На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?
в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k ?
Решение задачи
Данный урок показывает, как правильно рассчитать возможное заполнение окружности числами, чтобы удовлетворять определенному условию. Для выполнения первой части задания оказалось достаточным, чтобы определить, что из 21 числа в середине находится 11, а значит, разность 11 и любого другого числа будет всегда меньше 11, что и являлось основным вопросом в этом пункте. Для выполнения пункта б) опять же использовалось эта ситуация. Только здесь уже учитывалась ситуация, что рядом с большим двузначным числом должно находиться большее однозначное число. При такой расстановке однозначным является тот факт, что разность соседних чисел может быть больше 10. Для решения пункта в) использовался просто в качестве примера вариант заполнения части окружности числами от 1 до 7 и после этого получалась максимальная разность между двумя прилегающими уже к числу 8 значениями. Результат получился 6. Если продолжить подобные рассуждения на все данные числа, то результат останется тот же. Т.е. ответом служит число 6.
Данный урок рекомендован для учащихся 11-х классов при изучении темы «Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятности» («Статистическая обработка данных»). При подготовке к ЕГЭ урок рекомендован при повторении темы «Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятности».
На окружности некоторым образом расставили числа
На окружности некоторым способом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?
в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стояших через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?
а) При любой расстановке разность числа 11 и любого соседнего с ним числа меньше 11. Значит, всегда найдутся хотя бы две разности меньше 11.
б) Например, для расстановки 1, 12, 2, 13, 3, 14, 4, 15, 5, 16, 6, 17, 7, 18, 8, 19, 9, 20, 10, 21, 11 все разности не меньше 10.
в) Оценим значение k. Рассмотрим числа от 1 до 7. Если какие-то два из них стоят рядом или через одно, то найдется разность меньше 7. Иначе они стоят через два, поскольку всего чисел 21. В этом случае число 8 стоит рядом или через одно с каким-то числом от 2 до 7 и найдется разность меньше 7.
Таким образом, всегда найдется разность меньше 7. Все разности могут быть не меньше 6. Например, для расстановки 1, 8, 15, 2, 9, 16, 3, 10, 17, 4, 11, 18, 5, 12, 19, 6, 13, 20, 7, 14, 21 все разности не меньше 6.
Ответ: а) нет; б) да; в) 6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные результаты (см. критерий на 1 балл). | 4 |
| Верно получены три из перечисленных результатов (см. критерий на 1 балл). | 3 |
| Верно получены два из перечисленных результатов (см. критерий на 1 балл). | 2 |
| Верно получен один из перечисленных результатов: ― приведен верный пример в пункте а); ― обоснованное решение пункта б); ― доказательство невозможности равенства полученных произведений в); ― доказательство того, что любое четное натуральное число является На окружности некоторым образом расставили числаЗадание 19. На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 7 до 27 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего. а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11? б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10? в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k? а) Натуральные числа от 7 до 27 это числа: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27 всего 21 число. Чтобы расставить числа для получения разности не меньше 11, т.е. 11 – минимальная разность, должны получить последовательность: 7, 19, 8, 20, 9, 21, 10, 22, 11, 23, 12, 24, 13, 25, 14, 26, 15, 27, 16 но число 17 не может быть проставлено, следовательно, такую последовательность сформировать нельзя. б) Для разности не менее 10 имеем: 7, 18, 8, 19, 9, 20, 10, 21, 11, 22, 12, 23, 13, 24, 14, 25, 15, 26, 16, 27, 17 получаем последовательность из всего набора чисел. в) Здесь следует рассматривать тройки чисел, следовательно, весь набор из 21 чисел нужно разбить на 3, получим 7 групп чисел, которые можно расставить следующим образом: 7, 14, 21, 8, 15, 22, 9, 16, 23, 10, 17, 24, 11, 18, 25, 12, 19, 26, 13, 20, 27 то есть |
.