Метрические соотношения в окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Метрические соотношения в окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Метрические соотношения в окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Метрические соотношения в окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Метрические соотношения в окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Метрические соотношения в окружностиТеорема о бабочке

Метрические соотношения в окружности

Содержание
  1. Отрезки и прямые, связанные с окружностью
  2. Свойства хорд и дуг окружности
  3. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
  4. Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
  5. Теорема о бабочке
  6. Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности
  7. Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности.
  8. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью:
  9. Взаимное расположение окружности и прямой:
  10. Взаимное расположение окружности и точки:
  11. Взаимное расположение двух окружностей:
  12. Свойства углов, связанных с окружностью:
  13. Метрические соотношения в окружности (длины отрезков):
  14. Геометрия треугольника и окружности (стр. 1 )
  15. 🎦 Видео

Видео:Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. 1 часть. 9 класс.Скачать

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. 1 часть. 9 класс.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьМетрические соотношения в окружности
КругМетрические соотношения в окружности
РадиусМетрические соотношения в окружности
ХордаМетрические соотношения в окружности
ДиаметрМетрические соотношения в окружности
КасательнаяМетрические соотношения в окружности
СекущаяМетрические соотношения в окружности
Окружность
Метрические соотношения в окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругМетрические соотношения в окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусМетрические соотношения в окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаМетрические соотношения в окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрМетрические соотношения в окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяМетрические соотношения в окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяМетрические соотношения в окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеМетрические соотношения в окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыМетрические соотношения в окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныМетрические соотношения в окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиМетрические соотношения в окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыМетрические соотношения в окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Метрические соотношения в окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыМетрические соотношения в окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыМетрические соотношения в окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиМетрические соотношения в окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныМетрические соотношения в окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиМетрические соотношения в окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыМетрические соотношения в окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Геометрия, 9 класс | Метрические соотношения в окружностиСкачать

Геометрия, 9 класс | Метрические соотношения в окружности

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Метрические соотношения в окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыМетрические соотношения в окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиМетрические соотношения в окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиМетрические соотношения в окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаМетрические соотношения в окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Метрические соотношения в окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Пересекающиеся хорды
Метрические соотношения в окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Метрические соотношения в окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Метрические соотношения в окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Метрические соотношения в окружности
Пересекающиеся хорды
Метрические соотношения в окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Метрические соотношения в окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Тогда справедливо равенство

Метрические соотношения в окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Метрические соотношения в окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Метрические соотношения в окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Метрические соотношения в окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Метрические соотношения в окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Метрические соотношения в окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольникеСкачать

Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Метрические соотношения в окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности

Видео:МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ . §15 геометрия 8 классСкачать

МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ . §15 геометрия 8 класс

Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью.
Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей.
Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности.

Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью:

Метрические соотношения в окружностиЦентральный угол измеряется дугой, на которую он опирается. Если отнести длину этой дуги к радиусу окружности то получится радианная мера угла.

Взаимное расположение окружности и прямой:

Метрические соотношения в окружности

1. Окружность и прямая не имеют общих точек

Метрические соотношения в окружности

2. Окружность и прямая имеют 2 общие точки (l — секущая)

Метрические соотношения в окружности

3. Окружность и прямая имеют 1 общую точку (l — касательная)

Взаимное расположение окружности и точки:

Метрические соотношения в окружности

1. Точка лежит вне окружности (2 касательные через точку А)

Метрические соотношения в окружности

2. Точка лежит внутри окружности (нет касательных через точку А)

Метрические соотношения в окружности

3. Точка лежит на окружности (1 касательная через точку А)

Взаимное расположение двух окружностей:

Метрические соотношения в окружности

1. Одна окружность лежит внутри другой.

Метрические соотношения в окружности

2. Одна окружность касается другой изнутри.

Метрические соотношения в окружности

3. Окружности пересекаются.

Метрические соотношения в окружностиМетрические соотношения в окружности

4. Одна окружность касается другой снаружи или одна окружность лежит вне другой.

Свойства углов, связанных с окружностью:

Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу:

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружностиВсе вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны:Метрические соотношения в окружностиВсе вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны:Метрические соотношения в окружности

Любые два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°=π

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружностиВсе вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые:Метрические соотношения в окружности

Угол между пересекающимися хордами:

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Угол между секущими, пересекающимися вне окружности:

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружностиУгол между касательной и секущей:Метрические соотношения в окружностиМетрические соотношения в окружности

Угол между касательными:

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Угол между касательной и хордой:

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности (длины отрезков):

Отрезки пересекающихся хорд связаны соотношением:

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Отрезки касательных, проведенных из общей точки, равны:

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей, проведенной из той же точки:

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Произведения длин отрезков секущих, проведенных из общей точки, равны:

Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружности

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Геометрия треугольника и окружности (стр. 1 )

Метрические соотношения в окружностиИз за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5

Метрические соотношения в окружности

ГЕОМЕТРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА И ОКРУЖНОСТИ

Начнем с перечня «рабочих» теорем.

1. Свойства касательных к окружности:

а) радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной (рис. 1);

Метрические соотношения в окружности

б) две касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними (рис. 2).

Метрические соотношения в окружности

2. Измерение углов, связанных с окружностью:

а) центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается (рис.3);

Метрические соотношения в окружности

б) вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (рис. 4);

Метрические соотношения в окружности

в) угол между касательной и хордой измеряется половиной дуги, заключенной между касательной и хордой (рис.5).

Метрические соотношения в окружности

3. Теоремы об окружностях и треугольниках:

а) около всякого треугольника можно описать окружность; центром окружности служит точка пересечения перпендикуляров, проведенных к сторонам через их середины;

б) во всякий треугольник можно вписать окружность; центром окружности служит точка пересечения биссектрис.

4. Теоремы об окружностях и четырехугольниках:

Метрические соотношения в окружностиа) для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма противолежащих углов четырехугольника была равна 180° (Метрические соотношения в окружности, рис.6);

б) для того чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противолежащих его сторон были равны ( Метрические соотношения в окружностирис. 7).

Метрические соотношения в окружности

5. Метрические соотношения в окружности:

а) если хорды АВ и CD пересекаются в точке М, то AMМетрические соотношения в окружностиBM = CMМетрические соотношения в окружностиDM (рис. 8);

Метрические соотношения в окружности

б) если из точки М к окружности проведены две секущие МАВ и MCD, то AM ВМ = СМ DM (рис. 9);

Метрические соотношения в окружности

в) если из точки М к окружности проведены секущая МАВ и касательная МС, то АММетрические соотношения в окружностиВМ = СМ2 (рис. 10).

Метрические соотношения в окружности

Начнем с рассмотрения ряда несложных задач, иллюстрирующих применение на практике перечисленных «рабочих» теорем.

Метрические соотношения в окружностиЗадача 1. Катеты прямоугольного треугольника а и b, гипотенуза с. Вычислим радиус r вписанной окружности.

Решение. 1. Из центра О вписанной окружности проведем радиусы в точки ее касания со сторонами треугольника, учитывая, что они перпендикулярны соответствующим сторонам (теорема 1, а), и отметим пары равных отрезков, воспользовавшись теоремой 1, б (рис.11).

3. Так как АВ =AF + FВ, то получаем с = (b r) +(a r), откуда Метрические соотношения в окружности.

Ответ: Метрические соотношения в окружности.

Замечание 1. Если в задаче речь идет об окружности, вписанной в треугольник (или четырехугольник), то практически всегда проводят радиусы в точки касания окружности со сторонами, учитывая, что радиусы будут перпендикулярны соответствующим сторонам, и тут же отмечают на чертеже пары равных отрезков (для двух касательных, проведенных к окружности из одной точки). Так мы и поступили при решении задачи 1.

Замечание 2. Обратите внимание на формулу Метрические соотношения в окружностидля вычисления радиуса окружности, вписанной в прямоугольный (только прямоугольный) треугольник. Она довольно проста, ее легко запомнить, что мы вам и советуем сделать. Для непрямоугольного треугольника обычно используют формулу Метрические соотношения в окружности, где S площадь, р – полупериметр треугольника.

Что касается радиуса R описанной около треугольника окружности, то для прямоугольного треугольника Метрические соотношения в окружности(гипотенуза является диаметром описанной около прямоугольного треугольника окружности); для непрямоугольного треугольника обычно используют формулы Метрические соотношения в окружностии Метрические соотношения в окружности. B правильном треугольнике со стороной а Метрические соотношения в окружности.

Замечание 3. До сих пор мы приводили только формулировки теорем, считая, что их доказательства при необходимости читатель найдет в школьных учебниках. С теоремой синусов поступим по-другому: приведем доказательство теоремы, тем более что оно отличается от традиционного «школьного» доказательства и достаточно красиво (см. задачу 2).

Задача 2. Докажем, что в треугольнике выполняется соотношение Метрические соотношения в окружности.

Метрические соотношения в окружности

Решение. Пусть около треугольника ABC описана окружность радиуса R, проведем ее диаметр BD и соединим точку D с точкой С. (рис. 12).

Замечаем, что Метрические соотношения в окружности(как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС), BCD = 90° (как опирающийся на диаметр BD). Тогда из Метрические соотношения в окружностиBCD находим: Метрические соотношения в окружностит. е. Метрические соотношения в окружности, откуда Метрические соотношения в окружности.

Задача 3. В равнобедренном треугольнике со сторонами 10, 10 и 12 вычислим радиусы вписанной (r) и описанной (R) окружностей.

Имеем: Метрические соотношения в окружности(мы воспользовались формулой Герона). Значит, Метрические соотношения в окружности

Метрические соотношения в окружностиПусть O1 – центр вписанной в треугольник AВС окружности – точка пересечения биссектрис ВН и АО1 (рис. 13). ВН одновременно является высотой и медианой треугольника ABC, Метрические соотношения в окружности. Применив к треугольнику АВН теорему о биссектрисе, получим Метрические соотношения в окружности, т. е. Метрические соотношения в окружности, откуда находим Метрические соотношения в окружности.

Метрические соотношения в окружностиПусть О1 – центр вписанной в треугольник ABC окружности, Метрические соотношения в окружности, тогда Метрические соотношения в окружности(рис.14). Из подобия треугольников О1КВ и АВН получаем Метрические соотношения в окружности, т. е. Метрические соотношения в окружности, откуда г = 3.

🎦 Видео

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. 2 часть. 9 класс.Скачать

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. 2 часть. 9 класс.

Преобразование подобия. Геометрия 9классСкачать

Преобразование подобия. Геометрия 9класс

✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис Трушин

10 класс, 14 урок, Тригонометрические функции числового аргументаСкачать

10 класс, 14 урок, Тригонометрические функции числового аргумента

Урок 29 (осн). Задачи по теме "Плотность" - 1Скачать

Урок 29 (осн). Задачи по теме "Плотность" - 1

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Основные свойства окружности. Формулы связанные с окружностьюСкачать

Основные свойства окружности. Формулы связанные с окружностью

11 класс, 13 урок, Преобразование подобияСкачать

11 класс, 13 урок, Преобразование подобия

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

8 класс, 9 апреля Урок онлайн Геометрия Метрические соотношения в кругеСкачать

8 класс, 9 апреля   Урок онлайн Геометрия Метрические соотношения в круге

Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность | ГеометрияСкачать

Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность |  Геометрия

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.
Поделиться или сохранить к себе: