количеством окружностей из B.

В цикле по каждым двум точкам находим уравнение прямой.
Затем, во вложенном цикле, определяем расстояние до этой прямой от каждого центра окружности и сравниваем с ее радиусом.
И становится понятно, пересекает прямая окружность или нет

Видео:Изображение множества точек на координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению.Скачать

Параллельность прямых

На плоскости задано множество точек А и множество прямых В.
Найти две различные точки из А такие, чтобы проходящая через них прямая была параллельна наибольшему количеству прямых из В.

Ну, здесь еще проще: после того как по паре точек определили уравнение прямой остается сравнить коэффициенты наклона полученной прямой со всеми прямыми из множества В.

Видео:Изобразить область на комплексной плоскостиСкачать

Точки на сторонах треугольников

Среди треугольников с вершинами в заданном множестве точек на плоскости указать такой, стороны которого содержат максимальное число точек заданного множества.

Определить, лежит ли точка на «прямой» по уравнению прямой задача считай дошкольная
А сравнив координаты вершин треугольника и выбранной точки, можно однозначно сказать, лежит ли она на стороне треугольника или за пределами
Остается подсчитать все это в циклах и запоминать наилучший вариант из просмотренных.

Видео:10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскостиСкачать

Площадь выпуклого многоугольника

Однотипность этих задач видна невооруженным взглядом
Поэтому, структуры данных и многие функции, несущие явную геометрическую направленность, выделены в отдельный модуль.
Не сомневаюсь, он пригодится мне еще не раз
Да и Вам, наверное, тоже

Если у Вас остались вопросы, то задать их Вы можете, нажав на эту кнопочку .

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Практикум на ЭВМ задачи для С++

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

4Массивы

4.1Модельная задача Задание массивов. Машинный ноль

Из заданного множества точек на плоскости выбрать две различные точки так, чтобы количество точек, лежащих по разные стороны прямой, проходящей через эти две точки, различались наименьшим образом.

Прямая линия, проходящая через две точки, определяется уравнением

= . (2)

Прямая делит плоскость на две части и по разные стороны прямой выражение уравнения (2), как функция x и y, становится неравенством того или иного знака. Множество точек на плоскости задается массивами X и Y координат этих точек. Для каждой пары точек из множества нужно найти количество точек выше и ниже прямой, определяемой данной парой точек и найти прямую с минимальной разницей.

Задать количество точек N и массивы их координат X и Y.

Задать и обнулить счетчик разности для прямой — (xl1, yl1, xl2, yl2, Nl), где xl1, yl1, xl2, yl2- координаты точек, задающих прямую, а Nl искомая разность.

xl1, yl1, xl2, yl2 =0; Nl = N.

Цикл по парам точек множества

Count1, Count2 = 0 ‘Счетчики положения точек относительно прямой.

Цикл по точкам (x, y) множества

Если f(x, y) >0 То ‘f – вычисляется из (2)

Count1= Count1 + 1 ‘По одну сторону прямой

Count2= Count2 + 1 ‘По другую сторону прямой

Все цикл по точкам множества

Если | Count1 — Count2| Программа

int main(int argc, char* argv[])

int N, X[1000], Y[1000];

int x11, y11, x12, y12, N1;

int Count1, Count2, F, mDiff;

x11=0; y11=0; x12=0; y12=0; N1=N; // Обнулить счетчик разности for (I=0; I >X[I];

На плоскости задано множество точек M и круг. Выбрать из M две различные точки так, чтобы наименьшим образом отличались количества точек в круге, лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через эти точки.

Для определения координат центра окружности, проходящей через 3 точки нужно:

Провести две прямые через данные три точки

Найти координаты центров отрезков, соединяющих точки

Провести через центральные точки две прямые, перпендикулярно исходным прямым. (Прямая с уравнением (y-y 0 ) = — 1/p(x-x 0 ) проходит через точку с координатами (x 0 , y 0 ) перпендикулярно линии у = px.).

Далее нужно найти координаты точки пересечения перпендикуляров. Это и будет центр окружности, проходящей через три точки.

Перебор всех окружностей обеспечивает цикл по тройкам точек (см. программу задачи 23).

Цикл по тройкам точек ‘Перебор окружностей

Определить радиус и центр окружности

Обнулить локальный счетчик

Цикл по точкам множества

Если точка лежит на расстоянии радиуса до центра ТО

Увеличить локальный счетчик

Все цикл по точкам множества

Если локальный счетчик больше, То

Все цикл по тройкам

Определить радиус и центр окружности, на которой лежит наибольшее число точек заданного на плоскости множества точек.

Определить радиус и центр такой окружности, проходящей хотя бы через три различные точки заданного множества точек на плоскости, что минимальна разность количества точек, лежащих внутри и вне окружности.

Определить радиус и центр такой окружности, проходящей хотя бы через три различные точки заданного множества точек на плоскости, которая содержит внутри наибольшее количество точек этого множества.

Во множестве точек на плоскости найти пару точек с максимальным расстоянием между ними.

Расстояние между двумя множествами точек – это расстояние между наиболее близко расположенными точками этих множеств. Найти расстояние между двумя заданными множествами точек на плоскости.

Задано множество точек M на плоскости. Определить, верно ли, что для каждой точки A M существует точка В M (A ≠ B) такая, что не существует двух точек множества M, лежащих по разные стороны от прямой AB.

См. решение задачи 23

Выбрать три различных точки заданного на плоскости множества точек, составляющих треугольник наибольшего периметра.

Задано множество точек M в трехмерном пространстве. Найти такую из них, что шар заданного радиуса с центром в этой точке содержит максимальное число точек из M.

Из заданного на плоскости множества точек выбрать такие три точки, не лежащие на одной прямой, которые составляют треугольник наименьшей площади.

Для вычисления площади треугольника использовать формулу Герона.

В трехмерном пространстве задано множество материальных точек. Найти ту из них, которая наиболее близко расположена к центру тяжести этого множества.

X координата центра тяжести системы материальных точек вычисляется по формуле x c =. Аналогично вычисляется y и z координаты.

Заданы два множества точек на плоскости. Построить пересечение и разность этих множеств.

Множество точек на плоскости назовем регулярным, если вместе с парой различных точек оно содержит и третью вершину правильного треугольника с вершинами в этих точках. Определить, регулярно ли заданное множество.

Координату вершины правильного треугольника можно вычислить по координатам двух других его вершин (неоднозначно).

Из заданного на плоскости множества точек выбрать три различные точки так, чтобы разность между площадью круга, ограниченного окружностью, проходящей через эти три точки, и площадью треугольника с вершинами в этих точках была минимальной.

См. задачу 24. Далее найти по трем сторонам площадь треугольника, вписанного в окружность.

На плоскости задано множество попарно различных прямых, коэффициентами k уравнения y=kx+b. Указать среди них ту прямую, которая имеет максимальное число пересечений с остальными прямыми.

Две прямые с неравными коэффициентами k уравнений пересекаются.

Задано множество прямых на плоскости (коэффициентами своих уравнений). Подсчитать количество точек пересечения этих прямых.

На плоскости заданы множества точек A и множество прямых B. Найти две такие различные точки из A, что проходящая через них прямая параллельна наибольшему количеству прямых из B.

Задано множество точек на плоскости, не лежащих на одной прямой. Определить минимальное подмножество точек, после удаления которых остаются точки, лежащие на одной прямой.

Задача сводится к поиску прямой, на которой лежит максимальное количество точек.

Если точки (x 0 ,y 0 ), (x 1 ,y 1 ), (x 2 ,y 2 ) лежат на одной прямой, то точка (x 0 ,y 0 ) лежит между двумя остальными, когда

(x 1 -x 0 ) (x 2 -x 0 ) 1 -y 0 ) (y 2 -y 0 ) Математическая модель

Координаты точек не влияют на решение задачи. Определим точки массивом из их весов. Вопрос – что делать с исчезающими точками. Реально убирать нулевые элементы из массива хлопотно, можно ограничится проверкой величины массы и не обращать внимания на нулевые массы.

Найти ромб наибольшей площади с вершинами в заданном множестве точек на плоскости.

Для данной четверки точек нужно провести прямые (диагонали) через точки (1,3) и (2,4). Если прямые перпендикулярны, то нужно проверить точку их пересечения. Для ромба точка пересечения делит диагонали пополам (См. задачу 24).

На плоскости заданы множество точек и множество окружностей. Найти две такие различные точки из A, что проходящая через них прямая пересекается с максимальным количеством окружностей из B.

Окружности строить не нужно. Для анализа ситуации достаточно определить расстояние от центра окружности до прямой.

На плоскости задано n множеств по m точек в каждом. Среди точек первого множества найти такую точку, которая принадлежит наибольшему количеству множеств.m

Для решения задачи сформируйте два двумерных массива nm по каждой из координат. Для точек с координатами 1m организуйте цикл поиска по множествам координат *m, * меняется от 2 до n.

Задано множество точек на плоскости. Выбрать из них четыре разные точки, которые являются вершинами квадрата наибольшего периметра.

Решается аналогично задаче 47, с учетом, что квадрат — частный случай ромба.

Из заданного множества точек на плоскости выбрать три разные точки A, B, C так, чтобы внутри треугольника ABC содержалось максимальное количество точек этого множества.

Проверяемая точка должна лежать по ту же сторону от каждой стороны треугольника, что и соответствующая третья вершина.

Из заданного множества точек на плоскости выбрать две различные точки так, чтобы окружности заданного радиуса с центрами в этих точках содержали внутри себя одинаковое количество заданных точек.

Устроить цикл по парам точек. Точка принадлежит окружности данного радиуса, если находится на расстоянии меньшем радиуса.

Цикл по I от 1 до N -1

M1 = количество точек в окружности I

Цикл по J от I + 1 до N

M2 = количество точек в окружности J

Печать – таких окружностей нет

Текст программы не приводится

Даны два множества точек на плоскости. Указать центр и радиус окружности, проходящей через k (k ≥ 3) точек первого множества и содержащей строго внутри себя равное число точек первого и второго множеств.

Даны два непересекающихся конечных множества точек на плоскости. Определить окружность, проходящую через k (k ≥ 3) точек каждого из множеств.

Даны два множества точек на плоскости. Из первого множества выбрать три различные точки так, чтобы треугольник с вершинами в этих точках содержал (строго внутри себя) равное количество точек первого и второго множеств.

Даны два множества точек на плоскости. Найти центр и радиус окружности, проходящей через k (k ≥ 3) точек первого множества и содержащей строго внутри себя m точек второго множества.

Даны два множества точек на плоскости. Выбрать три различные точки первого множества так, чтобы треугольник с вершинами в этих точках накрывал все точки второго множества и имел минимальную площадь.

Использовать задачу 51 и формулу Герона.

Даны два множества точек на плоскости. Выбрать четыре различные точки первого множества так, чтобы квадрат с вершинами в этих точках накрывал все точки второго множества и имел минимальную площадь.

Даны два множества точек на плоскости. Выбрать три различные точки первого множества так, чтобы круг, ограниченный окружностью, проходящей через эти три точки, содержал все точки второго множества и имел минимальную площадь.

Подсчитать количество разносторонних треугольников с различными длинами оснований и вершинами в заданном множестве точек на плоскости.

Цикл по тройкам точек с проверкой длин сторон.

Построить множество всех различных остроугольных треугольников с вершинами в заданном множестве точек на плоскости.

Цикл по тройкам точек с проверкой косинусов углов. Угол φ при вершине с координатами (x 1 ,y 1 ) определяется по формуле

Cos φ = ,

и положителен в случае острого угла.

Построить два треугольника с вершинами в заданном множестве точек на плоскости так, чтобы первый треугольник лежал строго внутри второго.

Определить радиус и центр окружности минимального радиуса, проходящей хотя бы через три различные точки заданного множества точек на плоскости.

Выбрать три различные точки из заданного множества точек на плоскости так, чтобы была минимальной разность между количествами точек, лежащих внутри и вне треугольника с вершинами в выбранных точках.

Множество попарно различных плоскостей в трехмерном пространстве задано перечислением троек точек, через которые проходит каждая из плоскостей. Выбрать максимальное подмножество попарно непараллельных плоскостей.

Рассмотреть нормальное уравнение плоскости. Проверить параллельность векторов, задающих плоскость.

На плоскости заданы множество точек и окружность радиуса R с центром в начале координат. Построить множество всех треугольников с вершинами в заданных точках, имеющих непустое пересечение с окружностью.

Треугольник пересекает окружность, если отрезок перпендикуляра, опущенный из центра окружности на хотя бы одну сторону треугольника меньше радиуса и основание перпендикуляра принадлежит треугольнику. См. задачи 24, 42.

Построить множество всех различных выпуклых четырехугольников с вершинами в заданном множестве точек на плоскости.

Проверить углы четырехугольника на величину, используя функцию Sin см. задачу 61.

На плоскости заданы множество точек A и точка d вне его. Подсчитать количество (неупорядоченных) троек точек a, b, с из A таких, что четырехугольник abcd является параллелограммом.

Параллелограмм можно разбить на два треугольника, стороны которых соответственно параллельны.

Цикл по тройкам

Цикл по сторонам Δ

Цикл по точкам множества, не совпадающих с тройкой

Если не совпадающие стороны Δ параллельны То

Все цикл по сторонам Δ

Все цикл по тройкам

Для заданной последовательности целых чисел A = определим T(i, j) как ∑ j k = i a k . Найти i, j такие, что T(i, j) максимально.

По заданной последовательности целых чисел A построить последовательность B такую, что b i – это количество элементов из A в начальном отрезке длиной i – 1, превосходящих a i .

Видео:Алгебра 7 класс - Множество точек на координатной плоскости Скачать

Решение задач

1) Можно ли на плоскости построить континуум попарно непересекающихся окружностей?

Возьмем окружность произвольного радиуса a и все концентрические с ней окружности внутри её (окружности эти пересекаться не будут). Каждой окружности поставим в соответствие длину ей радиуса. Радиус может иметь любую длину от 0 до а. Таким образом, множество таких радиусов равномощно отрезку [0, а], т.е. имеет мощность с. А значит и множество концентрических окружностей имеет мощность с. А значит, на плоскости можно построить континуум попарно непересекающихся окружностей.

2) Можно ли написать на доске континуум попарно непересекающихся букв (размеры букв могут быть произвольными) а) Г; б) N; в) А?

а) Дополним букву Г до прямоугольника и проведем его диагональ из левого верхнего угла (обозначим длину диагонали за a). Зафиксируем правый нижний угол и будем уменьшать диагональ (стороны, образующие букву Г, одного прямоугольника не будут пересекаться со сторонами другого прямоугольника). Каждому прямоугольнику поставим в соответствие длину его диагонали. Длина диагонали может иметь любое вещественное значение от 0 до а. Т.о., множество таких диагоналей имеет мощность с, а значит и множество таких прямоугольников есть мощность континуума. Следовательно, и множество пар левых боковых и верхних сторон прямоугольников (т.е. букв Г) имеет мощность континуума. Т.о., на доске можно написать континуум попарно непересекающихся букв Г.
б) Напишем под небольшим наклоном букву N. Эта буква состоит из трех отрезков. Проведем четыре вертикальные параллельные прямые через конец каждого отрезка. Ниже данной N изобразим ещё одну N, заключенную между вертикальными прямыми (стороны букв будут попарно параллельны). Эти две буквы отсекают от вертикальных прямых четыре отрезка (обозначим их за a, b, c, d). Установим биекцию между точками отрезков a и b, b и c, c и d при помощи отрезков параллельных сторонам N (отрезки имеют мощность континуума). Т.о., получаем континуум букв N, не пересекающихся между собой и нарисованных на части плоскости.
в) В каждом треугольнике буквы А выберем точку с рациональными координатами и поставим эту точку в соответствие букве, внутри которой она находится. Т.к. множество рациональных чисел счетно, то и множество пар рациональных чисел счетно (по шестому свойству счетных множеств), т.е. счетно множество точек с рациональными координатами. Поскольку буквы А не пересекаются, точки совпасть не могут. Т.е. на доске можно написать не больше чем счетное «количество» букв А.
3) Можно ли построить на плоскости континуум попарно непересекающихся восьмерок?

Поскольку множество рациональных чисел счетно, то и множество точек с рациональными координатами счетно, а, значит, счетно и множество пар точек с рациональными координатами. Выберем в каждом кругу восьмерки по точке с рациональными координатами, и поставим эту пару ей в соответствие. Поскольку восьмерки не пересекаются, каждая пара может встретиться не больше одного раза. Т.о., на доске можно изобразить не больше чем счетное количество восьмерок.